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| Aufgabe | Mir ist die Gültigkeit der ungleichung nicht klar!!
[mm] |\sqrt{x}-\sqrt{a}| \le \sqrt{|x-x_0|} [/mm] |
Ich bin nämlich an den Stetigkeitsbeweis der [mm] \sqrt{x} [/mm] dran und da habe ich im internet of diese ungleichung entdeckt, weiß aber nicht woher sie kommt!!
LG
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> Mir ist die Gültigkeit der ungleichung nicht klar!!
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> [mm]|\sqrt{x}-\sqrt{a}| \le \sqrt{|x-x_0|}[/mm]
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> Ich bin nämlich an den Stetigkeitsbeweis der [mm]\sqrt{x}[/mm] dran
> und da habe ich im internet of diese ungleichung entdeckt,
> weiß aber nicht woher sie kommt!!
> LG
Hallo theresetom,
im Internet kann man manches finden, unter anderem
auch Schrott jeder Sorte ...
Im vorliegenden Beispiel ist nicht klar, was mit a und [mm] x_0
[/mm]
gemeint ist. Soll etwa [mm] a=x_0 [/mm] sein ?
Gib doch bitte deine Aufgabe und allenfalls die Ungleichung
aus dem Internet komplett (mit Zusammenhang) an !
LG Al-Chw.
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Ich habe mich verschrieben!
$ [mm] |\sqrt{x}-\sqrt{a}| \le \sqrt{|x-a|} [/mm] $
Stetigkeit von f(x) = [mm] \sqrt{x}, [/mm] x [mm] \ge [/mm] 0 mittels [mm] \delta, \varepsilon-Kriterium
[/mm]
[mm] \delta [/mm] := [mm] \varepsilon^2
[/mm]
[mm] |f(x)-f(a)|=|\sqrt{x}-\sqrt{a}| \le \sqrt{|x-a|} \le \sqrt{\varepsilon^2}=\varepsilon
[/mm]
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Hallo,
ich weiß jetzt nicht, ob es einfacher geht. Aber wenn du die Ungleichung quadrierst, nach der verbleibenden Wurzel auflöst, erneut quadrierst und am Ende eine Fallunterscheidung x<a bzw. x>a durchführst, so kannst du zeigen dass sie für alle a,x>=0 wahr ist, und letzteres folgt ja aus dem Definitionsbereich der betrachteten Funktion bzw. ist flapsig gesagt eh klar. 
Vielleicht fällt aber jemand anderem noch irgendein schöner Trick ein.
Gruß, Diophant
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[mm] (\wurzel{x}-\wurzel{a})^2 \le [/mm] x-a
x- [mm] 2\wurzel{x}\wurzel{a} [/mm] + a [mm] \le [/mm] x-a
- [mm] 2\wurzel{x}\wurzel{a} \le [/mm] -2a
[mm] \wurzel{x}\wurzel{a} \ge [/mm] a
x*a > [mm] a^2
[/mm]
x > a
Meintest du das so? Ich denke ich hab da was falsch gemacht
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Hallo,
> [mm](\wurzel{x}-\wurzel{a})^2 \le[/mm] x-a
> x- [mm]2\wurzel{x}\wurzel{a}[/mm] + a [mm]\le[/mm] x-a
> - [mm]2\wurzel{x}\wurzel{a} \le[/mm] -2a
> [mm]\wurzel{x}\wurzel{a} \ge[/mm] a
> x*a > [mm]a^2[/mm]
> x > a
>
> Meintest du das so? Ich denke ich hab da was falsch gemacht
So einfach geht es leider nicht: mit den Betragsstrichen darf man da nicht so nachlässig umgehen. Meine Rechnung hat fast eine ganze DIN-A4-Seite gefüllt, vor dem Hintergund würde ich eindeutig dafür plädieren, dass du die Variante von Al-Chwarizmi nimmst.
Gruß, Diophant
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> Ich habe mich verschrieben!
> [mm]|\sqrt{x}-\sqrt{a}| \le \sqrt{|x-a|}[/mm]
>
> Stetigkeit von f(x) = [mm]\sqrt{x},[/mm] x [mm]\ge[/mm] 0 mittels [mm]\delta, \varepsilon[/mm]-Kriterium
>
> [mm]\delta[/mm] := [mm]\varepsilon^2[/mm]
> [mm]|f(x)-f(a)|=|\sqrt{x}-\sqrt{a}| \le \sqrt{|x-a|} \le \sqrt{\varepsilon^2}=\varepsilon[/mm]
Wegen der Symmetrie der Aussage in Bezug auf die
beiden Variablen darf man o.B.d.A. annehmen, dass
etwa [mm] x\ge{a}\ge0 [/mm] ist. Setze dann z.B.:
[mm] w:=\sqrt{x} [/mm] und [mm] z:=\sqrt{a}
[/mm]
Dann ist also [mm] w\ge{z}\ge0 [/mm] , und die nachzuweisende Ungleichung
ist nach Elimination der Absolutstriche:
$\ w-z\ [mm] \le\ \sqrt{w^2-z^2}$
[/mm]
Nun kann man beidseitig quadrieren und auf der rechten
Seite die dritte binomische Formel anwenden.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:44 Mi 29.02.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo Al-Chwarizmi,
das war jetzt der von mir herbeigesehnte Trick. Auf die Schnelle bin ich es wohl nach dem Motto Warum einfach, wenn es auch umständlich geht angegengen.
Gruß, Diophant
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