Ungleichung beweisen < Nichtlineare Gleich. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:11 So 06.12.2009 | | Autor: | Sakina |
| Aufgabe | Es sei n [mm] \in \IN [/mm] \ {0} fest gewählt.
a) Zeigen Sie: Für nicht-negative x,y [mm] \in \IR [/mm] gilt stets [mm] |\wurzel[n]{x} [/mm] - [mm] \wurzel[n]{y}| \le \wurzel[n]{|x - y|}.
[/mm]
Tip. Betrachten Sie [mm] (\wurzel[n]{x - y} [/mm] + [mm] \wurzel[n]{y})^n [/mm] |
Also ich sitze seit Stunden dran aber ich komme nicht sehr viel weiter.
Bisher kam ich so weit:
[mm] |\wurzel[n]{x} [/mm] - [mm] \wurzel[n]{y}| \le \wurzel[n]{|x-y|}
[/mm]
[mm] \wurzel[n]{x} \le \wurzel[n]{|x-y|} [/mm] + [mm] \wurzel[n]{y}
[/mm]
x [mm] \le (\wurzel[n]{|x-y|} [/mm] + [mm] \wurzel[n]{y})^n
[/mm]
x [mm] \le \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} (\wurzel[n]{|x-y|})^{n-k} (\wurzel[n]{y})^k [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} \bruch{|x-y|}{\wurzel[n]{(|x - y|)^k}} \wurzel[n]{y^k} [/mm] = |x - y| [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} \wurzel[n]{\bruch{y^k}{(|x-y|)^k}}
[/mm]
wäre echt dankbar für weiterhilfe!! Ich komme hier nicht mehr weiter..
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo sakina, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ich sehe gerade, dass Du auf Deine erste Anfrage hier, vor einem Monat, keine Antwort bekommen hast. Schön, dass Du trotzdem nochmal wiederkommst. 
Im Moment sehe ich keinen schönen Weg, Deine Aufgabe zu lösen. Ich würde da mit Fallunterscheidungen arbeiten, also x>y und x<y (x=y ist glücklicherweise kurz), aber es ist womöglich auch noch zu bedenken, dass die Wurzelfunktion sich zwischen 0 und 1 anders verhält als bei größeren Werten.
> Es sei n [mm]\in \IN[/mm] \ {0} fest gewählt.
>
> a) Zeigen Sie: Für nicht-negative x,y [mm]\in \IR[/mm] gilt stets
> [mm]|\wurzel[n]{x}[/mm] - [mm]\wurzel[n]{y}| \le \wurzel[n]{|x - y|}.[/mm]
>
> Tip. Betrachten Sie [mm](\wurzel[n]{x - y}[/mm] + [mm]\wurzel[n]{y})^n[/mm]
> Also ich sitze seit Stunden dran aber ich komme nicht sehr
> viel weiter.
>
> Bisher kam ich so weit:
>
> [mm]|\wurzel[n]{x}[/mm] - [mm]\wurzel[n]{y}| \le \wurzel[n]{|x-y|}[/mm]
>
> [mm]\wurzel[n]{x} \le \wurzel[n]{|x-y|}[/mm] + [mm]\wurzel[n]{y}[/mm]
Dieser Schritt setzt aber voraus, dass [mm] x\ge{y} [/mm] ist - sonst kannst Du ja die Betragsstriche nicht so einfach wegfallen lassen.
> x [mm]\le (\wurzel[n]{|x-y|}[/mm] + [mm]\wurzel[n]{y})^n[/mm]
> x [mm]\le \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} (\wurzel[n]{|x-y|})^{n-k} (\wurzel[n]{y})^k[/mm]
> = [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} \bruch{|x-y|}{\wurzel[n]{(|x - y|)^k}} \wurzel[n]{y^k}[/mm]
> = |x - y| [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} \wurzel[n]{\bruch{y^k}{(|x-y|)^k}}[/mm]
Das stimmt zwar, aber wo willst Du denn hin mit Deiner Umformung? Vergiss nicht, was Du zeigen willst. Da ja [mm] x\ge{y} [/mm] vorausgesetzt ist, lasse ich die Betragsstriche unter der Wurzel auch weg:
[mm] x\le \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} (\wurzel[n]{x-y})^{n-k} (\wurzel[n]{y})^k=\blue{\left(\wurzel[n]{x-y}\right)^n+\left(\wurzel[n]{y}\right)^n}+ \summe_{k=1}^{n-1} \vektor{n \\ k} (\wurzel[n]{x-y})^{n-k} (\wurzel[n]{y})^k=\blue{x-y+y}+\summe\cdots
[/mm]
Nun ist jeder Term der Summe positiv, also ist dieser Fall schonmal gezeigt.
