matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenNichtlineare GleichungenUngleichung beweisen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Nichtlineare Gleichungen" - Ungleichung beweisen
Ungleichung beweisen < Nichtlineare Gleich. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Nichtlineare Gleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Ungleichung beweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:11 So 06.12.2009
Autor: Sakina

Aufgabe
Es sei n [mm] \in \IN [/mm] \ {0} fest gewählt.

a) Zeigen Sie: Für nicht-negative x,y [mm] \in \IR [/mm] gilt stets [mm] |\wurzel[n]{x} [/mm] - [mm] \wurzel[n]{y}| \le \wurzel[n]{|x - y|}. [/mm]

Tip. Betrachten Sie [mm] (\wurzel[n]{x - y} [/mm] + [mm] \wurzel[n]{y})^n [/mm]

Also ich sitze seit Stunden dran aber ich komme nicht sehr viel weiter.

Bisher kam ich so weit:

[mm] |\wurzel[n]{x} [/mm] - [mm] \wurzel[n]{y}| \le \wurzel[n]{|x-y|} [/mm]
[mm] \wurzel[n]{x} \le \wurzel[n]{|x-y|} [/mm] + [mm] \wurzel[n]{y} [/mm]
x [mm] \le (\wurzel[n]{|x-y|} [/mm] + [mm] \wurzel[n]{y})^n [/mm]
x [mm] \le \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} (\wurzel[n]{|x-y|})^{n-k} (\wurzel[n]{y})^k [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} \bruch{|x-y|}{\wurzel[n]{(|x - y|)^k}} \wurzel[n]{y^k} [/mm] = |x - y| [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} \wurzel[n]{\bruch{y^k}{(|x-y|)^k}} [/mm]

wäre echt dankbar für weiterhilfe!! Ich komme hier nicht mehr weiter..

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Ungleichung beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:52 So 06.12.2009
Autor: reverend

Hallo sakina, [willkommenmr]

Ich sehe gerade, dass Du auf Deine erste Anfrage hier, vor einem Monat, keine Antwort bekommen hast. Schön, dass Du trotzdem nochmal wiederkommst. :-)

Im Moment sehe ich keinen schönen Weg, Deine Aufgabe zu lösen. Ich würde da mit Fallunterscheidungen arbeiten, also x>y und x<y (x=y ist glücklicherweise kurz), aber es ist womöglich auch noch zu bedenken, dass die Wurzelfunktion sich zwischen 0 und 1 anders verhält als bei größeren Werten.

> Es sei n [mm]\in \IN[/mm] \ {0} fest gewählt.
>  
> a) Zeigen Sie: Für nicht-negative x,y [mm]\in \IR[/mm] gilt stets
> [mm]|\wurzel[n]{x}[/mm] - [mm]\wurzel[n]{y}| \le \wurzel[n]{|x - y|}.[/mm]
>  
> Tip. Betrachten Sie [mm](\wurzel[n]{x - y}[/mm] + [mm]\wurzel[n]{y})^n[/mm]
>  Also ich sitze seit Stunden dran aber ich komme nicht sehr
> viel weiter.
>  
> Bisher kam ich so weit:
>  
> [mm]|\wurzel[n]{x}[/mm] - [mm]\wurzel[n]{y}| \le \wurzel[n]{|x-y|}[/mm]
>  
> [mm]\wurzel[n]{x} \le \wurzel[n]{|x-y|}[/mm] + [mm]\wurzel[n]{y}[/mm]

Dieser Schritt setzt aber voraus, dass [mm] x\ge{y} [/mm] ist - sonst kannst Du ja die Betragsstriche nicht so einfach wegfallen lassen.

>  x [mm]\le (\wurzel[n]{|x-y|}[/mm] + [mm]\wurzel[n]{y})^n[/mm]
>  x [mm]\le \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} (\wurzel[n]{|x-y|})^{n-k} (\wurzel[n]{y})^k[/mm]
> = [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} \bruch{|x-y|}{\wurzel[n]{(|x - y|)^k}} \wurzel[n]{y^k}[/mm]
> = |x - y| [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} \wurzel[n]{\bruch{y^k}{(|x-y|)^k}}[/mm]

Das stimmt zwar, aber wo willst Du denn hin mit Deiner Umformung? Vergiss nicht, was Du zeigen willst. Da ja [mm] x\ge{y} [/mm] vorausgesetzt ist, lasse ich die Betragsstriche unter der Wurzel auch weg:

[mm] x\le \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} (\wurzel[n]{x-y})^{n-k} (\wurzel[n]{y})^k=\blue{\left(\wurzel[n]{x-y}\right)^n+\left(\wurzel[n]{y}\right)^n}+ \summe_{k=1}^{n-1} \vektor{n \\ k} (\wurzel[n]{x-y})^{n-k} (\wurzel[n]{y})^k=\blue{x-y+y}+\summe\cdots [/mm]

Nun ist jeder Term der Summe positiv, also ist dieser Fall schonmal gezeigt.

Jetzt brauchst Du aber noch x<y.
Das geht natürlich im Prinzip genauso.

