Ungleichung beweisen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen Sie folgende Ungleichung für alle 0<m<n
[mm] \bruch{n-m}{n} [/mm] < ln [mm] \bruch{n}{m} [/mm] < [mm] \bruch{n-m}{m} [/mm] |
Ich vermute starkt dass hier der Mittelwertsatz angewendet werden kann und soll, kriege das aber nicht hin.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:48 Mo 30.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Beweisen Sie folgende Ungleichung für alle 0<m<n
>
> [mm]\bruch{n-m}{n}[/mm] < ln [mm]\bruch{n}{m}[/mm] < [mm]\bruch{n-m}{m}[/mm]
> Ich vermute starkt dass hier der Mittelwertsatz angewendet
> werden kann und soll, kriege das aber nicht hin.
bekanntlich gilt ja [mm] $\ln(n/m)=\ln(n)-\ln(m)\,.$ [/mm] Damit ist
[mm] $$\frac{n-m}{n} [/mm] < [mm] \ln\left(\frac{n}{m}\right)$$
[/mm]
wegen $n-m > [mm] 0\,$ [/mm] äquivalent zu
[mm] $$(\star)\;\;\;\frac{1}{n} [/mm] < [mm] \frac{\ln(n)-\ln(m)}{n-m}\,.$$
[/mm]
(Bzw. Du wirst oder solltest Dir klarmachen, dass die ganze obige Ungleichungskette äquivalent zu
[mm] $$\frac{1}{n} [/mm] < [mm] \frac{\ln(n)-\ln(m)}{n-m} [/mm] < [mm] \frac{1}{m}$$
[/mm]
ist.)
Um die letzte Ungleichung [mm] $(\star)$ [/mm] zu beweisen:
Betrachte $x [mm] \mapsto \ln(x)$ [/mm] auf $[m,n]$ (beachte $0 < m < [mm] n\,$ [/mm] nach Voraussetzung) und wende dort nun den MWS an. Danach benutze, dass [mm] $\frac{d}{dx}\;\ln(x)=\frac{1}{x}$ [/mm] und dass $x [mm] \mapsto \frac{1}{x}$ [/mm] streng monoton fallend auf dem offenen Intervall [mm] $(0,\infty)$ [/mm] ist. Damit bekommst Du nämlich [mm] $\frac{1}{n} [/mm] < [mm] \frac{1}{\xi} [/mm] < [mm] \frac{1}{m}$ [/mm] für alle [mm] $\xi \in (m,n)\,.$
[/mm]
Wenn Du das nun einfach noch 'zusammenbastelst', bist Du auch schon fertig.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:07 Mo 30.03.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> > Beweisen Sie folgende Ungleichung für alle 0<m<n
> >
> > [mm]\bruch{n-m}{n}[/mm] < ln [mm]\bruch{n}{m}[/mm] < [mm]\bruch{n-m}{m}[/mm]
> > Ich vermute starkt dass hier der Mittelwertsatz
> angewendet
> > werden kann und soll, kriege das aber nicht hin.
>
> bekanntlich gilt ja [mm]\ln(n/m)=\ln(n)-\ln(m)\,.[/mm] Damit ist
> [mm]\frac{n-m}{n} < \ln\left(\frac{n}{m}\right)[/mm]
> wegen [mm]n-m > 0\,[/mm]
> äquivalent zu
> [mm](\star)\;\;\;\frac{1}{n} < \frac{\ln(n)-\ln(m)}{n-m}\,.[/mm]
>
> (Bzw. Du wirst oder solltest Dir klarmachen, dass die ganze
> obige Ungleichungskette äquivalent zu
> [mm]\frac{1}{n} < \frac{\ln(n)-\ln(m)}{n-m} < \frac{1}{m}[/mm]
>
> ist.)
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> Um die letzte Ungleichung [mm](\star)[/mm] zu beweisen:
> Betrachte [mm]x \mapsto \ln(x)[/mm] auf [mm][m,n][/mm] (beachte [mm]0 < m < n\,[/mm]
> nach Voraussetzung) und wende dort nun den MWS an. Danach
> benutze, dass [mm]\frac{d}{dx}\;\ln(x)=\frac{1}{x}[/mm] und dass [mm]x \mapsto \frac{1}{x}[/mm]
> streng monoton fallend auf dem offenen Intervall [mm](0,\infty)[/mm]
> ist. Damit bekommst Du nämlich [mm]\frac{1}{n} < \frac{1}{\xi} < \frac{1}{m}[/mm]
> für alle [mm]\xi \in (m,n)\,.[/mm]
> Wenn Du das nun einfach noch
> 'zusammenbastelst', bist Du auch schon fertig.
Hallo, der zweite Teil der Ungleichng folgt auch aus ln x [mm] \le [/mm] x-1.
(y=x-1 ist die Tangente an y=ln x im Punkt (1|0), und wegen des Krümmungsverhaltens liegen alle anderen Punkte des Graphen von ln x unter dieser Tangente.
Gruß Abakus
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:56 Di 31.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > Beweisen Sie folgende Ungleichung für alle 0<m<n
> > >
> > > [mm]\bruch{n-m}{n}[/mm] < ln [mm]\bruch{n}{m}[/mm] < [mm]\bruch{n-m}{m}[/mm]
> > > Ich vermute starkt dass hier der Mittelwertsatz
> > angewendet
> > > werden kann und soll, kriege das aber nicht hin.