Jetzt brauchst Du aber noch x<y.
Das geht natürlich im Prinzip genauso.
> wäre echt dankbar für weiterhilfe!! Ich komme hier nicht
> mehr weiter..
Viel Erfolg!
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 So 06.12.2009 | | Autor: | Sakina |
Kann es sein dass bei deinem Fall ein Fehler auftritt?
$ [mm] x\le \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} (\wurzel[n]{x-y})^{n-k} (\wurzel[n]{y})^k=\blue{\left(\wurzel[n]{x-y}\right)^n+\left(\wurzel[n]{y}\right)^n}+ \summe_{k=1}^{n-1} \vektor{n \\ k} (\wurzel[n]{x-y})^{n-k} (\wurzel[n]{y})^k=\blue{x-y+y}+\summe\cdots [/mm] $
So wie ich sehe, hast du die letzte Partialsumme aus der Summe rausgeholt. So weit schön und gut. Aber der letzte Fall in der Summe ist ja für k = n
d.h. wir hätten bei diesem Term:
[mm] (\wurzel[n]{x-y})^{n-k}
[/mm]
folgendes:
[mm] (\wurzel[n]{x-y})^{n-n} =(\wurzel[n]{x-y})^{0} [/mm] = 1
und damit wär es widerum leider nicht mehr klar.
soweit hatte ich es auch mal an einer Stelle probiert..
hoffentlich hab ich irgendwo was falsch gemacht... *zurLösungkommenwill*
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Hallo Sakina,
> Kann es sein dass bei deinem Fall ein Fehler auftritt?
Ich denke, nein.
> [mm]x\le \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} (\wurzel[n]{x-y})^{n-k} (\wurzel[n]{y})^k=\blue{\left(\wurzel[n]{x-y}\right)^n+\left(\wurzel[n]{y}\right)^n}+ \summe_{k=1}^{n-1} \vektor{n \\ k} (\wurzel[n]{x-y})^{n-k} (\wurzel[n]{y})^k=\blue{x-y+y}+\summe\cdots[/mm]
>
> So wie ich sehe, hast du die letzte Partialsumme aus der
> Summe rausgeholt.
Ich habe den ersten und den letzten Term aus der Summe geholt. Schau mal auf die Laufgrenzen von k.
> So weit schön und gut. Aber der letzte
> Fall in der Summe ist ja für k = n
Ja.
> d.h. wir hätten bei diesem Term:
> [mm](\wurzel[n]{x-y})^{n-k}[/mm]
>
> folgendes:
> [mm](\wurzel[n]{x-y})^{n-n} =(\wurzel[n]{x-y})^{0}[/mm] = 1
> und damit wär es widerum leider nicht mehr klar.
Wir haben als letztes: [mm] \vektor{n\\n}(\wurzel[n]{x-y})^{n-n}(\wurzel[n]{y})^n=1*(\wurzel[n]{x-y})^{0}(\wurzel[n]{y})^n=1*1*y=y
[/mm]
> soweit hatte ich es auch mal an einer Stelle probiert..
>
> hoffentlich hab ich irgendwo was falsch gemacht...
> *zurLösungkommenwill*
Klarer?
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 So 06.12.2009 | | Autor: | Sakina |
also alles wäre soweit jetzt klar. Außer an einer Stelle noch.
Du meintest bei mir an dieser Stelle folgendes:
> > Bisher kam ich so weit:
> >
> > [mm]|\wurzel[n]{x}[/mm] - [mm]\wurzel[n]{y}| \le \wurzel[n]{|x-y|}[/mm]
> >
> > [mm]\wurzel[n]{x} \le \wurzel[n]{|x-y|}[/mm] + [mm]\wurzel[n]{y}[/mm]
>
> Dieser Schritt setzt aber voraus, dass [mm]x\ge{y}[/mm] ist - sonst
> kannst Du ja die Betragsstriche nicht so einfach wegfallen
> lassen.
Du meintest ebenfalls, dass es für den Fall x < y im Prinzip genauso abläuft. Jetzt muss ich zugeben, ich weiß nicht genau, wie ich bei so einen Term $ [mm] |\wurzel[n]{x} [/mm] $ - $ [mm] \wurzel[n]{y}| \le \wurzel[n]{|x-y|} [/mm] $
das - [mm] \wurzel[n]{y} [/mm] auf die andere Seite kriege, dass x < y bleibt. Ich hatte ursprünglich gedacht, dass dadurch, dass x und y sowieso als positiv festgelegt wurde, dass ich das einfach so auf die andere Seite bringen dürfte.. Was hab ich falsch verstanden?
(Vielen Dank für deine Hilfe!!!)
LG, sakina
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> Es sei n [mm]\in \IN\backslash \{0\}[/mm] fest gewählt.
