Ungleichung lösen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:15 Mi 07.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Hallo,
ich habe eine Aufgabe bei der ich die Punkte z der komplexen Zahlenebene bestimmen soll.
[mm] $\vert [/mm] z-1-i [mm] \vert \le [/mm] 3$
Mein Lösungsansatz:
$z=x+iy$
[mm] $\vert [/mm] x+iy-1-i [mm] \vert \le [/mm] 3$
[mm] $\vert (x-1)+i(y-1)\vert \le [/mm] 3$
[mm] $\vert [/mm] z [mm] \vert [/mm] = [mm] \wurzel{(x)^2+(y)^2}$
[/mm]
[mm] $\wurzel{(x-1)^2+(y-1)^2} \le [/mm] 3$
[mm] $(x-1)^2+(y-1)^2 \le [/mm] 9$
Ist das erst einmal richtig? Und wie gehe ich jetzt weiter vor?
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Hallo Duckx,
das ist leichter als es am Anfang aussieht:
> ich habe eine Aufgabe bei der ich die Punkte z der
> komplexen Zahlenebene bestimmen soll.
Das heißt eigentlich immer, dass Du ein Gebiet in der Zahlebene bestimmen sollst und es entweder tatsächlich zeichnen oder aber wenigstens beschreiben sollst.
> [mm]\vert z-1-i \vert \le 3[/mm]
Mal vorab: [mm] |z-1-i|=|z-(1+i)|\le{3}
[/mm]
Der Abstand des Punktes $z$ von dem Punkt $(1+i)$ soll kleiner oder gleich 3 sein. Alle $z$, die das erfüllen, liegen also in einem Kreis mit dem Radius 3 um den Punkt (1+i). Der Kreisrand gehört noch zur Lösungsmenge.
> Mein Lösungsansatz:
>
> [mm]z=x+iy[/mm]
> [mm]\vert x+iy-1-i \vert \le 3[/mm]
> [mm]\vert (x-1)+i(y-1)\vert \le 3[/mm]
>
> [mm]\vert z \vert = \wurzel{(x)^2+(y)^2}[/mm]
(Das soll nur erklären, wie man den Betrag bildet, oder? Sonst hat das hier gerade nichts zu suchen.)
> [mm]\wurzel{(x-1)^2+(y-1)^2} \le 3[/mm]
> [mm](x-1)^2+(y-1)^2 \le 9[/mm]
>
> Ist das erst einmal richtig? Und wie gehe ich jetzt weiter
> vor?
Ja, alles richtig. Fehlt nur noch der Schritt
[mm] (x-1)^2+(y-1)^2\le 3^2
[/mm]
Das ist eine Kreisgleichung. In x- und y-Richtung wird der Kreis um je +1 vom Ursprung weg verschoben. Es handelt sich also um einen Kreis mit dem Radius 3 um den Punkt (1+i). Siehe oben.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Mi 07.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Und was genau ist jetzt die Lösung?
Ich durchblicke das nicht wirklich.
Der hinweis zur aufgabe war: interpretiere z als den Punkt (x,y) der Ebene und finde eine Gleichung mit x und y, an der man erkennen kann, um welches geometrische Gebilde es sich handelt.
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 22:25 Mi 07.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
kannst du die 2 Geraden |x|=|y| zeichnen? jetzt musst du nur durch einsetzen sehen in welchen Gebieten dazwischen das ungleicheitszeichen gilt und die schraffieren
Gruss leduart
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 22:29 Mi 07.11.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo leduart,
Deine Antwort gehört nicht zu dieser Aufgabe, oder?
Wahrscheinlich bist Du nur im Thread "verrutscht".
Grüße
reverend
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 23:11 Mi 07.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo leduart,
>
> Deine Antwort gehört nicht zu dieser Aufgabe, oder?
> Wahrscheinlich bist Du nur im Thread "verrutscht".
sie erinnert mich
an diese Aufgabe
Gruß,
Marcel
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Hallo Duckx,
> Und was genau ist jetzt die Lösung?
