Ungleichung Maßtheorie Beweis < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:21 Di 14.01.2014 | | Autor: | dennis93 |
| Aufgabe | Es sei [mm] \mu(X)=1, f:X\to[0,\infty) [/mm] messbar und [mm] P:=\integral_{X}{f(x) d\mu}. [/mm] Zeige dass
[mm] \wurzel{1+P^2}\le \integral_{X}\wurzel{1+f^2}d\mu\le1+P [/mm] |
[Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.]
Ich habe mehrere solcher Aufgaben, jedoch komm ich bei dieser bei beiden Ungleichungen nicht weiter. Ich brauche keine Lösung dazu, sondern nur Hinweise was ich anwenden muss um das selber lösen zu können. Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:50 Mi 15.01.2014 | | Autor: | dennis93 |
Hat niemand einen Hinweis für mich?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:21 Do 16.01.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
zur rechten Ungleichung:
[mm] $1+\int_X fd\mu-\int_X \sqrt{1+f^2}d\mu \ge [/mm] 0$
[mm] $\iff$ $\underbrace{\int_X 1d\mu}_{=\mu(X)=1} +\int_X fd\mu-\int_X \sqrt{1+f^2}d\mu \ge [/mm] 0$
[mm] $\iff$ $\int_X (1+f-\sqrt{1+f^2}) \ge 0\,.$
[/mm]
Es ist daher hinreichend, zu zeigen, dass für (fast) alle $x [mm] \in [/mm] X$ gilt
$1+f(x) [mm] \ge \sqrt{1+f^2(x)}\,.$
[/mm]
("Fast alle" hat hier die Bedeutung von "fast überall"; also das hat was mit
diesem "bis auf Ausnahmemenge von Maß 0" zu tun!)
Das bekommst Du hin, oder?
(Wenn man gar keine andere Idee hat, so plottet man sich vielleicht
erstmal die Graphen von
[mm] $[0,\infty) \ni [/mm] t [mm] \mapsto [/mm] 1+t$
und
[mm] $[0,\infty) \ni [/mm] t [mm] \mapsto \sqrt{1+t^2}\,.$
[/mm]
Ansonsten ein Tipp zum Beweis: [mm] $[0,\infty) \ni [/mm] t [mm] \mapsto t^2$ [/mm] ist (streng) monoton wachsend! [Natürlich
kann man auch mit [mm] $[0,\infty) \ni [/mm] t [mm] \mapsto \sqrt{t}$ [/mm] arbeiten - was einem vielleicht sogar leichter
fallen könnte, gerade vom "Aufschrieb" her ...!])
Gruß,
Marcel
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Hiho,
[mm] \sqrt{1+x^2} [/mm] ist eine konvexe Funktion..... da gibt es doch einen schönen Satz über konvexe Funktionen und Integrale....
Gruß,
Gono.
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Super die Seite habe ich dann fertig. Danke.
Jetzt zur ersten
1. Ist das Cauchy Schwarz:?
[mm] \wurzel{1+(\integral_{X}{f(x) d\mu})^2}\le\wurzel{1+\integral_{X}{f(x)^2 d\mu}}=\wurzel{\integral_{X}{1+f(x)^2 d\mu}}
[/mm]
2.Aber wieso gilt das?
[mm] \wurzel{\integral_{X}{1+f(x)^2 d\mu}}\le\integral_{X}{\wurzel{1+f(x)^2 }d\mu}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Sa 18.01.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Aufgabe | | Angenommen [mm] \mu [/mm] ist auf [0,1] Lebesgue Maß ist, außerdem f=g' stetig mit g diffbar auf [0,1]. Was hat obige Ungleichung für eine geometrische Interpretation? Was muss h erfüllen für allgemeine X. |
Also die erste Ungleichung müsste mit Hölder gelten.
Nun zur nächsten Teilaufgabe. Was soll das für eine geometrische Interpretation haben?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Di 21.01.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Ich komme selber leider nicht drauf. Hat denn irgendjemand einen Tip oder die Lösung für die Interpretation?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Fr 24.01.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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