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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:01 Fr 21.10.2011 | | Autor: | gnom347 |
| Aufgabe | Sei a [mm] \in \IQ+ [/mm] mit [mm] \wurzel{a} \not\in \IQ. [/mm]
Zeige, dass es eine Konstante c > 0 gibt, so dass für
alle p/q [mm] \in \IQ [/mm] gilt:
|p/q - [mm] \wurzel{a}| \ge c/q^{2} [/mm] |
Also ich hab einige Probleme mit diese Aufgabe ich bin mir auch nicht sicher wie sie gemeint ist.
Was ist mit "c ist eine konstante" gemeint? Soll c tatsächliche eine feste Zahl sein oder darf c von beispielsweise a abhängen.
Wenn c abhängig sein darf kann ich die aufgabe lösen mit c:=|p/q - [mm] \wurzel{a}| \*q^{2}/2
[/mm]
und nach kürzen bekomme ich 1 [mm] \ge [/mm] 1/2
Womit die Aussage gezeigt währe.Naja das is relativ einfach. Ich befürchte das c wohl tatsächlich ein fester wert sein soll und von keiner anderen variablen abhängen darf.
Ich habe viele umformungen auspobiert aber nichts hat mich wirklich weiter gebracht und mir gehen so langsam die Ideen aus.
Ausserdem ist bei der bearbeitung folgende Frage aufgekommen:
Da [mm] \IQ [/mm] dicht in [mm] \IR [/mm] liegt, Gibt es zwischen zwei zahlen aus [mm] \IR [/mm] immer eine Zahl aus [mm] \IQ.
[/mm]
Ausserdem ist auch immer möglich für 2 zahlen aus [mm] \IQ [/mm] eine Zahl aus [mm] \IR [/mm] zu finden die dazwischen liegt.
Ist es nun aber auch immer möglich für 2 Zahlen aus [mm] \IQ [/mm] eine zahl [mm] \wurzel{a} \not\in \IQ [/mm] mit a [mm] \in \IQ+ [/mm] zu finden die dazwischen liegt.
Ich bin mir da nicht sicher.Ich würde auf ja tippen habe aber keine vernünftige argumentation dazu.
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> Sei a [mm]\in \IQ+[/mm] mit [mm]\wurzel{a} \not\in \IQ.[/mm]
> Zeige, dass es eine Konstante c > 0 gibt, so dass für
> alle p/q [mm]\in \IQ[/mm] gilt:
> |p/q - [mm]\wurzel{a}| \ge c/q^{2}[/mm]
> Also ich hab einige
> Probleme mit dieser Aufgabe ich bin mir auch nicht sicher
> wie sie gemeint ist.
Hallo gnom347,
ich finde die Aussage auch etwas seltsam und habe
noch gewisse Zweifel an ihrer Richtigkeit.
> Was ist mit "c ist eine Konstante" gemeint? Soll c
> tatsächliche eine feste Zahl sein oder darf c von
> beispielsweise a abhängen.
> Wenn c abhängig sein darf kann ich die aufgabe lösen mit
> c:=|p/q - [mm]\wurzel{a}| \*q^{2}/2[/mm]
> und nach kürzen bekomme
> ich 1 [mm]\ge[/mm] 1/2
> Womit die Aussage gezeigt wäre.Naja das is relativ
> einfach.
Jetzt hast du aber angenommen, dass c sogar von p und q
abhängig sein darf, aber das ist nun bestimmt nicht
gemeint.
> Ich befürchte das c wohl tatsächlich ein fester
> wert sein soll und von keiner anderen variablen abhängen
> darf.
Eine Abhängigkeit von a dürfte man wohl schon zulassen.
Immerhin wird in der Aufgabe zuerst a eingeführt, und erst
dann heißt es: "zeige, dass es eine Konstante c gibt ..."
> Ich habe viele Umformungen auspobiert aber nichts hat mich
> wirklich weiter gebracht und mir gehen so langsam die Ideen
> aus.
>
> Ausserdem ist bei der Bearbeitung folgende Frage
> aufgekommen:
> Da [mm]\IQ[/mm] dicht in [mm]\IR[/mm] liegt, Gibt es zwichen zwei zahlen aus
> [mm]\IR[/mm] immer eine Zahl aus [mm]\IQ.[/mm]
> Ausserdem ist auch immer möglich für 2 zahlen aus [mm]\IQ[/mm]
> eine Zahl aus [mm]\IR[/mm] zu finden die dazwichen liegt.
> Ist es nun aber auch immer möglich für 2 Zahlen aus [mm]\IQ[/mm]
> eine zahl [mm]\wurzel{a} \not\in \IQ[/mm] mit a [mm]\in \IQ+[/mm] mit
> [mm]\wurzel{a}[/mm] zu finden die dazwichen liegt.
> Ich bin mir da nicht sicher.Ich würde auf ja tippen habe
> aber keine vernünftige argumentation dazu.
