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| Aufgabe | | Sei [mm] $f:\IR\to\IR$ [/mm] eine konvexe Funktion, [mm] $(\Omega,F,\mu)$ [/mm] ein Maßraum, $g$ [mm] $\mu$-integrierbar, [/mm] $f [mm] \circ [/mm] g$ [mm] $\mu$-integrierbar [/mm] und [mm] $\mu(\Omega)=1$. [/mm] Dann gilt [mm] $f(\int_{} \! [/mm] g [mm] \, d\mu )\le\int_{} \! [/mm] f [mm] \circ [/mm] g [mm] \, d\mu$ [/mm] |
Hallo,
ich habe gezeigt, dass die Behauptung für [mm] \mu-integrierbare [/mm] nicht negative Funktionen gilt, also insbesondere für g^+ und g^- (g^+ soll der Positivteil, also max(g,0) sein, g^- der Negativteil von g), d. h. es gilt [mm] f(\int_{} \! [/mm] g^+ [mm] \, d\mu )<=\int_{} \! [/mm] f [mm] \circ [/mm] g^+ [mm] \, d\mu [/mm] und [mm] f(\int_{} \! [/mm] g^- [mm] \, d\mu )<=\int_{} \! [/mm] f [mm] \circ [/mm] g^- [mm] \, d\mu [/mm] und g=g^+ - g^-. Jetzt fehlt noch, dass [mm] f(\int_{} \! [/mm] g^+ - [mm] g^-\, d\mu )<=\int_{} \! [/mm] f [mm] \circ [/mm] (g^+ - [mm] g^-)\, d\mu [/mm] gilt. Dass f konvex, könnte dafür wichtig sein, leider komme ich jedoch nicht weiter.
Vielen Dank.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:04 So 03.06.2012 | | Autor: | wieschoo |
verpennt
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:40 So 03.06.2012 | | Autor: | katrin10 |
Warum gilt dies für konvexe Funktionen? Wie kann ich mir konvexe Funktionen vorstellen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:40 Mo 04.06.2012 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Warum gilt dies für konvexe Funktionen? Wie kann ich mir
> konvexe Funktionen vorstellen?
>
Siehe ![[]](/images/popup.gif) konvexe Funktionen
Gruß
meili
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:59 Mo 04.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Naja da f konvex ist hast du doch [mm]f(a+b)\le f(a)+f(b)[/mm] als
> Ungleichung.
Nein. Das ist z.B. für [mm] f(x)=x^2 [/mm] falsch.
[mm] f(a+b)=a^2+2ab+b^2, f(a)+f(b)=a^2+b^2
[/mm]
Ist f konvex, so gilt: [mm] f\left(\frac{x+y}{2}\right) \le \frac{f(x)+f(y)}{2} [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:40 Mo 04.06.2012 | | Autor: | wieschoo |
Stimmt da habe ich total gepennt. Ich zieh alles zurück.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:53 Mo 04.06.2012 | | Autor: | katrin10 |
Wie könnte man die Aufgabe sonst lösen?
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Hallo,
> Wie könnte man die Aufgabe sonst lösen?
Einfach mal nach "Jensen'sche Ungleichung" suchen und einen der zahlreich im Netz vorhandenen Beweise angucken.
Etwa hier
http://www.math.uni-kiel.de/stochastik/roesler/vorlesung/mass/Mass.pdf
auf Seite 39, Satz 45 ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Di 05.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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