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Ungleichung (Flächeninhalt): Aufgabenstellung
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 20:41 So 24.02.2008
Autor: tuxor

Aufgabe
In einem gleichseitigen Dreieck ABC mit Seitenlänge a liegt ein Rechteck PQRS so, dass P und Q auf AB, R auf BC und S auf CA liegen. Wie groß kann die Fläche des Rechtecks höchstens sein? Welches ist der größte, welches der kleinste mögliche Wert für den Umfang des Rechtecks?

Ich habe mir zum einen den Flächeninhalt des Rechtecks als die Differenz der Dreiecksgesamtfläche und den einzelnen Teildreiecken dargestellt. Zum anderen habe ich mit ein paar Formeln rumhantiert und so die Rechteckseiten mithilfe des Satz des Pythagoras in Abhängigkeit der jeweils anderen Rechtechseite und a aufgeschrieben.

Beide Male habe ich am Ende abartig komplizierte Gleichungen erzeugt, in denen ich beim besten Willen keinen Lösungshinweis finden konnte. Ich vermute, dass die Sache etwas mit dem Geometrisch-Arithmetisch-Quadratisch-Harmonischen-Mittel zu tun hat, konnte aber noch keinen Produktiven Lösungsansatz finden.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
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Ungleichung (Flächeninhalt): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:52 So 24.02.2008
Autor: leduart

Hallo
Schreib mal ddein Anfangsideen auf, allerdings denk ich, dass du mit Strahlensatz besser hantierst als mit Pythagoras. da du auch die Winkel(60°) kennst evt. auch mit den Winkelfunktionen, ich denk aber Strahlensatz ist einfacher. Denk dran, das Dreieck ,das du oben abschneidest ist wegen der 60° winkel wieder gleichseitig!
Gruss leduart

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Ungleichung (Flächeninhalt): Idee
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:38 So 24.02.2008
Autor: tuxor

Den ersten Teil der Aufgabe habe ich mit deinem Tipp gelöst. Vielen Dank, leduart!
Die Seiten des Rechtecks nenn ich mal s und t. Ich hatte komplett vergessen, dass das Dreieck in der Spitze ja auch gleichseitig und das vor allem mit Seitenlänge s ist.
Der Pythagoras für eins der beiden rechtwinkligen Dreiecke rechts und links vom Rechteck in Abhängigkeit von s, t und a bringt mich zu einer formel, die sich in folgende Form bringen lässt.
[mm] \bruch{2t+s\wurzel{3}}{2} [/mm] = [mm] \bruch{a\wurzel{3}}{2} [/mm]
Die linke Seite ist ein arithmetisches Mittel. Mit dem zugehörigen geometrischen Mittel folgt:
[mm] \bruch{2t+s\wurzel{3}}{2} \ge \wurzel{2t \* s\wurzel{3}} [/mm]
Das in eine Form zu bringen, wo auf der rechten Seite die Flächeninhaltsformel des Rechtecks steht ist dann natürlich einfach.

Jetzt mach ich mich an den Umfang, mal sehen...

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Ungleichung (Flächeninhalt): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:13 Mo 25.02.2008
Autor: tuxor

Aufgabe
Welches ist der größte, welches der kleinste mögliche Wert für den Umfang des Rechtecks?

Ok ich geb's zu, ich komme auf kein Ergebnis für den Umfang. Es gilt U = 2(s+t) [mm] \gdw \bruch{U}{4} [/mm] = [mm] \bruch{s+t}{2} [/mm]
So erhalte ich also das arithmetische Mittel. Ich bräuchte irgendeine Aussage über das geometrische und quadratische Mittel der beiden Rechtecksseiten. Hat jemand eine Idee? Danke sehr!

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Ungleichung (Flächeninhalt): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:12 Mo 25.02.2008
Autor: Gnometech

Grüße!

Hm, ich hab mir das ganze mal ganz stumpf als Extremwertproblem aufgeschrieben... Du hast doch folgendes ausgerechnet:

[mm] $\frac{2t + \sqrt{3}s}{2} [/mm] = [mm] \frac{a \sqrt{3}}{2}$ [/mm]

Das lässt sich umformen zu

$t = [mm] \frac{(a-s)\sqrt{3}}{2}$. [/mm]

Setze dies in die Formeln für Umfang und Flächeninhalt ein und Du erhältst beides in Abhängigkeit von $s$, wobei gilt $0 [mm] \leq [/mm] s [mm] \leq [/mm] a$.

Bei der Fläche liefert Ableiten nach $s$ und Ausrechnen einen Hochpunkt für $s = [mm] \frac{a}{2}$ [/mm] und eine Fläche von [mm] $\frac{\sqrt{3} a^2}{8}$, [/mm] wenn ich mich nicht verrechnet habe.