>
> a) Zeigen Sie: Für nicht-negative x,y [mm]\in \IR[/mm] gilt stets
> [mm]|\wurzel[n]{x}[/mm] - [mm]\wurzel[n]{y}| \le \wurzel[n]{|x - y|}.[/mm]
>
> Tip. Betrachten Sie [mm](\wurzel[n]{x - y}[/mm] + [mm]\wurzel[n]{y})^n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Also ich sitze seit Stunden dran aber ich komme nicht sehr
> viel weiter.
Hallo Sakina,
um die Arbeit zu erleichtern, würde ich geeignete
Abkürzungen bzw. Substitutionen vornehmen, z.B.
so:
Weil der Fall x=y trivial und die Ungleichung in x und y
symmetrisch ist, dürfen wir für den Fall x\not=y o.B.d.A.
voraussetzen, dass x>y sei. Dann setzen wir a:=\wurzel[n]{x} und
b:=\wurzel[n]{y} sowie w:=\wurzel[n]{|x-y|}=\wurzel[n]{a^n-b^n}. Natürlich ist dann
$\ |\wurzel[n]{x}-\wurzel[n]{y}|=\wurzel[n]{x}-\wurzel[n]{y}=a-b$
Zu zeigen bleibt demnach, dass für a\ge0, b\ge0 mit a\ge{b} gilt:
$\ a-b\ \le\ w=\wurzel[n]{a^n-b^n}$
bzw. (um den gegebenen Tip zu verwenden):
$\wurzel[n]{a^n-b^n}+b\ \ge\ a$
Um diese Ungleichung (für positive linke und
rechte Seite !) zu beweisen, genügt es zu zeigen,
dass
$\ \left(\wurzel[n]{a^n-b^n}}+b\right)^n\ =\ (w+b)^n\ \ge\ a^n$
So, nun bist du wieder dran ...
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 So 06.12.2009 | | Autor: | Sakina |
Hallo Al-Chwarizmi,
Du sagtest:
> Weil der Fall x=y trivial und die Ungleichung in x und y
> symmetrisch ist, dürfen wir für den Fall [mm]x\not=y[/mm]
> o.B.d.A.
> voraussetzen, dass x>y sei.
Was genau ist eine Ungleichung, die in x und y symmetrisch ist? Und woher weißt du das? (hab im Internet irgendwie nix passendes dazu gefunden..)
Wäre dankbar für Antwort,
LG, Sakina
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> Hallo Al-Chwarizmi,
>
> Du sagtest:
> > Weil der Fall x=y trivial und die Ungleichung in x und
> y
> > symmetrisch ist, dürfen wir für den Fall [mm]x\not=y[/mm]
> > o.B.d.A.
> > voraussetzen, dass x>y sei.
>
> Was genau ist eine Ungleichung, die in x und y symmetrisch
> ist? Und woher weißt du das? (hab im Internet irgendwie
> nix passendes dazu gefunden..)
>
> Wäre dankbar für Antwort,
> LG, Sakina
Hallo Sakina,
die Aufgabe lautete:
| Aufgabe | Es sei n [mm] \in \IN [/mm] \ {0} fest gewählt.
a) Zeigen Sie: Für nicht-negative x,y [mm] \in \IR [/mm] gilt stets [mm] |\wurzel[n]{x} [/mm] - [mm] \wurzel[n]{y}| \le \wurzel[n]{|x - y|}.
[/mm]
Tip. Betrachten Sie [mm] (\wurzel[n]{x - y} [/mm] + [mm] \wurzel[n]{y})^n [/mm] |
Vertauscht man in der zu beweisenden Ungleichung
(1) [mm] |\wurzel[n]{x} [/mm] - [mm] \wurzel[n]{y}| \le \wurzel[n]{|x - y|}
[/mm]
die Variablen x und y, so erhält man die Ungleichung
(2) [mm] |\wurzel[n]{y} [/mm] - [mm] \wurzel[n]{x}| \le \wurzel[n]{|y - x|}
[/mm]
Weil aber |a-b|=|b-a| für alle Zahlen a und b gilt, sind
die Ungleichungen (1) und (2) absolut äquivalent.
Deshalb darf man ohne weiteres annehmen, dass [mm] x\ge{y}
[/mm]
sein soll, weil man den Beweis für den umgekehrten
Fall durch einfache Vertauschung von x und y erhalten
würde.
Wozu der kleine "Trick": damit man auf die lästigen Betrags-
striche verzichten kann ! Das erleichtert die Rechnungen
und macht sie vor allem übersichtlicher.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:27 So 06.12.2009 | | Autor: | Sakina |
Vielen Dank! Jetzt hab ich alles verstanden!!
wünsche einen schönen Abend,
Sakina
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