Das habe ich in meiner Antwort sogar zweimal geschrieben.H
Hast Du sie überhaupt gelesen?
Es handelt sich um die Kreisscheibe mit Radius 3 um den Punkt 1+i, einschließlich ihres Randes. Stich also Deinen Zirkel bei 1+i in der Zahlenebene ein, zieh einen Kreis mit Radius 3 um den Punkt, und male den Kreis aus. Am besten schwarz.
> Ich durchblicke das nicht wirklich.
> Der hinweis zur aufgabe war: interpretiere z als den Punkt
> (x,y) der Ebene und finde eine Gleichung mit x und y, an
> der man erkennen kann, um welches geometrische Gebilde es
> sich handelt.
Ist ein Kreis kein geometrisches Gebilde, oder wo ist das Problem?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 Mi 07.11.2012 | | Autor: | Duckx |
doch schon aber ich verstehe nicht ganz, wieso ich um den punkt 1+i einen Kreis mit dem radius 3 ziehen soll.
der Punkt z ist ja ein Kreis um den Koordinatenursprung oder?
und wenn ich jetzt (1+i) abziehe, dann ist doch der radius um den koordinatenursprung 3+(1+1) also 4+i?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:04 Mi 07.11.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo duckx,
dass sich hinter der Gleichung [mm]|z-(1+i)|=3[/mm] ein Kreis versteckt, sieht man so:
[mm]|a-b|[/mm] ist der Abstand der Zahlen a und b. Das gilt bei natürlichen, ganzen, rationalen, reellen und auch bei den komplexen Zahlen.
[mm]|z-(1+i)|[/mm] ist also der Abstand der Zahlen z und 1+i und der soll gleich 3 sein. Du suchst also alle Zahlen z, die von 1+i den Abstand 3 haben. Das ist ein Kreis mit Radius 3 um 1+i.
Jetzt heißt es in der Aufgabe ja [mm]|z-(1+i)|\le 3[/mm], d.h. der Abstand soll kleiner oder gleich 3 sein. Das gesuchte Gebiet ist also der ganze oben beschriebene Kreis (also Rand und Inhalt).
Oben hast du die Ungleichung zu [mm](x-1)^2+(y-1)^2\le 3^2[/mm] umgeformt. Dort können wir auch ansetzen:
Hier sollte man die ![[]](/images/popup.gif) Kreisgleichung [mm](x-x_M)^2+(y-y_M)^2=r^2[/mm] kennen. Ihre Lösungen (x,y) beschreiben einen Kreis mit Radius r um den Punkt [mm](x_M,y_M)[/mm].
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:10 Mi 07.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Danke erstmal Fulla :) Das war eine ziemlich ausführliche Erklärung, die mir, wie ich finde, alles ein wenig besser verdeutlicht hat.
Also der Punkt wäre dann doch (1,1) oder?
Allerdings ist der Punkt doch laut der Gleichung oben (1,i)?
ist das nun das gleiche oder wie funktioniert das?
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Hallo Duckx,
> Danke erstmal Fulla :) Das war eine ziemlich ausführliche
> Erklärung, die mir, wie ich finde, alles ein wenig besser
> verdeutlicht hat.
> Also der Punkt wäre dann doch (1,1) oder?
> Allerdings ist der Punkt doch laut der Gleichung oben
> (1,i)?
> ist das nun das gleiche oder wie funktioniert das?
Gute Güte. Wie sieht denn die Gaußsche Zahlenebene aus? Was wird mit den beiden (kartesischen) Achsen dargestellt? Wo liegt der Punkt (1,i)? Welche Koordinaten hat er?
Seit meiner ersten Antwort hat sich hier nichts Neues getan.
