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Hallo,
eigentlich eine simple Aufgabe, aber meine Ergebnisse stimmen nicht so ganz. Könnt ihr mir bitte sagen, was ich falsch mache?
[mm] \bruch{1}{x^{3}}<\bruch{1}{x^{2}+x}
[/mm]
Als erstes habe ich den Kehrbruch gebildet:
[mm] x^{3}>x^{2}+x
[/mm]
[mm] x^{3}-x^{2}-x>0
[/mm]
[mm] x(x^{2}-x-1)>0
[/mm]
[mm] x_{1}>0
[/mm]
[mm] x^{2}-x-1>0
[/mm]
[mm] x_{2}>\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}\wurzel{5}
[/mm]
[mm] x_{3}<\bruch{1}{2}-\bruch{1}{2}\wurzel{5}
[/mm]
Gruß, Andreas
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Hallo Andreas,
da läuft was in der Fallunterscheidung schief.
> eigentlich eine simple Aufgabe, aber meine Ergebnisse
> stimmen nicht so ganz. Könnt ihr mir bitte sagen, was ich
> falsch mache?
>
> [mm]\bruch{1}{x^{3}}<\bruch{1}{x^{2}+x}[/mm]
>
> Als erstes habe ich den Kehrbruch gebildet:
>
> [mm]x^{3}>x^{2}+x[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Lies hierzu mal den Einwurf von abakus und meine Antwort. Ganz so einfach ist es nicht. Du kannst aber einen guten Teil retten, wenn Du durch x kürzt (x=0 gesondert betrachten). Dazu ist hier schon eine erste Fallunterscheidung nötig.
> [mm]x^{3}-x^{2}-x>0[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]x(x^{2}-x-1)>0[/mm]
>
> [mm]x_{1}>0[/mm]
Nein. Ein Produkt aus zwei Faktoren ist dann >0, wenn beide Faktoren >0 sind oder beide <0.
Also 1. Fall: x<0 und [mm] x^2-x-1<0
[/mm]
Und 2. Fall: x>0 und [mm] x^2-x-1>0
[/mm]
Die musst Du weiter untersuchen.
Damit fällt Dein [mm] x_1 [/mm] von oben leider ganz heraus.
> [mm]x^{2}-x-1>0[/mm]
>
> [mm]x_{2}>\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}\wurzel{5}[/mm]
Das ist die Lösung für den 2. Fall.
> [mm]x_{3}<\bruch{1}{2}-\bruch{1}{2}\wurzel{5}[/mm]
Das ist die Lösung für den 1. Fall.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 18:32 So 24.03.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo abakus,
> > > [mm]\bruch{1}{x^{3}}<\bruch{1}{x^{2}+x}[/mm]
> > >
> > > Als erstes habe ich den Kehrbruch gebildet:
> > >
> > > [mm]x^{3}>x^{2}+x[/mm]
>
> Hallo, das darf man nicht so unbedacht, wie ein einfaches
> Gegenbeispiel (x=-2) zeigt:
> Zwar gilt [mm]\bruch{1}{(-2)^{3}}<\bruch{1}{(-2)^{2}+(-2)}[/mm] ,
> denn der linke Term ist negativ und der rechte positiv.
> Daraus folgt aber NICHT [mm](-2)^3>(-2)^2+(-2)[/mm], denn der linke
> Term ist immer noch negativ und der rechte immer noch
> positiv.
Autsch. Natürlich hast Du Recht. Ich habe die Fallunterscheidung im Kopf schon vorgezogen; dann tritt das Problem ja nicht auf.
Ich korrigiere das gleich...
Danke für die Intervention!
Grüße
reverend
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> Du kannst aber einen guten
> Teil retten, wenn Du durch x kürzt (x=0 gesondert
> betrachten). Dazu ist hier schon eine erste
> Fallunterscheidung nötig.
x=0 gesondert betrachten? Das versteh ich nicht. Woraus resultiert das?
Das hängt bestimmt damit zusammen, dass Wolfram Alpha mir noch ein Intervall zwischen
[mm] \bruch{1}{2}(1-\wurzel{5})
Sonst habe ich soweit folgendes gemacht:
[mm] \bruch{1}{x^{3}}<\bruch{1}{x^{2}+x}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{x^{2}+x}-\bruch{1}{x^{3}}>0
[/mm]
[mm] \bruch{x^{3}-(x^{2}+x)}{(x^{2}+x)x^{3}}>0
[/mm]
[mm] \bruch{x^{3}-x^{2}-x}{x^{5}+x^{4}}>0
[/mm]
[mm] \bruch{x(x^{2}-x-1)}{x(x^{4}+x^{3})}>0
[/mm]
[mm] \bruch{x^{2}-x-1}{x^{4}+x^{3}}>0
[/mm]
Fall 1:
[mm] x^{2}-x-1>0
[/mm]
[mm] x^{4}+x^{3}>0
[/mm]
[mm] x>\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}\wurzel{5}
[/mm]
Fall 2:
[mm] x^{2}-x-1<0
[/mm]
[mm] x^{4}+x^{3}<0
[/mm]
x<-1
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Hallo,
> > Du kannst aber einen guten
> > Teil retten, wenn Du durch x kürzt (x=0 gesondert
> > betrachten). Dazu ist hier schon eine erste
> > Fallunterscheidung nötig.
