Ungleichung lösen < Maple < Mathe-Software < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:01 Mo 28.12.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | | Finden Sie 20 Zahlen n>5040 für die gilt: [mm] \frac{\sigma(n)}{n\mbox{\, ln}(\mbox{ln}(n))}>1,7. [/mm] |
Hallo,
[mm] \sigma [/mm] ist hier die zahlentheoretische Funktion, die die Summe aller Teiler einer Zahl angibt.
Ich möchte das mit Maple machen, weiß aber nicht wie, da ich Maple so ziemlich zum ersten mal benutze und auch noch keine Erfahrung mit anderen Programmen habe.
Ich könnte jetzt mehrere Zahlen durchprobieren, da würde ich aber dann noch ewig dran sitzen.
Muss ich mir irgendwie eine Schleife basteln? Kann mir jemand sagen wie?
Gruß Unk
|
|
| |
|
> Finden Sie 20 Zahlen n>5040 für die gilt:
> [mm]\frac{\sigma(n)}{n\mbox{\, ln}(\mbox{ln}(n))}>1,7.[/mm]
> Hallo,
> [mm]\sigma[/mm] ist hier die zahlentheoretische Funktion, die die
> Summe aller Teiler einer Zahl angibt.
> Ich möchte das mit Maple machen, weiß aber nicht wie, da
> ich Maple so ziemlich zum ersten mal benutze und auch noch
> keine Erfahrung mit anderen Programmen habe.
>
> Ich könnte jetzt mehrere Zahlen durchprobieren, da würde
> ich aber dann noch ewig dran sitzen.
>
> Muss ich mir irgendwie eine Schleife basteln? Kann mir
> jemand sagen wie?
>
> Gruß Unk
Hallo Unk,
ich befürchte, dass eine mehr oder weniger "blinde" Suche
solcher Zahlen mit dem Computer eine sehr langwierige
Sache werden könnte. Es sind zuerst sicher einige theo-
retische Überlegungen angezeigt. Wie sollte die Zahl n
beschaffen sein, damit ihre Teilersumme [mm] \sigma(n) [/mm] die Zahl n
erheblich übersteigt ? Nun, sie sollte wohl viele Teiler haben,
darunter wenn möglich viele möglichst große ... Natürlich ist
n selbst der größte Teiler von n. Wie groß kann der zweit-
größte Teiler maximal sein, wie groß der drittgrößte, etc. ?
Eine weitere Überlegung ist die, dass jeder Teiler [mm] t_i [/mm] von n
"gepaart" ist mit einem anderen Teiler [mm] t_j [/mm] , so dass [mm] t_i*t_j=n [/mm] .
Ist es möglich, eine obere Schranke für [mm] \sigma(n) [/mm] anzugeben,
falls eine Zahl n bzw. nur die ungefähre Größe von n vor-
gegeben ist ?
Ich hoffe, dass diese Anregungen dich weiter bringen.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 Mo 28.12.2009 | | Autor: | Unk |
Danke für die Anregungen.
Ich kann noch ein bisschen was hinzufügen. Ich weiß noch, dass gilt: [mm] \frac{\sigma(n)}{n\mbox{\, ln}(\mbox{ln}(n))}<1,77 [/mm] für n>5040.
Das heißt ja, dass ich einen relativ kleinen Bereich von etwa [mm] \frac{7}{100} [/mm] zur Verfügung habe, in der sich die n's bewegen müssen.
Sicherlich braucht n viele Teiler, damit [mm] \sigma(n) [/mm] groß ist.
Allerdings weiß ich nun immer noch nicht, wie ich es mit Maple berechnen lassen soll, denn durch einfaches Ausprobieren habe ich bisher nicht mal eine Zahl gefunden, für die es passt.
Man muss sich doch irgendeine Schleife basteln können.
|
|
|
| |
|
> Danke für die Anregungen.
> Ich kann noch ein bisschen was hinzufügen. Ich weiß
> noch, dass gilt: [mm]\frac{\sigma(n)}{n\mbox{\, ln}(\mbox{ln}(n))}<1,77[/mm]
> für n>5040.
Aha. das wusste ich noch nicht. Dann wird's aber wirklich eng ...
Möglicherweise gibt es dann nicht einmal 20 Zahlen mit der
verlangten Eigenschaft ... (?)
> Das heißt ja, dass ich einen relativ kleinen Bereich von
> etwa [mm]\frac{7}{100}[/mm] zur Verfügung habe, in der sich die n's
> bewegen müssen.
>
> Sicherlich braucht n viele Teiler, damit [mm]\sigma(n)[/mm] groß
> ist.
> Allerdings weiß ich nun immer noch nicht, wie ich es mit
> Maple berechnen lassen soll, denn durch einfaches
> Ausprobieren habe ich bisher nicht mal eine Zahl gefunden,
> für die es passt.
>
> Man muss sich doch irgendeine Schleife basteln können.
Hallo Unk,
natürlich kann man so eine Schleife basteln; nur denke
ich, dass es äußerst unrationell sein wird, die Zahlen
ab 5040 einfach der Reihe nach durchzuscannen. Hast du
dir schon klar gemacht, was es eigentlich mit der Zahl
5040 auf sich hat ? Weshalb gerade diese Zahl ? Hast
du diese Zahl selber schon bezüglich der Ungleichung
getestet ?
Sollte es in Maple eine Funktion geben, welche zu einer
natürlichen Zahl die Teilersumme [mm] \sigma(n) [/mm] liefert, würde die
Konstruktion der Programmschleife natürlich wesentlich
vereinfacht. Ich schaue mal nach, ob es in Mathematica
sowas gibt (Maple habe ich nicht).
Tatsächlich: Die Funktion Divisors liefert eine Liste aller
Teiler einer natürlichen Zahl n, zum Beispiel
Divisors[10] liefert [mm] \{1,2,5,10\}
[/mm]
Dann kann man die Summe der Elemente dieser Liste
berechnen lassen und den Term [mm] \frac{\sigma(n)}{n*ln(ln(n))} [/mm] berechnen
lassen. Diese Funktion "Divisors" gibt es in Maple be-
stimmt ebenfalls.
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:50 Mo 28.12.2009 | | Autor: | abakus |
Hallo,
da 5040=8! ist, solltest du vielleicht mal "einfache" Vielfache davon oder die nächsten Fakultäten testen.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
> Hallo,
> da 5040=8! ist, solltest du vielleicht mal "einfache"
> Vielfache davon oder die nächsten Fakultäten testen.
> Gruß Abakus
Hallo Abakus,
an mich musst du diese Mitteilung nicht richten ...
Übrigens ist 5040 nicht 8!, sondern 7!
LG Al
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:24 Mo 28.12.2009 | | Autor: | abakus |
> > Hallo,
> > da 5040=8! ist, solltest du vielleicht mal "einfache"
> > Vielfache davon oder die nächsten Fakultäten testen.
> > Gruß Abakus
>
>
> Hallo Abakus,
>
> an mich musst du diese Mitteilung nicht richten ...
Sorry und ...
> Übrigens ist 5040 nicht 8!, sondern 7!
...autsch. Wird Zeit, dass die Schule wieder losgeht, ich roste ein.
Gruß Abakus
>
> LG Al
>
>
>
|
|
|
|