Ja. Betrachte etwa die Quadratfunktion und ihren Wertebereich.
nebenbei: "dazwischen" schreibt man (im Gegensatz zu "sandwich")
mit einem s vor dem ch ...
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:44 Fr 21.10.2011 | | Autor: | gnom347 |
Danke für die Antwort.
Dein Hinweis mit der Quadratfunktion funktion verstehe ich nicht.
Die Quadratfunktion [mm] y=x^{2} [/mm] Hat [mm] Definitionsbereich:\IR
[/mm]
und [mm] Wertebereich:\IR+ [/mm] Aber ich sehe nicht wie mir das weiterhilft :(
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> Danke für die Antwort.
> Dein Hinweis mit der Quadratfunktion funktion verstehe ich
> nicht.
> Die Quadratfunktion [mm]y=x^{2}[/mm] Hat [mm]Definitionsbereich:\IR[/mm]
> und [mm]Wertebereich:\IR+[/mm] Aber ich sehe nicht wie mir das
> weiterhilft :(
Ja, das habe ich wohl allzu knapp formuliert.
Deine betreffende Frage war:
> Ist es nun aber auch immer möglich für 2 Zahlen aus $ [mm] \IQ [/mm] $
> eine zahl $ [mm] \wurzel{a} \not\in \IQ [/mm] $ mit a $ [mm] \in \IQ+ [/mm] $ mit
> $ [mm] \wurzel{a} [/mm] $ zu finden die dazwichen liegt.
Seien [mm] r_1 [/mm] und [mm] r_2 [/mm] zwei rationale Zahlen mit $\ [mm] 0\le r_1
Dann gilt auch $\ [mm] 0\le r_1^2
[mm] r_1^2 [/mm] und [mm] r_2^2 [/mm] unendlich viele rationale Zahlen. Unter
diesen sind diejenigen, die eine rationale Quadrat-
wurzel haben, äußerst rar.
Also habe ich geschlossen, dass es zwischen [mm] r_1^2 [/mm] und [mm] r_2^2 [/mm]
auch unendlich viele rationale Zahlen mit nicht-rationaler
Quadratwurzel geben muss.
Ich sehe nun, dass dies natürlich noch kein hieb- und
stichfester Beweis ist - man müsste erst noch einen
solchen daraus machen ...
Daran beteiligen sich bestimmt gerne auch noch Andere -
ich habe im Moment gerade keine Zeit dazu ...
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:22 Mo 24.10.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo gnom347!
> Sei a [mm]\in \IQ+[/mm] mit [mm]\wurzel{a} \not\in \IQ.[/mm]
> Zeige, dass es eine Konstante c > 0 gibt, so dass für
> alle p/q [mm]\in \IQ[/mm] gilt:
> |p/q - [mm]\wurzel{a}| \ge c/q^{2}[/mm]
>
> Also ich hab einige Probleme mit diese Aufgabe ich bin mir
> auch nicht sicher wie sie gemeint ist.
> Was ist mit "c ist eine konstante" gemeint? Soll c
> tatsächliche eine feste Zahl sein oder darf c von
> beispielsweise a abhängen.
>
> Wenn c abhängig sein darf kann ich die aufgabe lösen mit
> c:=|p/q - [mm]\wurzel{a}| \*q^{2}/2[/mm]
> und nach kürzen bekomme
> ich 1 [mm]\ge[/mm] 1/2
> Womit die Aussage gezeigt währe.Naja das is relativ
> einfach. Ich befürchte das c wohl tatsächlich ein fester
> wert sein soll und von keiner anderen variablen abhängen
> darf.
> Ich habe viele umformungen auspobiert aber nichts hat mich
> wirklich weiter gebracht und mir gehen so langsam die Ideen
> aus.
>
> Ausserdem ist bei der bearbeitung folgende Frage
> aufgekommen:
> Da [mm]\IQ[/mm] dicht in [mm]\IR[/mm] liegt, Gibt es zwischen zwei zahlen
> aus [mm]\IR[/mm] immer eine Zahl aus [mm]\IQ.[/mm]
> Ausserdem ist auch immer möglich für 2 zahlen aus [mm]\IQ[/mm]
> eine Zahl aus [mm]\IR[/mm] zu finden die dazwischen liegt.
> Ist es nun aber auch immer möglich für 2 Zahlen aus [mm]\IQ[/mm]
> eine zahl [mm]\wurzel{a} \not\in \IQ[/mm] mit a [mm]\in \IQ+[/mm] zu
> finden die dazwischen liegt.
> Ich bin mir da nicht sicher.Ich würde auf ja tippen habe
> aber keine vernünftige argumentation dazu.
>
>
Die Aufgabe beschreibt einen Spezialfall des Approximationssatzes von L. 
Es genügt Tupel $p,q$ zu betrachten mit $|p/q - [mm] \wurzel{a}| \leq [/mm] 1$. (Warum?)
