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Forum "Mathematik-Wettbewerbe" - Ungleichung beweisen
Ungleichung beweisen < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Ungleichung beweisen: Aufgabenstellung
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 14:23 Mo 25.02.2008
Autor: tuxor

Aufgabe
Gegeben sind reelle Zahlen [mm] a_{1},a_{2},...,a_{n} [/mm] und positive reelle Zahlen [mm] b_{1},b_{2},...,b_{n}. [/mm] Zeige:
[mm] \bruch{a_{1}^2}{ b_{1}}+\bruch{a_{2}^2}{ b_{2}}+...+\bruch{a_{n}^2}{ b_{n}} \ge \bruch{(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^2}{b_{1}+b_{2}+...+b_{n}} [/mm]
Wann gilt hier Gleichheit? (Hinweis: Betrachte zunächst die Fälle n=1 und n=2)

Hallo, ich bin es mal wieder!
Ich beschäftige mich momentan mit Aufgaben zum Thema Ungleichungen und habe hier eine besonders schwere, wie mir scheint.
Entsprechend bin ich leider auch erstmal an der Lösung gescheitert. Die Umformung der Gleichung scheint mir extrem schwierig und mit einem Versuch des Ausmultiplizierens der rechten Seite und dem Versuch, die linke Seite auf dem selben Nenner zu vereinen, bin ich leider nicht weiterkommen.

Hat jemand eine Idee?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Ungleichung beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:40 Mo 25.02.2008
Autor: abakus


> Gegeben sind reelle Zahlen [mm]a_{1},a_{2},...,a_{n}[/mm] und
> positive reelle Zahlen [mm]b_{1},b_{2},...,b_{n}.[/mm] Zeige:
>  [mm]\bruch{a_{1}^2}{ b_{1}}+\bruch{a_{2}^2}{ b_{2}}+...+\bruch{a_{n}^2}{ b_{n}} \ge \bruch{(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^2}{b_{1}+b_{2}+...+b_{n}}[/mm]
>  
> Wann gilt hier Gleichheit? (Hinweis: Betrachte zunächst die
> Fälle n=1 und n=2)
>  Hallo, ich bin es mal wieder!
>  Ich beschäftige mich momentan mit Aufgaben zum Thema
> Ungleichungen und habe hier eine besonders schwere, wie mir
> scheint.
>  Entsprechend bin ich leider auch erstmal an der Lösung
> gescheitert. Die Umformung der Gleichung scheint mir extrem
> schwierig und mit einem Versuch des Ausmultiplizierens der
> rechten Seite und dem Versuch, die linke Seite auf dem
> selben Nenner zu vereinen, bin ich leider nicht
> weiterkommen.
>  
> Hat jemand eine Idee?
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Hallo,
wie lautet dein Ergebnis für n=1 und n=2?
Gruß
Abakus

Bezug
                
Bezug
Ungleichung beweisen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:55 Mo 25.02.2008
Autor: tuxor

Für n=1 ist die Sache trivial: [mm] \bruch{a_{1}^2}{b_{1}} \ge \bruch{a_{1}^2}{b_{1}} [/mm]

Bei n=2 ist es schon etwas komplexer:
[mm] \bruch{a_{1}^2}{b_{1}} [/mm] + [mm] \bruch{a_{2}^2}{b_{2}} \ge \bruch{(a_{1}+a_{2})^2}{b_{1}+b_{2}} [/mm]
Nach einiger Umformung erhält man folgendes:
[mm] b_{2}^2a_{1}^2+b_{1}^2a_{2}^2 \ge 2b_{1}b_{2}a_{1}a_{2} [/mm]
Man hat hier die gleichgeordneten Folgen [mm] b_{2}a_{1},b_{1}a_{2} [/mm] und [mm] b_{2}a_{1},b_{1}a_{2}. [/mm] Mit dem Umordnungssatz kann diese Ungleichung also bewiesen werden.

Eine Umformung wie mit n=2 ist mit beliebigem n natürlich denkbar schwer... Mir jedenfalls gelingt das nicht! Kann mir jemand einen Tipp geben?

Bezug
                        
Bezug
Ungleichung beweisen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:42 Mo 25.02.2008
Autor: leduart

Hallo
Stammt die Aufgabe aus einem laufenden Wettbewerb? Dann dürfen wir dir aus Fairnessgründen keine Antwort geben.
Also sag bitte zuerst, woher die Aufgabe kommt.
gruss leduart

Bezug
                                
Bezug
Ungleichung beweisen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:40 Mo 25.02.2008
Autor: tuxor

Natürlich ist die Aufgabe nicht aus einem laufenden Wettbewerb. Ich halte hier ein Blatt in Händen mit "Übungsaufgaben zum Thema Ungleichungen", das ich an einem Matheseminar zur Vorbereitung auf die hessische Mathematik-Olympiade einst ausgeteilt bekam.
Die Aufgaben auf diesem Blatt arbeite ich eine nach der anderen durch, weshalb ich auch so viele Themen bezüglich Ungleichungen eröffnet habe.

Als Forum habe ich "Wettbewerbe" gewählt, weil dies offensichtlich Übungsaufgaben für Wettbewerb-Mathematik sind.

