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| Aufgabe | | Zeige durhc direkte Rechnung, dass für m,n [mm] \in \IN [/mm] und k [mm] \in [/mm] {2, 3, ... ,n} gilt: [mm] \bruch{1}{m^{k}}\vektor{m \\ k} [/mm] < [mm] \bruch{1}{n^{k}}\vektor{n \\ K} [/mm] |
[mm] \vektor{m \\ k} [/mm] < [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] ist klar, aber dann komme ich nicht weiter. [mm] \bruch{1}{m^{k}} [/mm] ist doch > [mm] \bruch{1}{n^{k}} [/mm] ???
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Hallo Julia! Du sollst das doch durch direkte rechnung zeigen. Also schreib das doch mal aus:
[mm] \bruch{1}{m^{k}} \vektor{m \\ k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{m^{k}} \bruch{m(m-1)*....*(m-k+1)}{k!} [/mm] = [mm] \bruch{1}{k!} (1-\bruch{1}{m}) (1-\bruch{2}{m}) [/mm] *....* [mm] (1-\bruch{k-1}{m}) [/mm] < [mm] \bruch{1}{k!} (1-\bruch{1}{n}) (1-\bruch{2}{n}) [/mm] *....* [mm] (1-\bruch{k-1}{n}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n^{k}} \vektor{n \\ k}
[/mm]
Gruß
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Ok, das leuchtet mir ein. Habs nochmal ausführlich nachvollzogen.
Danke!
Gruß,
Julia
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