EDIT: Hab eben erst gesehen, dass ihr vermutlich das Ableiten noch nicht hattet... macht aber nichts, man kann es hier auch direkt sehen. Die Formel für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von $s$ ist nach Einsetzen

$A = s [mm] \cdot [/mm] t = - [mm] \frac{\sqrt{3}}{2} s^2 [/mm] + [mm] \frac{a \sqrt{3}}{2} [/mm] s$.

Das ist eine quadratische Gleichung in $s$, der Graph eine nach unten offene Normalparabel mit Scheitelpunkt bei $s = [mm] \frac{a}{2}$, [/mm] also wird dort der maximale Wert angenommen.

Der Umfang ist linear und monoton steigend in $s$, (mit Steigung $m = 2 - [mm] \sqrt{3} [/mm] > 0$), den größten Wert gibt es also für $s = a$, da ist dann $t = 0$ und der Umfang genau $2a$. Der kleinste Wert ergibt sich für $s = 0$, da kommt für den Umfang $a [mm] \cdot \sqrt{3}$, [/mm] also das Doppelte der Höhe heraus.

Wo jetzt genau arithmetisches und geometrisches Mittel verwendet werden sollen, seh ich irgendwie nicht... ;-)

Grüße,
Lars

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Ungleichung (Flächeninhalt): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:37 Mo 25.02.2008
Autor: tuxor

Erstmal vielen Dank!
In Ordnung, Ableiten hatten wir zwar schon im Unterricht und das führt auch scheinbar zu einer Lösung, aber das scheint mir nicht die intelligenteste Lösung. Die Aufgabenstellung habe ich hier von einem Blatt mit "Übungsaufgaben zum Thema Ungleichungen" und so wie ich den Extremwert für den Flächeninhalt mithilfe des Artihmetisch-Geometrischen Mittels ermittelt habe, so kann man mit Sicherheit auch das Umfangsproblem lösen!

Es wäre schön, wenn jemand noch zu einer Lösung auf diesem Wege eine Idee hätte :)

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Ungleichung (Flächeninhalt): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:47 Mo 25.02.2008
Autor: leduart

Hallo
Natürlich muss man ne Parabel nicht differenzieren, um ihren Scheitel zu finden!
Aber wie man ein Maximum irgendwie mit geom. Mittel und arithmetischen Mittel erreicht versteh ich nicht. kannst du dafür ein Beispiel geben?
Wenn du allerdings meinst, dass der Scheitel einer Parabel immer genau zwischen ihren Nullstellen liegt, und man das natürlich auch arthmetisches Mittel der Nullstellen nennen kann, dann weis ich was du meinst. aber immer noch nicht was das mit geom. Mittel zu tun hat?
Dass ne lineare Funktion ihr max und Min an den 2 Enden des definitionsgebietes annimmt dagegen, kann man sicher damit nicht zeigen.
Gruss leduart

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Ungleichung (Flächeninhalt): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:44 Mo 25.02.2008
Autor: tuxor

Das kann man genau so lösen, wie ich es oben mit dem Flächeninhalt bereits angedeutet hatte:

[mm] \bruch{2t+s\wurzel{3}}{2} [/mm] = [mm] \bruch{a\wurzel{3}}{2} \ge \wurzel{2t \* s\wurzel{3}} [/mm]
[mm] \gdw \bruch{3a^2}{4} \ge [/mm] 2t [mm] \* s\wurzel{3} [/mm]
[mm] \gdw \bruch{3a^2}{8\wurzel{3}} \ge [/mm] t [mm] \* [/mm] s
[mm] \gdw \bruch{\wurzel{3}a^2}{8} \ge [/mm] t [mm] \* [/mm] s

Und dieses Ergebnis kommt mit der von Gnometech beschriebenen Methode ebenfalls heraus. Nur meiner Meinung nach etwas komplizierter und er hat sich beispielhafterweise auch noch verrechnet...

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Ungleichung (Flächeninhalt): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:59 Mo 25.02.2008
Autor: angela.h.b.


> [mm]\bruch{2t+s\wurzel{3}}{2}[/mm] = [mm]\bruch{a\wurzel{3}}{2} \ge \wurzel{2t \* s\wurzel{3}}[/mm]
> [mm]\gdw \bruch{3a^2}{4} \ge[/mm] 2t [mm]\* s\wurzel{3}[/mm]
>  [mm]\gdw \bruch{3a^2}{8\wurzel{3}} \ge[/mm]
> t [mm]\*[/mm] s
>  [mm]\gdw \bruch{\wurzel{3}a^2}{8} \ge[/mm] t [mm]\*[/mm] s

Hallo,

Du hast nun erreicht, daß Du eine Obergrenze für den Flächeninhalt des Rechtecks dastehen hast, den Flächeninhalt also nach oben abgeschätzt.