Betrachte das Minimalpolynom $g(X) [mm] \in \mathbb{Q}[X]$ [/mm] von [mm] $\sqrt [/mm] a$ und ein daraus konstruiertes $f(X) [mm] \in \mathbb{Z}[X]$. [/mm]
Dann [mm] $|f(\frac{p}{q})|$ [/mm] nach unten und oben abschätzen.
LG mathfunnel
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> > Sei a [mm]\in \IQ^+[/mm] mit [mm]\wurzel{a} \not\in \IQ.[/mm]
> > Zeige, dass es eine Konstante c > 0 gibt, so dass für
> > alle p/q [mm]\in \IQ[/mm] gilt:
> > |p/q - [mm]\wurzel{a}| \ge c/q^{2}[/mm]
> Die Aufgabe beschreibt einen Spezialfall des
> Approximationssatzes von L.
>
> Es genügt Tupel [mm]p,q[/mm] zu betrachten mit [mm]|p/q - \wurzel{a}| \leq 1[/mm].
> (Warum?)
>
> Betrachte das Minimalpolynom [mm]g(X) \in \mathbb{Q}[X][/mm] von
> [mm]\sqrt a[/mm] und ein daraus konstruiertes [mm]f(X) \in \mathbb{Z}[X][/mm].
>
> Dann [mm]|f(\frac{p}{q})|[/mm] nach unten und oben abschätzen.
Hallo mathfunnel,
diesem Approximationssatz bin ich bisher nie begegnet.
1.) Frage an dich und alle anderen: Gäbe es eine Möglichkeit,
in dem konkreten Beispiel der vorliegenden Aufgabe auch
ohne Kenntnis dieses Satzes einen Beweis "zu Fuß" zu
erstellen ? (Solch ein Zugang würde wohl die Motivation,
sich mit dem Liouvilleschen Satz zu befassen, deutlich
heben)
2.) Und eine weitere wichtige Frage: der Beweis der Existenz
einer Zahl mit bestimmten Eigenschaften und die tatsächliche
Berechnung einer solchen Zahl sind oft zwei sehr verschiedene
Paar Stiefel. Deshalb: wie kann man zu einer vorgegebenen
positiven rationalen Zahl a mit irrationaler Quadratwurzel
eine zugehörige Konstante c berechnen ? Nehmen wir als
Beispiel etwa einmal die Zahl [mm] a=\frac{7}{15} [/mm] .
LG Al-Chw.
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Hallo, Al-Chwarizmi!
> > > Sei a [mm]\in \IQ^+[/mm] mit [mm]\wurzel{a} \not\in \IQ.[/mm]
> > > Zeige, dass es eine Konstante c > 0 gibt, so dass für
> > > alle p/q [mm]\in \IQ[/mm] gilt:
> > > |p/q - [mm]\wurzel{a}| \ge c/q^{2}[/mm]
>
> > Die Aufgabe beschreibt einen Spezialfall des
> > Approximationssatzes von L.
> >
> > Es genügt Tupel [mm]p,q[/mm] zu betrachten mit [mm]|p/q - \wurzel{a}| \leq 1[/mm].
> > (Warum?)
> >
> > Betrachte das Minimalpolynom [mm]g(X) \in \mathbb{Q}[X][/mm] von
> > [mm]\sqrt a[/mm] und ein daraus konstruiertes [mm]f(X) \in \mathbb{Z}[X][/mm].
> >
> > Dann [mm]|f(\frac{p}{q})|[/mm] nach unten und oben abschätzen.
>
>
>
> Hallo mathfunnel,
>
> diesem Approximationssatz bin ich bisher nie begegnet.
>
> 1.) Frage an dich und alle anderen: Gäbe es eine
> Möglichkeit,
> in dem konkreten Beispiel der vorliegenden Aufgabe auch
> ohne Kenntnis dieses Satzes einen Beweis "zu Fuß" zu
> erstellen ? (Solch ein Zugang würde wohl die Motivation,
> sich mit dem Liouvilleschen Satz zu befassen, deutlich
> heben)
>
Ja, so wie ich beschrieben habe! Dazu benötigt man den Satz ja nicht.
> 2.) Und eine weitere wichtige Frage: der Beweis der
> Existenz
> einer Zahl mit bestimmten Eigenschaften und die
> tatsächliche
> Berechnung einer solchen Zahl sind oft zwei sehr
> verschiedene
> Paar Stiefel.
Stimmt, aber in diesem Fall sollte die Berechnung anhand des Beweises möglich sein.
> Deshalb: wie kann man zu einer vorgegebenen
> positiven rationalen Zahl a mit irrationaler
> Quadratwurzel
> eine zugehörige Konstante c berechnen ? Nehmen wir als
> Beispiel etwa einmal die Zahl [mm]a=\frac{7}{15}[/mm] .
>
> LG Al-Chw.
>
LG mathfunnel
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