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Hallo,
folgende Aufgabe:
Bestimmen Sie alle a in N (natürliche Zahlen ohne Element 0), für die
[mm] a^{n}\; >\; n^{2}\; für\; jedes\; n\; in\; N\;
[/mm]
für jedes n in N gilt.
Durch Abschätzen denke ich zu wissen, dass die Aussage für alle a > 3 gilt.
IA: a = 4 ergibt:
[mm] 4^{n}\; >\; n^{2}
[/mm]
Muss ich nun schon die Induktionsannahme durch vollst. Induktion beweisen? Eigentlich ist es ja klar, dass das stimmt - oder?
Ich übergehe das mal und komme nun zum Induktionsschluss:
IS: Sei a > 3 und n beliebig. Dann gilt:
[mm] a^{\left( n+1 \right)}\; =\; a^{n}\cdot a\; >\; n^{2}\cdot [/mm] a
Die größer als Relation ergibt sich aus einem Satz, den wir bewiesen haben. Hier ist er, um sicher zu gehen, dass ich den richtigen genommen habe:
Satz: a > 0 und x < y [mm] \Rightarrow [/mm] ax < ay
Das habe ich mir zu Nutze gemacht.
Nun gehts weiter:
Geht, da a > 3 ist.
[mm] a^{n}\cdot a\; >\; n^{2}+\; n\cdot n\; >\; n^{2}+3n\; >\; n^{2}+2n+n\; >\; n^{2}+2n+1\; >\; \left( n+1 \right)^{2}
[/mm]
Das war ja zu zeigen.
Alles richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:00 Di 06.11.2007 | | Autor: | Salomon |
Wieso gilt a > 3?
Nach meiner "Abschätzung" gilt a > 2.
Oder verhau' ich mich gerade?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:03 Di 06.11.2007 | | Autor: | abi2007LK |
Oh - stimmt. Aber dann sollte es ja dennoch auf diesem Weg funktionieren - richtig? Einfach 3 durch 2 ersetzen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:39 Di 06.11.2007 | | Autor: | Salomon |
Ich hab's mal so probiert:
A(n) : [mm] a^{n} [/mm] > n² mit a [mm] \in \IN [/mm] und a > 2, n [mm] \in \IN
[/mm]
Beh.: Für alle n [mm] \in \IN [/mm] gelte A(n).
Beweis: vollst. Induktion
IA: n =1, a=3
[mm] 3^1 [/mm] > [mm] 1^1
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] A(1) ist wahr.
IS: A(n) gelte für ein festes, aber beliebiges n [mm] \in \IN [/mm] mit a > 2 und a [mm] \in \IN.(IV)
[/mm]
Dann folgt:
a^(n+1) = [mm] a*a^n [/mm] > a*n² = a* [mm] a^n [/mm] + 1 > a*n² + 1 > (1+1)*n² + 1 = n² + n*n + 1 > n² + 2n + 1= (n+1)² (Hatte vorher den wichtigen! Zwischenschritt vergessen)
[mm] \Rightarrow [/mm] A(n+1) ist wahr [mm] \Rightarrow [/mm] IS gilt.
Vollständige Ind. zeigt, dass A(n) für alle n [mm] \in \IN [/mm] mit a >2 und a [mm] \in \IN [/mm] wahr ist.
/q.e.d
Stimmt, da habe ich einen eklatanten Fehler drin.
Danke, dass du mich darauf Aufmerksam gemacht hast!!
Hier ein neuer, richtiger? Beweis:
A(n) : [mm] a^{n} [/mm] > n² mit a [mm] \in \IN [/mm] und a > 2, n [mm] \in \IN
[/mm]
Beh.: Für alle n [mm] \in \IN [/mm] gelte A(n).
Beweis: vollst. Induktion
IA: n =1, a=3
[mm] 3^1 [/mm] > [mm] 1^1
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] A(1) ist wahr.
IS: A(n) gelte für ein festes, aber beliebiges n [mm] \in \IN [/mm] mit a > 2 und a [mm] \in \IN.(IV)
[/mm]
Dann folgt:
a^(n+1) = [mm] a*a^n [/mm] > a*n² > 2*n² = n² + n*n > n² + 3n > n² + 2n + n > n² + 2n + 1= (n+1)²
[mm] \Rightarrow [/mm] A(n+1) ist wahr [mm] \Rightarrow [/mm] IS gilt.
Vollständige Ind. zeigt, dass A(n) für alle n [mm] \in \IN [/mm] mit a >2 und a [mm] \in \IN [/mm] wahr ist.
/q.e.d
Gruß Salomon
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:08 Mi 07.11.2007 | | Autor: | DieMuhKuh |
>>>>> a^(n+1) = $ [mm] a\cdot{}a^n [/mm] $ > a*n² = a* $ [mm] a^n [/mm] $ + 1 > a*n² + 1 > (1+1)*n² + 1 = n² + n*n + 1 = (n+1)²
>>>>>>
n² + n*n + 1 [mm] \not= [/mm] (n+1)²
Übrigens: Wieso folgt denn aus a*n² = [mm] a*a^n [/mm] + 1?
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Du hast geschrieben:
Edit: Ach nein, es stimmt. Für n = 1 hat mans ja bereits gezeigt im IA. Also gilt n>1.
[mm] n^{2}+\; n\cdot n\; >\; n^{2}+3n\
[/mm]
Setz mal n = 1. Dann kommt raus 1² + 1² = 2 > 1² + 3*1 = 4
Und das kann ja nicht stimmen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:18 Mi 07.11.2007 | | Autor: | Salomon |
Also es gibt da eine gewiße Unstimmigkeit bei meinem Beweis.......wenn ich den SO stehenlasse ist der IS falsch!Außer, wenn ich n > 2 festlege. Das kann aber nicht sein.
Oha....der Weg ist nicht korrekt. Da muss ich mir was anderes überlegen!
Oder es ist richtig und ich bin überspamt...
Hmm...Anregungen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:26 Mi 07.11.2007 | | Autor: | DieMuhKuh |
Naja, du hast doch gezeigt, dass für n=1 gilt: [mm] 3^1 [/mm] > [mm] 1^2.
[/mm]
Ich denke, man kann im Beweis dann getrost annehmen, dass n>1 ist.
Es gilt dann übrigens schlicht: n² [mm] \ge [/mm] 3*n
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:35 Mi 07.11.2007 | | Autor: | Salomon |
Aber richtig ist das dann nicht!
Wenn jemand kommt und sagt: n=2, dann kippt die janze Chose für den IS...
Ich bin da jetzt überfordert...vor allem stresst es, dass es strikt größer ist.
Hatte vorhin in 'nem anderen Thread schon 'ne Unregelmäßigkeit festgestellt, dass zwar aus strikt größer (kleiner) größer gleich (kleiner gleich) folgt, aber man bei "gleich" einen Widerspruch hat und somit der Beweis kippt!
Keine Ahnung...
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