Aber woher willst Du wissen, daß dieser Flächeninhalt wirklich angenommen werden kann? Daß er also möglich ist?

Wenn ich Dir sage, daß ich weniger als [mm] 300m^2 [/mm] Wohnfläche zur Verfügung habe, weißt Du immer noch nicht, wie groß meine Wohnung ist.

Gruß v. Angela

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Ungleichung (Flächeninhalt): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:32 Mo 25.02.2008
Autor: tuxor

Sag du es mir! Ich verstehe deinen Einwand. Tatsache ist aber, dass mein Ergebnis stimmt und dass ein solcher Flächeninhalt sogar tatsächlich angenommen werden kann.
Mein Ergebnis unterliegt übrigens immerhin einer lückenlosen mathematischen Herleitung und ist keine Schätzung! Meine erste Gleichung ist die exakte und eindeutige analytische Darstellung der zugrunde liegenden "Figur". (Man könnte von dieser Formel die Figur wieder herleiten!) Wieso also sollte etwas hier nicht stimmen?

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Ungleichung (Flächeninhalt): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:44 Mo 25.02.2008
Autor: angela.h.b.


>  Tatsache ist
> aber, dass mein Ergebnis stimmt

Ja, diese Obergrenze ist zweifelsohne richtig.

> und dass ein solcher
> Flächeninhalt sogar tatsächlich angenommen werden kann.

Ja. Aber das hast Du nicht gezeigt, und das ist der Knackpunkt.

Liefere die passenden Längen für t und s. Dann ist's bewiesen.

Wenn das von Dir Errechnete die Obergrenze ist, und wenn Du zusätzlich s und t angeben kannst, für welche dieser Flächeninhalt angenommen wird, dann hast Du gezeigt, daß dies das Maximum des Flächeninhaltes ist.


>  Mein Ergebnis unterliegt übrigens immerhin einer
> lückenlosen mathematischen Herleitung und ist keine
> Schätzung!

Ja. Die Obergrenze ist lückenlos gezeigt. Nicht weniger - aber auch nicht mehr.

>Wieso also sollte etwas hier nicht stimmen?

Es stimmt alles, aber Du hast nicht gezeigt, daß diese Obergrenze des Flächeninhaltes angenommen wird.

Gruß v. Angela


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Ungleichung (Flächeninhalt): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:13 Mo 25.02.2008
Autor: leduart

Hallo
Ich hab die Aufgabenstellung nochmal genau durchgelesen: So wie die Frage gestellt ist hast du sie ohne Einschränkung richtig beantwortet. Weil du ja nirgends schreibst oder behauptest, dass dieser Wert angenommen wird.
Wir sind hier mehr die Aufgaben des Typs gewohnt: bestimme die Seiten des Rechtecks, mit dem größten Flächeninhalt ,
Die Art von maxima abschätzen über geom. und arithmetisches Mittel ist trotzdem schön. Nur weiss man am End nicht direkt ob es jetzt eins, 2 verschiedene (oder mehr) Rechtecke gibt, die das Maximum des Flächeninhalts annehmen.
Aber gut für die gestellte Frage find ich das Vorgehen schon!
(leider klappt es wohl meistens nur, wenn der Zusammenhang sehr einfach ist.)
Gruss leduart

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Ungleichung (Flächeninhalt): Wettbewerbsaufgaben?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:21 Mo 25.02.2008
Autor: angela.h.b.

Hallo tuxor,

sind dies Wettbewerbsaufgaben aus einem laufenden Wettbewerb?

Vorsorglich weise ich potentielle Helfer darauf hin, daß sie nicht die Schwelle zu unerlaubter Hilfeleistung überschreiten sollen.

Gruß v. Angela

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Ungleichung (Flächeninhalt): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:33 Mo 25.02.2008
Autor: tuxor

Es ist wirklich vorbildlich, dass ihr vorsichtig mit euren Antworten seit und euch jetzt in beiden meinen eröffneten Threads erstmal danach erkundigt, ob es sich um Aufgaben zu einem laufenden Wettbewerb handelt.
Natürlich handelt es sich nicht um Aufgaben eines laufenden Wettbewerbs. Ich wüsste nebenbei gemerkt nichtmal einen Wettbewerb der momentan läuft - abgesehen vom Bundeswettbewerb. Ich habe doch schon bemerkt wo die Aufgaben ihren Ursprung haben: Sie stehen auf einem Übungsblatt zum Thema Ungleichungen.
Dieses Übungsblatt habe ich vor längerer Zeit auf einem Vorbereitungsseminar auf die hessische Mathe-Olympiade erhalten.

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