> wäre echt dankbar für weiterhilfe!! Ich komme hier nicht
> mehr weiter..

Viel Erfolg!
reverend

Bezug
                
Bezug
Ungleichung beweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:15 So 06.12.2009
Autor: Sakina

Kann es sein dass bei deinem Fall ein Fehler auftritt?


$ [mm] x\le \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} (\wurzel[n]{x-y})^{n-k} (\wurzel[n]{y})^k=\blue{\left(\wurzel[n]{x-y}\right)^n+\left(\wurzel[n]{y}\right)^n}+ \summe_{k=1}^{n-1} \vektor{n \\ k} (\wurzel[n]{x-y})^{n-k} (\wurzel[n]{y})^k=\blue{x-y+y}+\summe\cdots [/mm] $

So wie ich sehe, hast du die letzte Partialsumme aus der Summe rausgeholt. So weit schön und gut. Aber der letzte Fall in der Summe ist ja für k = n

d.h. wir hätten bei diesem Term:
[mm] (\wurzel[n]{x-y})^{n-k} [/mm]

folgendes:
[mm] (\wurzel[n]{x-y})^{n-n} =(\wurzel[n]{x-y})^{0} [/mm] = 1
und damit wär es widerum leider nicht mehr klar.

soweit hatte ich es auch mal an einer Stelle probiert..

hoffentlich hab ich irgendwo was falsch gemacht... *zurLösungkommenwill*

Bezug
                        
Bezug
Ungleichung beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:08 So 06.12.2009
Autor: reverend

Hallo Sakina,

> Kann es sein dass bei deinem Fall ein Fehler auftritt?

Ich denke, nein.

> [mm]x\le \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} (\wurzel[n]{x-y})^{n-k} (\wurzel[n]{y})^k=\blue{\left(\wurzel[n]{x-y}\right)^n+\left(\wurzel[n]{y}\right)^n}+ \summe_{k=1}^{n-1} \vektor{n \\ k} (\wurzel[n]{x-y})^{n-k} (\wurzel[n]{y})^k=\blue{x-y+y}+\summe\cdots[/mm]
>  
> So wie ich sehe, hast du die letzte Partialsumme aus der
> Summe rausgeholt.

Ich habe den ersten und den letzten Term aus der Summe geholt. Schau mal auf die Laufgrenzen von k.

> So weit schön und gut. Aber der letzte
> Fall in der Summe ist ja für k = n

Ja.

> d.h. wir hätten bei diesem Term:
>  [mm](\wurzel[n]{x-y})^{n-k}[/mm]
>  
> folgendes:
>  [mm](\wurzel[n]{x-y})^{n-n} =(\wurzel[n]{x-y})^{0}[/mm] = 1
>  und damit wär es widerum leider nicht mehr klar.

Wir haben als letztes: [mm] \vektor{n\\n}(\wurzel[n]{x-y})^{n-n}(\wurzel[n]{y})^n=1*(\wurzel[n]{x-y})^{0}(\wurzel[n]{y})^n=1*1*y=y [/mm]

> soweit hatte ich es auch mal an einer Stelle probiert..
>  
> hoffentlich hab ich irgendwo was falsch gemacht...
> *zurLösungkommenwill*

Klarer?
lg
reverend

Bezug
                
Bezug
Ungleichung beweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:47 So 06.12.2009
Autor: Sakina

also alles wäre soweit jetzt klar. Außer an einer Stelle noch.

Du meintest bei mir an dieser Stelle folgendes:

> > Bisher kam ich so weit:
>  >  
> > [mm]|\wurzel[n]{x}[/mm] - [mm]\wurzel[n]{y}| \le \wurzel[n]{|x-y|}[/mm]
>  >  
> > [mm]\wurzel[n]{x} \le \wurzel[n]{|x-y|}[/mm] + [mm]\wurzel[n]{y}[/mm]
>  
> Dieser Schritt setzt aber voraus, dass [mm]x\ge{y}[/mm] ist - sonst
> kannst Du ja die Betragsstriche nicht so einfach wegfallen
> lassen.


Du meintest ebenfalls, dass es für den Fall x < y im Prinzip genauso abläuft. Jetzt muss ich zugeben, ich weiß nicht genau, wie ich bei so einen Term  $ [mm] |\wurzel[n]{x} [/mm] $ - $ [mm] \wurzel[n]{y}| \le \wurzel[n]{|x-y|} [/mm] $
das - [mm] \wurzel[n]{y} [/mm] auf die andere Seite kriege, dass x < y bleibt. Ich hatte ursprünglich gedacht, dass dadurch, dass x und y sowieso als positiv festgelegt wurde, dass ich das einfach so auf die andere Seite bringen dürfte.. Was hab ich falsch verstanden?