>
> x=0 gesondert betrachten? Das versteh ich nicht. Woraus
> resultiert das?
[mm]x=0[/mm] brauchst du überhaupt nicht zu betrachten, denn dafür ist die Ausgangsungleichung gar nicht definiert ...
>
> Das hängt bestimmt damit zusammen, dass Wolfram Alpha mir
> noch ein Intervall zwischen
>
> [mm]\bruch{1}{2}(1-\wurzel{5})
> heraus habe.
>
> Sonst habe ich soweit folgendes gemacht:
>
> [mm]\bruch{1}{x^{3}}<\bruch{1}{x^{2}+x}[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{1}{x^{2}+x}-\bruch{1}{x^{3}}>0[/mm]
>
> [mm]\bruch{x^{3}-(x^{2}+x)}{(x^{2}+x)x^{3}}>0[/mm]
>
> [mm]\bruch{x^{3}-x^{2}-x}{x^{5}+x^{4}}>0[/mm]
>
> [mm]\bruch{x(x^{2}-x-1)}{x(x^{4}+x^{3})}>0[/mm]
>
> [mm]\bruch{x^{2}-x-1}{x^{4}+x^{3}}>0[/mm]
>
>
> Fall 1:
>
> [mm]x^{2}-x-1>0[/mm]
> [mm]x^{4}+x^{3}>0[/mm]
>
> [mm]x>\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}\wurzel{5}[/mm]
Na, das reicht aber nicht ...
Es ist [mm]x^2-x-1>0 \ \gdw \ x>\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt 5 \ \text{oder} \ x<\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt 5[/mm]
Außerdem musst du [mm]x^4+x^3>0[/mm] auch einbeziehen ([mm]\gdw x>0 \ \text{oder} \ x<-1[/mm] )...
Daraus resultieren einige Unterfälle ...
>
> Fall 2:
>
> [mm]x^{2}-x-1<0[/mm]
> [mm]x^{4}+x^{3}<0[/mm]
>
> x<-1
>
Hier gilt Analoges!
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:04 Mo 25.03.2013 | | Autor: | Mathe-Andi |
Das ist eine 8-fache Fallunterscheidung. Nicht schön, aber ich hab sie gelöst. 
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:14 So 24.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> eigentlich eine simple Aufgabe, aber meine Ergebnisse
> stimmen nicht so ganz. Könnt ihr mir bitte sagen, was ich
> falsch mache?
>
> [mm]\bruch{1}{x^{3}}<\bruch{1}{x^{2}+x}[/mm]
>
> Als erstes habe ich den Kehrbruch gebildet:
>
> [mm]x^{3}>x^{2}+x[/mm]
>
> [mm]x^{3}-x^{2}-x>0[/mm]
>
> [mm]x(x^{2}-x-1)>0[/mm]
>
> [mm]x_{1}>0[/mm]
>
> [mm]x^{2}-x-1>0[/mm]
>
> [mm]x_{2}>\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}\wurzel{5}[/mm]
>
> [mm]x_{3}<\bruch{1}{2}-\bruch{1}{2}\wurzel{5}[/mm]
>
>
> Gruß, Andreas
Wenn mich jemand fragen würde, für welche x die Ungl.
$ [mm] \bruch{1}{x^{3}}<\bruch{1}{x^{2}+x} [/mm] $
gilt, würde ich antworten:
" Sage mir , aus welcher Grundmenge x stammen soll. Vorher fange ich nicht an zu denken."
FRED
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Hallo Andreas,
acht Fallunterscheidungen sind wirklich nicht nötig. Man kann sich ja auch einen einfacheren Weg suchen...
Welche x erfüllen [mm] \bruch{1}{x^3}<\bruch{1}{x^2+x} [/mm] ?
Nehmen wir mal Freds Anregung auf und ergänzen die Aufgabe um eine eigentlich nötige Angabe, sagen wir [mm] x\in\IR. [/mm] (Mit [mm] x\in\IQ [/mm] oder [mm] x\in\IZ [/mm] wäre der Lösungsweg der gleiche!)
Erste Feststellung: für [mm] x\in\{-1;0\} [/mm] ist die Ungleichung gar nicht definiert. Also [mm] \ID=\IR\setminus\{-1;0\}.
[/mm]
Wie nicht anders zu erwarten, gibt es nun drei Fälle zu untersuchen, nicht mehr.
Fall 1) $x>0$
Wir multiplizieren mit [mm] x^3.
[/mm]
[mm] 1<\bruch{x^2}{x+1}
[/mm]
Multiplikation mit $x+1$ ergibt [mm] x+1
Lösungen dieser Ungleichung sind [mm] x<\bruch{1}{2}(1-\wurzel{5}) [/mm] und [mm] x>\bruch{1}{2}(1+\wurzel{5}). [/mm]
Nur die zweite Lösung passt zum untersuchten Fall.
