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| Aufgabe | | Beweisen Sie folgende Ungleichung 0 [mm] \le \bruch{10^n}{n!} \le [/mm] 1 [mm] \forall [/mm] n > 24 |
Hallo!
Ich habe mir gedacht, das kann man nur durch vollständige Induktion beweisen.
Induktionsvoraussetzung: 0 [mm] \le \bruch{10^n}{n!} \le [/mm] 1 [mm] \forall [/mm] n > 24
Induktionsanfang:
0 [mm] \le \bruch{10^{25}}{25!} \le [/mm] 1
0 [mm] \le [/mm] 0,64 [mm] \le [/mm] 1
OK, der Induktionsanfang passt mal -> wahre Aussage (oder wie schreibt man das sonst, dass es richtig ist?)
Induktionsbehauptung:
OK, hier muss ich also beweisen, dass die Aussage P(n) auch für P(n+1) gilt, also P(n) [mm] \Rightarrow [/mm] P(n+1)
0 [mm] \le \bruch{10^{n+1}}{(n+1)!} \le [/mm] 1
0 [mm] \le 10^{n+1} \le [/mm] (n+1)!
Bin ich bis hierher richtig vorgegangen? Wie kann man diesen Ausdruck jetzt sinnvoll umformen damit man die Richtigkeit sieht? Bzw. Ich habe doch gar nicht Induktionsvoraussetzung eingesetzt? Wie müsste ich das hier machen? Bis jetzt habe ich das immer nur mit Summen-Formeln gemacht, da ist es ja einfach...
Danke für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:45 Mi 01.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie folgende Ungleichung 0 [mm]\le \bruch{10^n}{n!} \le[/mm]
> 1 [mm]\forall[/mm] n > 24
> Hallo!
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> Ich habe mir gedacht, das kann man nur durch vollständige
> Induktion beweisen.
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> Induktionsvoraussetzung: 0 [mm]\le \bruch{10^n}{n!} \le[/mm] 1
> [mm]\forall[/mm] n > 24
>
1. Wenn Du das voraussetzt mußt Du doch nichts mehr beweisen !!!
2. Die Induktionsvoraussetzung kommt nach dem Induktionsanfang
3. Die Induktionvor. lautet korrekt so:
Sei n [mm] \in \IN [/mm] , n>24 und [mm] \bruch{10^{n}}{n!} \le [/mm] 1, also [mm] 10^{n}\le [/mm] n!
> Induktionsanfang:
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> 0 [mm]\le \bruch{10^{25}}{25!} \le[/mm] 1
> 0 [mm]\le[/mm] 0,64 [mm]\le[/mm] 1
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> OK, der Induktionsanfang passt mal -> wahre Aussage (oder
> wie schreibt man das sonst, dass es richtig ist?)
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> Induktionsbehauptung:
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> OK, hier muss ich also beweisen, dass die Aussage P(n) auch
> für P(n+1) gilt, also P(n) [mm]\Rightarrow[/mm] P(n+1)
>
> 0 [mm]\le \bruch{10^{n+1}}{(n+1)!} \le[/mm] 1
> 0 [mm]\le 10^{n+1} \le[/mm] (n+1)!
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> Bin ich bis hierher richtig vorgegangen? Wie kann man
> diesen Ausdruck jetzt sinnvoll umformen damit man die
> Richtigkeit sieht? Bzw. Ich habe doch gar nicht
> Induktionsvoraussetzung eingesetzt? Wie müsste ich das hier
> machen? Bis jetzt habe ich das immer nur mit Summen-Formeln
> gemacht, da ist es ja einfach...
>
> Danke für eure Hilfe!
Der Schritt von n auf n+1:
[mm] $10^{n+1} [/mm] = 10^n10 [mm] \le [/mm] n! 10 [mm] \le [/mm] n!(n+1) = (n+1)!$
FRED
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