Ungleichung direkt beweisen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:12 Sa 20.04.2013 | | Autor: | M-bizz |
| Aufgabe | Beweisen sie direkt (also nicht durch vollständige Induktion) :
[mm] x^{n} [/mm] / [mm] 1+x+x^2+...+x^{2n} \le [/mm] 1/(2n+1) |
Da wir direkt und nicht per Induktion beweisen sollen, habe ich an umstellen und einer Abschätzung gedacht. Da dies aber unser erster Übungszettel ist, hatten wir noch nicht so viele Ungleichungen.
Durch umstellen kommt man ja leicht auf:
[mm] 1+x+...+x^{2n} \le x^{n}*(2n+1)
[/mm]
das [mm] x^{n} [/mm] könnte man dann wegkürzen, doch das bringt mir auch nichts. Hat jemand einen guten Ansatz?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:15 Sa 20.04.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo M-bizz,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Gibt es Einschränkungen bzw. nähere Angaben zu $x_$ ?
Gruß
Loddar
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Hallo,
> Beweisen sie direkt (also nicht durch vollständige
> Induktion) :
>
> [mm]x^{n}[/mm] / [mm]1%2Bx%2Bx%5E2%2B...%2Bx%5E%7B2n%7D%20%20%5Cle[/mm] 1/(2n+1)
Du musst noch mehr zu deinem Vorwissen erzählen.
Kennst du schon die geometrische Reihe ? Damit kann man evtl. was machen.
Der ganze linke Term ist ja auch eine Funktion in x, evtl. geht was mit Kurvendiskussion.
> Durch umstellen kommt man ja leicht auf:
>
> [mm]1+x+...+x^{2n} \le x^{n}*(2n+1)[/mm]
?
Das Relationszeichen muss aber andersherum dastehen!
$1 + x + ... + [mm] x^{2n} \ge x^{n}*(2n+1)$.
[/mm]
Unter der Annahme, dass $x [mm] \ge [/mm] 0$ ist, sehe ich das sofort ein. Ansonsten musst du erklären, warum stets [mm] $(1+x+...+x^{2n}) [/mm] > 0$ gilt (sonst würde sich das Relationszeichen beim Multiplizieren ja umkehren).
> das [mm]x^{n}[/mm] könnte man dann wegkürzen, doch das bringt mir
> auch nichts. Hat jemand einen guten Ansatz?
Ich würde folgendes (elementares) probieren:
Du willst zeigen:
[mm] $\sum_{k=0}^{2n}x^{k} \ge [/mm] (2n+1) [mm] \cdot x^{n}$
[/mm]
Du hast also sozusagen auf beiden Seiten (2n+1) Summanden und die Ungleichung ist äquivalent zu:
[mm] $\sum_{k=0}^{2n}(x^{k}-x^{n}) \ge [/mm] 0$.
Nun würde ich links die Summe aufteilen in die Summanden von 0 bis k=(n-1) und die von k = (n+1) bis k = 2n.
Klammere dann aus jedem Summanden soviel [mm] x^m [/mm] aus, wie nur geht. Evtl. kann man dann irgendwas sehen:
[mm] $\sum_{k=0}^{2n}(x^{k}-x^{n}) [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{n-1}x^{k}*(1-x^{n-k}) [/mm] + [mm] x^n*\sum_{k=n+1}^{2n}(x^{k-n}-1)$
[/mm]
Nun die Summen wieder zusammenfassen!
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Sa 20.04.2013 | | Autor: | M-bizz |
Zunächstmal: Ja x>0.
>> Durch umstellen kommt man ja leicht auf:
>>.....
>?
>Das Relationszeichen muss aber andersherum dastehen!
Ja natürlich.
>Du musst noch mehr zu deinem Vorwissen erzählen.
geometrische Reihe wurde noch nicht eingeführt.
Der Ansatz klingt aber ganz gut, zumindest habe ich das n jetzt nicht mehr in der Basis sondern nur im Exponenten.
Ich werde noch weiter rumprobieren.
Danke!
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:37 So 21.04.2013 | | Autor: | fred97 |
Du hast ja nun schon verraten, dass x>0 sein soll.
Dann kann man das auch so erledigen:
Mit [mm] t:=\wurzel{x} [/mm] , [mm] a:=(1,t,t^2,...,t^{2n}) \in \IR^{2n+1} [/mm] und [mm] b:=(t^{2n},t^{2n-1},,...,t,1) \in \IR^{2n+1} [/mm] folgt die Behauptung aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung
$<a,b> [mm] \le ||a||_2*||b||_2.$,
[/mm]
wobei $<a,b>$ das Standardskalarprodukt und [mm] ||a||_2 [/mm] die euklidische Norm auf [mm] \IR^{2n+1} [/mm] bezeichnet.
Falls Ihr die Cauchy-Schwarzschen Ungleichung noch nicht hattet, nützt Dir meine Idee leider nix.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:22 Mo 22.04.2013 | | Autor: | M-bizz |
Danke, für die Obenstehenden Ideen.
Wir haben umgestellt nach:
[mm] \summe_{k=0}^{2n} x^k [/mm] - [mm] x^n \ge [/mm] 0
und dann weiter zusammen gefasst und geschickt umgestellt, dass Rechts 0 steht und links ein quadratischer Term, der natürlich größer ist als 0, da [mm] x\not=0
[/mm]
Grüße M-bizz
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