Also [mm] \mathbb{L}_1=\{x|x>\bruch{1}{2}(1+\wurzel{5})\}
[/mm]
Fall 2) $-1<x<0$
Multiplikation mit [mm] x^3 [/mm] führt auf [mm] 1>\bruch{x^2}{x+1}
[/mm]
Multiplikation mit $x+1$ ergibt [mm] x+1>x^2
[/mm]
Lösung dieser Ungleichung ist [mm] \bruch{1}{2}(1-\wurzel{5})
Unter Beachtung des untersuchten Falls bleibt damit
[mm] \mathbb{L}_2=\{x|\bruch{1}{2}(1-\wurzel{5})
Fall 3) $x<-1$
Multiplikation mit [mm] x^3 [/mm] führt auf [mm] 1>\bruch{x^2}{x+1}
[/mm]
Multiplikation mit $x+1$ ergibt [mm] x+1
Wieder zwei Lösungsbereiche der Ungleichung, hier bleibt
[mm] \mathbb{L}_3=\{x|x<-1\}
[/mm]
***
Nun stellt man fest, dass die beiden Ausnahmen der Definitionsmenge hier unerheblich sind (was schon mit der Fallunterscheidung klar war). Die Lösungsmenge ist also [mm] \mathbb{L}=\mathbb{L}_1\cup\mathbb{L}_2\cup\mathbb{L}_3.
[/mm]
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:31 Di 26.03.2013 | | Autor: | Mathe-Andi |
Danke, bei der nächsten Aufgabe werde ich auf diese Methode zurückgreifen!
Gruß, Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:49 Di 26.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> eigentlich eine simple Aufgabe, aber meine Ergebnisse
> stimmen nicht so ganz. Könnt ihr mir bitte sagen, was ich
> falsch mache?
>
> [mm]\bruch{1}{x^{3}}<\bruch{1}{x^{2}+x}[/mm]
es ist schonmal (für $x [mm] \in \IR$) [/mm] klar, dass $x [mm] \not=0$ [/mm] und [mm] $x\not=-1$ [/mm] sein muss.
Dann würde ich sagen:
1. Fall: Ist $x > [mm] 0\,,$ [/mm] so gilt
[mm] $$\bruch{1}{x^{3}}<\bruch{1}{x^{2}+x}$$
[/mm]
[mm] $$\iff \bruch{1}{x^{2}}<\bruch{1}{x+1}$$
[/mm]
(Die Wahrheit von [mm] "$\Longleftarrow$" [/mm] ergibt sich bei Division durch $x > [mm] 0\,,$ [/mm] und [mm] "$\Longrightarrow$" [/mm] bei Multiplikation mit $x > 0$).
Damit kannst Du weiterarbeiten... (Beachte, dass mit $x > [mm] 0\,$ [/mm] automatisch auch $x > [mm] -1\,$ [/mm] gilt.)
2. Fall: Ist $x < [mm] 0\,,$ [/mm] so gilt
[mm] $$\bruch{1}{x^{3}}<\bruch{1}{x^{2}+x}$$
[/mm]
[mm] $$\iff \bruch{1}{x^{2}}>\bruch{1}{x+1}$$
[/mm]
Nun musst Du die Unterfälle:
a) ($x < [mm] 0\,$ [/mm] und ) $x < [mm] -1\,$
[/mm]
b) ($x < [mm] 0\,$ [/mm] und ) $x > [mm] -1\,$
[/mm]
noch durchackern.
P.S. Sofern man solche Aufgaben nicht unbedingt in einer Klausur bearbeitet, oder sofern
Hilfsmittel verfügbar und erlaubt, so helfen oft auch Veranschaulichungen, um sich das ganze ein
wenig klarer zu machen, hier:
Schau' Dir mal etwa den Graphen von [mm] $f(x):=\frac{1}{x^2+x}-\frac{1}{x^3}$ [/mm] (für $x [mm] \not=1$ [/mm] und $x [mm] \not=0$):
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Alleine das Bild liefert schon eine Idee, für (genau) welche [mm] $x\,$ [/mm] hier $f(x) > [mm] 0\,$ [/mm] gilt - alleine mit dem
Bild kommt man vielleicht auch mal auf die Idee, die Nullstellen von [mm] $f\,$ [/mm] auszurechnen. Zudem liefert das
Bild auch eine Idee, wie man mit der Nullstelle und Monotonieargumenten (stückweise Monotonie) auch
dann begründen kann, genau welche $x [mm] \in \IR$ [/mm] die gegebene Ungleichung erfüllen!
P.S. Auf der positiven [mm] $x\,$-Achse [/mm] ist das vielleicht doch schlecht auf dem Bild zu erkennen, daher vielleicht
hier ein besseres für diesen Bereich:
[Dateianhang nicht öffentlich]
P.P.S.: Damit man "deutlicheres" aus dem Graphen entnimmt, kannst Du etwa mal den Graphen von [mm] $g\,$ [/mm] mit
[mm] $g(x):=10*f(x)\,$ [/mm] (für $x [mm] \not=0$ [/mm] und $x [mm] \not=-1$) [/mm] angucken - da sieht man mehr. Und es ist $f(x) > 0$ genau
dann, wenn $g(x) > [mm] 0\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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