(Vielen Dank für deine Hilfe!!!)
LG, sakina


Bezug
                        
Bezug
Ungleichung beweisen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:35 So 06.12.2009
Autor: M.Rex

Siehe Al-Chwarizmis Antwort

Marius

Bezug
        
Bezug
Ungleichung beweisen: Bezeichnungen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:08 So 06.12.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Es sei n [mm]\in \IN\backslash \{0\}[/mm]  fest gewählt.
>  
> a) Zeigen Sie: Für nicht-negative x,y [mm]\in \IR[/mm] gilt stets
> [mm]|\wurzel[n]{x}[/mm] - [mm]\wurzel[n]{y}| \le \wurzel[n]{|x - y|}.[/mm]
>  
> Tip. Betrachten Sie [mm](\wurzel[n]{x - y}[/mm] + [mm]\wurzel[n]{y})^n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


>  Also ich sitze seit Stunden dran aber ich komme nicht sehr
> viel weiter.


Hallo Sakina,

um die Arbeit zu erleichtern, würde ich geeignete
Abkürzungen bzw. Substitutionen vornehmen, z.B.
so:

Weil der Fall x=y trivial und die Ungleichung in x und y
symmetrisch ist, dürfen wir für den Fall x\not=y  o.B.d.A.
voraussetzen, dass x>y sei. Dann setzen wir a:=\wurzel[n]{x} und
b:=\wurzel[n]{y}  sowie w:=\wurzel[n]{|x-y|}=\wurzel[n]{a^n-b^n}. Natürlich ist dann

      $\ |\wurzel[n]{x}-\wurzel[n]{y}|=\wurzel[n]{x}-\wurzel[n]{y}=a-b$

Zu zeigen bleibt demnach, dass für a\ge0, b\ge0 mit a\ge{b} gilt:

      $\ a-b\ \le\ w=\wurzel[n]{a^n-b^n}$

bzw. (um den gegebenen Tip zu verwenden):

      $\wurzel[n]{a^n-b^n}+b\ \ge\ a$

Um diese Ungleichung (für positive linke und
rechte Seite !) zu beweisen, genügt es zu zeigen,
dass

      $\ \left(\wurzel[n]{a^n-b^n}}+b\right)^n\ =\ (w+b)^n\ \ge\ a^n$

So, nun bist du wieder dran ...


LG      Al-Chw.







Bezug
                
Bezug
Ungleichung beweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:37 So 06.12.2009
Autor: Sakina

Hallo Al-Chwarizmi,

Du sagtest:

> Weil der Fall x=y trivial und die Ungleichung in x und y
>  symmetrisch ist, dürfen wir für den Fall [mm]x\not=y[/mm]  
> o.B.d.A.
>  voraussetzen, dass x>y sei.

Was genau ist eine Ungleichung, die in x und y symmetrisch ist? Und woher weißt du das? (hab im Internet irgendwie nix passendes dazu gefunden..)

Wäre dankbar für Antwort,
LG, Sakina

Bezug
                        
Bezug
Ungleichung beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:08 So 06.12.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo Al-Chwarizmi,
>  
> Du sagtest:
>  > Weil der Fall x=y trivial und die Ungleichung in x und

> y
>  >  symmetrisch ist, dürfen wir für den Fall [mm]x\not=y[/mm]  
> > o.B.d.A.
>  >  voraussetzen, dass x>y sei.
>
> Was genau ist eine Ungleichung, die in x und y symmetrisch
> ist? Und woher weißt du das? (hab im Internet irgendwie
> nix passendes dazu gefunden..)
>  
> Wäre dankbar für Antwort,
>  LG, Sakina


Hallo Sakina,

die Aufgabe lautete:

Aufgabe
Es sei n [mm] \in \IN [/mm] \ {0} fest gewählt.

a) Zeigen Sie: Für nicht-negative x,y [mm] \in \IR [/mm] gilt stets [mm] |\wurzel[n]{x} [/mm] - [mm] \wurzel[n]{y}| \le \wurzel[n]{|x - y|}. [/mm]

Tip. Betrachten Sie [mm] (\wurzel[n]{x - y} [/mm] + [mm] \wurzel[n]{y})^n [/mm]



Vertauscht man in der zu beweisenden Ungleichung

(1)       [mm] |\wurzel[n]{x} [/mm] - [mm] \wurzel[n]{y}| \le \wurzel[n]{|x - y|} [/mm]

die Variablen x und y, so erhält man die Ungleichung

(2)       [mm] |\wurzel[n]{y} [/mm] - [mm] \wurzel[n]{x}| \le \wurzel[n]{|y - x|} [/mm]

Weil aber |a-b|=|b-a|  für alle Zahlen a und b gilt, sind
die Ungleichungen (1) und (2) absolut äquivalent.
Deshalb darf man ohne weiteres annehmen, dass [mm] x\ge{y} [/mm]
sein soll, weil man den Beweis für den umgekehrten
Fall durch einfache Vertauschung von x und y erhalten
würde.
Wozu der kleine "Trick": damit man auf die lästigen Betrags-
striche verzichten kann ! Das erleichtert die Rechnungen
und macht sie vor allem übersichtlicher.


LG     Al-Chw.


Bezug
                                
Bezug
Ungleichung beweisen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:27 So 06.12.2009
Autor: Sakina

Vielen Dank! Jetzt hab ich alles verstanden!! :-)

wünsche einen schönen Abend,
Sakina

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Nichtlineare Gleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]