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| Aufgabe | Sei [mm] $\Omega\subset\mathbb{R}^n, u\in C_1^2(\Omega\times [/mm] (0,T])$ Lösung des AWP
[mm] $u_t-\Delta [/mm] u = f$, in [mm] $\Omega\times [/mm] (0,T]$,
$u=0$, auf [mm] $\partial\Omega\times [/mm] [0,T]$,
$u(x,0)=g(x)$, für alle [mm] $x\in\Omega$.
[/mm]
Welche Bedingung muss $g(x)$ erfüllen, damit $u$ die oben angegebene Glattheit besitzt?
Zeigen Sie:
[mm] $\int_\Omega |u(x,t)|^2 [/mm] dx + [mm] \int_0^t \int_\Omega |\nabla u(x,\tau)|^2 [/mm] dx [mm] d\tau \leq [/mm] c [mm] \int_0^t \int_\Omega [/mm] |f(x, [mm] \tau)|^2 [/mm] dx [mm] d\tau [/mm] + [mm] \int_\Omega |g(x)|^2 [/mm] dx$. |
Ich habe mir die Gleichung hergenommen, mit $u$ multipliziert und über [mm] $\Omega$ [/mm] integriert. Das ergibt
[mm] $\int_\Omega (u_t [/mm] u)(x,t) dx = [mm] \int_\Omega (u\Delta [/mm] u)(x,t) dx + [mm] \int_\Omega [/mm] (fu) (x,t) dx$
Jetzt habe ich auf der linken Seite die Ableitung nach $t$ herausgezogen und erhalte:
[mm] $\frac{1}{2} \frac{d}{dt} \int_\Omega |u(x,t)|^2 [/mm] dx = [mm] \int_\Omega (u\Delta [/mm] u)(x,t) dx + [mm] \int_\Omega [/mm] (fu) (x,t) dx$.
Nun weiß ich leider nicht mehr weiter, ich habe über partielle Integration nachgedacht aber bin damit auch nicht voran gekommen. Vorallem bekomme ich die Nebenbedigung mit $g$ nicht eingebaut. Ich würde vermuten, dass man an geeigneter Stelle noch einmal nach $t$ integrieren muss.
Ich freue mich über jeden Tipp.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:47 Mi 22.06.2016 | | Autor: | andyv |
Hallo,
wende die Greensche Formel an und integriere anschließend von 0 bis zu einem [mm] $\tau\in [/mm] (0,T)$.
Gruß
Andy
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Hallo,
Danke für deine Antwort. Ich habe jetzt die (erste) Greensche Formel auf [mm] $\int_\Omega (\Delta [/mm] u [mm] \cdot [/mm] u)(x,t) dx$ angewandt und dann integriert. Damit erhalte ich
[mm] $\frac{1}{2}\int_\Omega |u(x,t)|^2 [/mm] dx + [mm] \int_0^t \int_\Omega |\nabla u(x,\tau)|^2 [/mm] dx [mm] d\tau [/mm] = [mm] \int_0^t\int_\Omega (fu)(x,\tau)dx d\tau [/mm] $.
So richtig passt das alles also noch nicht, vorallem ist es noch keine Ungleichung.
Hast du vielleicht auch eine Antwort auf die erste Frage - welche Bedingung $g$ erfüllen muss, damit $u$ in [mm] $C_1^2$ [/mm] ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:40 Mi 22.06.2016 | | Autor: | andyv |
Erstmal hast du einen Term beim Integrieren vergessen.
Zweitens ist $ [mm] 2|\int_\Omega (fu)(x,\tau)dx| [/mm] $ u.a. mit Hilfe der Cauchy-Schwarz-Ungleichung geeignet abzuschätzen.
Gruß
Andy
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 Mi 22.06.2016 | | Autor: | Hias |
Hallo,
wenn du noch das Integral über t über beide Seiten bildest und dann die partielle Integration über t bei dem Term $u_tu$ berechnest, dann kommt das g(x) in die Gleichung.
Im Allgemeinen ist partielle Integration der richtige Weg, jedoch muss man aufpassen, da Omega Teilmenge im [mm] R^n [/mm] ist.
https://de.wikipedia.org/wiki/Partielle_Integration#Mehrdimensionale_partielle_Integration
Im Kapitel "Mehrdimensionale partielle Integration" ist die partielle Integration mit der Divergenz gegeben. Das musst du dann verwenden für den Ausdruck
[mm] $$\Delta [/mm] u = [mm] div(\nabla [/mm] u)$$
Ich hoffe das hilft dir weiter.
MfG Hias
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