> >
> > bekanntlich gilt ja [mm]\ln(n/m)=\ln(n)-\ln(m)\,.[/mm] Damit ist
> > [mm]\frac{n-m}{n} < \ln\left(\frac{n}{m}\right)[/mm]
> > wegen [mm]n-m > 0\,[/mm]
> > äquivalent zu
> > [mm](\star)\;\;\;\frac{1}{n} < \frac{\ln(n)-\ln(m)}{n-m}\,.[/mm]
>
> >
> > (Bzw. Du wirst oder solltest Dir klarmachen, dass die ganze
> > obige Ungleichungskette äquivalent zu
> > [mm]\frac{1}{n} < \frac{\ln(n)-\ln(m)}{n-m} < \frac{1}{m}[/mm]
>
> >
> > ist.)
> >
> > Um die letzte Ungleichung [mm](\star)[/mm] zu beweisen:
> > Betrachte [mm]x \mapsto \ln(x)[/mm] auf [mm][m,n][/mm] (beachte [mm]0 < m < n\,[/mm]
> > nach Voraussetzung) und wende dort nun den MWS an. Danach
> > benutze, dass [mm]\frac{d}{dx}\;\ln(x)=\frac{1}{x}[/mm] und dass [mm]x \mapsto \frac{1}{x}[/mm]
> > streng monoton fallend auf dem offenen Intervall [mm](0,\infty)[/mm]
> > ist. Damit bekommst Du nämlich [mm]\frac{1}{n} < \frac{1}{\xi} < \frac{1}{m}[/mm]
> > für alle [mm]\xi \in (m,n)\,.[/mm]
> > Wenn Du das nun einfach
> noch
> > 'zusammenbastelst', bist Du auch schon fertig.
> Hallo, der zweite Teil der Ungleichng folgt auch aus ln x
> [mm]\le[/mm] x-1.
> (y=x-1 ist die Tangente an y=ln x im Punkt (1|0), und
> wegen des Krümmungsverhaltens liegen alle anderen Punkte
> des Graphen von ln x unter dieser Tangente.
> Gruß Abakus
ohja, das wäre durchaus ein schöner Weg. Den kann man auch auf die erste Ungleichung übertragen, man überzeuge sich, dass
$$1-x < [mm] \ln(1/x)\;\;\;\text{ auf } [/mm] (0,1)$$
gilt.
Oder man nehme einfach, was Du oben ja herausgefunden hast, die Ungleichung
[mm] $$\ln(x) [/mm] < [mm] x-1\;\;\;\text{auf }(1,\infty)$$
[/mm]
und beachte, dass $x [mm] \in (1,\infty) \gdw y=\frac{1}{x} \in [/mm] (0,1)$ sowie [mm] $-\ln(1/y)=\ln(y)$ [/mm] für $y > [mm] 0\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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> benutze, dass [mm]\frac{d}{dx}\;\ln(x)=\frac{1}{x}[/mm] und dass [mm]x \mapsto \frac{1}{x}[/mm]
> streng monoton fallend auf dem offenen Intervall [mm](0,\infty)[/mm]
> ist. Damit bekommst Du nämlich [mm]\frac{1}{n} < \frac{1}{\xi} < \frac{1}{m}[/mm]
> für alle [mm]\xi \in (m,n)\,.[/mm]
An genau dieser Stelle hakt es etwas. Wie kommt hier das "echt größer als" zustande? Warum nicht "größer gleich"? [mm]\xi \in (m,n)\,.[/mm] bedeutet doch auch, dass [mm] \xi=m [/mm] oder [mm] \xi=n [/mm] möglich wäre?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:08 Di 31.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> > benutze, dass [mm]\frac{d}{dx}\;\ln(x)=\frac{1}{x}[/mm] und dass [mm]x \mapsto \frac{1}{x}[/mm]
> > streng monoton fallend auf dem offenen Intervall [mm](0,\infty)[/mm]
> > ist. Damit bekommst Du nämlich [mm]\frac{1}{n} < \frac{1}{\xi} < \frac{1}{m}[/mm]
> > für alle [mm]\xi \in (m,n)\,.[/mm]
>
> An genau dieser Stelle hakt es etwas. Wie kommt hier das
> "echt größer als" zustande? Warum nicht "größer gleich"?
> [mm]\xi \in (m,n)\,.[/mm] bedeutet doch auch, dass [mm]\xi=m[/mm] oder [mm]\xi=n[/mm]
> möglich wäre?
Nein.
$ [mm] \xi \in (m,n)\, [/mm] $ [mm] \gdw [/mm] $m< [mm] \xi [/mm] <n$
Es ist
(m,n) = { x [mm] \in \IR: [/mm] m<x<n }
und
[m,n] = { x [mm] \in \IR: [/mm] m [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] n }
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:28 Di 31.03.2009 | | Autor: | Blueplanet |
Ahaaaaaa!
Kannte die Schreibweise mit runden Klammern nicht, weshalb mich auch der Wikipediaartikel eher verwirrt hat.
Vielen Dank!
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