Bezug
                        
Bezug
Ungleichung beweisen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:43 Mo 25.02.2008
Autor: abakus


> Für n=1 ist die Sache trivial: [mm]\bruch{a_{1}^2}{b_{1}} \ge \bruch{a_{1}^2}{b_{1}}[/mm]
>
> Bei n=2 ist es schon etwas komplexer:
>  [mm]\bruch{a_{1}^2}{b_{1}}[/mm] + [mm]\bruch{a_{2}^2}{b_{2}} \ge \bruch{(a_{1}+a_{2})^2}{b_{1}+b_{2}}[/mm]
> Nach einiger Umformung erhält man folgendes:
>  [mm]b_{2}^2a_{1}^2+b_{1}^2a_{2}^2 \ge 2b_{1}b_{2}a_{1}a_{2}[/mm]


Hallo,
wenn du jetzt noch durch Subtraktion die rechte Seite auf Null bringst, hast du links einen Term, auf den eine binomische Formel passt.
Abakus



>  
> Man hat hier die gleichgeordneten Folgen
> [mm]b_{2}a_{1},b_{1}a_{2}[/mm] und [mm]b_{2}a_{1},b_{1}a_{2}.[/mm] Mit dem
> Umordnungssatz kann diese Ungleichung also bewiesen
> werden.
>  
> Eine Umformung wie mit n=2 ist mit beliebigem n natürlich
> denkbar schwer... Mir jedenfalls gelingt das nicht! Kann
> mir jemand einen Tipp geben?


Bezug
                                
Bezug
Ungleichung beweisen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:50 Mo 25.02.2008
Autor: tuxor

Uups, die Möglichkeit mit der binomischen Formel ist natürlich um einiges eleganter. Ich bin eben schon ein wenig overfed mit diesen Brechstangen-Methoden wie Umordnungssatz und Chebishew-Ungleichung und Cauchy-Schwarz....

Das hilft mir aber immer noch nichts in Bezug auf beliebige n...

Bezug
                                        
Bezug
Ungleichung beweisen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:20 Mo 25.02.2008
Autor: abakus


> Uups, die Möglichkeit mit der binomischen Formel ist
> natürlich um einiges eleganter. Ich bin eben schon ein
> wenig overfed mit diesen Brechstangen-Methoden wie
> Umordnungssatz und Chebishew-Ungleichung und
> Cauchy-Schwarz....
>  
> Das hilft mir aber immer noch nichts in Bezug auf beliebige
> n...

Also ich würde es ja mal mit n=3 probieren (mir selbst fehlt im Moment der Elan ;-)), es könnte ja aber vielleicht wieder eine Ungleichung der Form
[mm] $(u+v+w)^2\ge [/mm] 0$ entstehen?

Bezug
                                                
Bezug
Ungleichung beweisen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:48 Mo 25.02.2008
Autor: tuxor

Ok bei n=3 gilt:

[mm] b_{1}(b_{3}a_{2}-b_{2}a_{3})^2 [/mm] + [mm] b_{2}(b_{3}a_{1}-b_{1}a_{3})^2 [/mm] + [mm] b_{3}(b_{2}a_{1}-b_{1}a_{2})^2 \ge [/mm] 0

Aber das kann ich ja wohl schlecht jetzt mit allen n machen?!

Bezug
                                                        
Bezug
Ungleichung beweisen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:33 Mo 25.02.2008
Autor: abakus


> Ok bei n=3 gilt:
>  
> [mm]b_{1}(b_{3}a_{2}-b_{2}a_{3})^2[/mm] +
> [mm]b_{2}(b_{3}a_{1}-b_{1}a_{3})^2[/mm] +
> [mm]b_{3}(b_{2}a_{1}-b_{1}a_{2})^2 \ge 0[/mm]
>  
> Aber das kann ich ja wohl schlecht jetzt mit allen n
> machen?!

Die Ungleichung  [mm] $b_{3}(b_{2}a_{1}-b_{1}a_{2})^2 \ge0$ [/mm] entsteht, wenn du die Ungleichung für n=2 mit [mm] b_3 [/mm] multiplizierst.
Aus dieser Ungleichung erhältst du auch  [mm]b_{2}(b_{3}a_{1}-b_{1}a_{3})^2\ge0[/mm] und [mm] b_{1}(b_{3}a_{2}-b_{2}a_{3})^2\ge0[/mm] [/mm] durch zyklisches vertauschen der Nummern.
Damit lässt sich sicher was anfangen, wenn dir das Beweisverfahren der vollständigen Induktion geläufig ist.
Viele Grüße
Abakus

Bezug
                                                                
Bezug
Ungleichung beweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:18 Di 26.02.2008
Autor: tuxor

Es geht hier um reelle Zahlen, wie willst du da vollständige Induktion anwenden? Ich bin übrigens leider noch immer nicht weiter gekommen mit der Aufgabe :(

Bezug
                                                                        
Bezug
Ungleichung beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:47 Di 26.02.2008
Autor: XPatrickX

Hi, es ist [mm] a_n,b_n \in \IR, [/mm] aber n [mm] \in \IN. [/mm]
Gruß Patrick

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