Ungleichung + Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
bezugnehmend auf eine meiner bisherigen Fragen - hier einige weitere in ähnlichem Zusammenhang. Ich frage diese Fragen in Form eines neuen Beitrages, da sich meine Lösung geändert hat und es in der entsprechenden Diskussion vieles gibt, was mich irritiert.
Nochmals die Aufgabenstellung:
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle [mm] a\in\IN [/mm] (natürliche Zahlen ohne Element 0), für die
[mm] a^{n}\; >\; n^{2}\; f"ur\; jedes\; n\; \in\; \IN\;
[/mm]
für jedes [mm] n\in\IN [/mm] gilt. |
Nun meine neue Lösung:
Durch Abschätzen denke ich zu wissen, dass die Aussage für alle a > 2 gilt.
IA: a = 3 ergibt:
[mm] 3^{n}\; >\; n^{2}
[/mm]
Muss ich nun schon die Induktionsannahme durch vollst. Induktion beweisen? Eigentlich ist es ja klar, dass das stimmt - oder?
Ich übergehe das mal und komme nun zum Induktionsschluss:
IS: Sei a > 2 und n beliebig. Dann gilt:
[mm] a^{\left( n+1 \right)}\; =\; a^{n}\cdot a\; >\; n^{2}\cdot [/mm] a
Die größer als Relation ergibt sich aus einem Satz, den wir bewiesen haben. Hier ist er, um sicher zu gehen, dass ich den richtigen genommen habe:
Satz: a > 0 und x < y [mm] \Rightarrow [/mm] ax < ay
Das habe ich mir zu Nutze gemacht.
[mm] a^{n}\cdot a\; >\; n^{2}+n\cdot n\; >\; n^{2}+2n+1\; =\; \left( n+1 \right)^{2}
[/mm]
Das war ja zu zeigen.
Alles richtig?
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Hallo abi2007LK!
> Durch Abschätzen denke ich zu wissen, dass die Aussage für
> alle a > 2 gilt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> IA: a = 3 ergibt:
>
> [mm]3^{n}\; >\; n^{2}[/mm]
>
> Muss ich nun schon die Induktionsannahme durch vollst.
> Induktion beweisen?
Wenn Du es ausführlich / korrekt machen willst ... ja!
> Ich übergehe das mal und komme nun zum Induktionsschluss:
>
> IS: Sei a > 2 und n beliebig. Dann gilt: [mm]a^{\left( n+1 \right)}\; =\; a^{n}\cdot a\; >\; n^{2}\cdot[/mm] a
> Die größer als Relation ergibt sich aus einem Satz, den wir
> bewiesen haben. Hier ist er, um sicher zu gehen, dass ich
> den richtigen genommen habe:
>
> Satz: a > 0 und x < y [mm]\Rightarrow[/mm] ax < ay
Hier verstehe ich nicht, warum bzw. wie Du diesen Satz anwendest.
> Das habe ich mir zu Nutze gemacht.
>
> [mm]a^{n}\cdot a\; >\; n^{2}+n\cdot n\; >\; n^{2}+2n+1\; =\; \left( n+1 \right)^{2}[/mm]
Wie kommst Du hier auf das zweite [mm] $n^2$ [/mm] (zumindest ohne Kommentar)?
Mein Ansatz:
[mm] $$a^{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \blue{a^n}*a [/mm] \ [mm] \blue{>} [/mm] \ [mm] \blue{n^2}*\red{a} [/mm] \ [mm] \red{>} [/mm] \ [mm] n^2*\red{2} [/mm] \ = \ [mm] n^2+n^2 [/mm] \ > \ ...$$
Dabei habe ich im "roten Schritt" benutzt, dass gilt: $a \ > \ 2$ .
Gruß vom
Roadrunner
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