Es liegt an Dir, hier etwas aufzuarbeiten. Wenn Du die Definitionen nicht kannst, ist es Dein Job, sie nachzuschlagen. Wenn Du sie nicht findest, dann kannst Du auch gerne fragen. Aber erst, nachdem Du Deine Mitschrift, das Skript, mindestens das halbe Internet und das Gedächtnis Deiner Kommilitonen und Kommilitoninnen gründlich durchforscht hast.
Was also ist die Darstellung komplexer Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene? Wie geht das? Wie willst Du irgendeine dieser Aufgaben lösen, wenn Du das nicht weißt?
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:32 Do 08.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke erstmal Fulla :) Das war eine ziemlich ausführliche
> Erklärung, die mir, wie ich finde, alles ein wenig besser
> verdeutlicht hat.
> Also der Punkt wäre dann doch (1,1) oder?
man identifiziert doch [mm] $\IC$ [/mm] mit dem [mm] $\IR^2$ [/mm] wie folgt:
Jede Zahl [mm] $z=x+i*y\,$ ($x:=\text{Re}(z),\;y:=\text{Im}(z)\,,$ [/mm] wobei dann
die beiden Zahlen [mm] $x,y\,$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] liegen) kann man in eineindeutiger
Weise mit dem Paar
$$(x,y) [mm] \in \IR^2$$
[/mm]
identifizieren. (Beachte $(x,y) [mm] \in \IR^2 \gdw [/mm] (x [mm] \in \IR \text{ und }y \in \IR)\,.$)
[/mm]
So ist etwa
$$3-5*i=3+(-5)*i [mm] \in \IC$$
[/mm]
mit
[mm] $$(3,\;-5) \in \IR^2$$
[/mm]
zu identifizieren.
Weiterhin kann man den Punkt
$$(-2,-4) [mm] \in \IR^2$$
[/mm]
mit der komplexen Zahl
$$-2+(-4)*i=-2-4*i [mm] \in \IC$$
[/mm]
identifizieren.
Demzufolge solltest Du Dir auch genau überlegen, wie Du Reverends
Fragen
> Wo liegt der Punkt (1,i)? Welche Koordinaten hat er?
korrekt zu beantworten hast. Entweder ist das nämlich eine Fangfrage,
oder er wollte nicht [mm] $(1,\red{i})$ [/mm] schreiben sondern meinte vielleicht
(folgende Fragen kannst Du nur durch eigenständiges Nachdenken
"sinnvoll" beantworten!):
a) wohl welchen Punkt des [mm] $\IR^2$
[/mm]
bzw.
b) wohl welche komplexe Zahl? (In kartesischer Form!)
P.S. Wie ich gerade selbst nochmal gelesen habe, hat Reverend
doch extra "den Punkt [mm] $(1,\red{i})$ [/mm] erwähnt - denn Du hattest diesen
"komischen" Punkt ja selbst ins Spiel gebracht. Ist denn [mm] $(1,\red{i}) \in \IR^2$? [/mm]
Können/dürfen wir den also wie oben identifizieren?"
Gruß,
Marcel
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 23:14 Mi 07.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend,
> [mm](x-1)^2+(y-1)^2\le 3^2[/mm]
>
> Das ist eine Kreisgleichung.
da steckt zwar auch eine Kreisgleichung drinne, aber insgesamt steht
da eine Ungleichung. ( Verzeih' meine Pingeligkeit.  )
Gruß,
Marcel
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 23:22 Mi 07.11.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Marcel,
ich bewundere immer wieder Deine Genauigkeit, wie Du weißt.
> > [mm](x-1)^2+(y-1)^2\le 3^2[/mm]
> >
> > Das ist eine Kreisgleichung.
>
> da steckt zwar auch eine Kreisgleichung drinne, aber
> insgesamt steht
> da eine Ungleichung. ( Verzeih' meine Pingeligkeit. )
Das aber ist wirklich zu pingelig. Der Fragesteller kann sich zur Zeit nicht vorstellen, wieso da überhaupt das Thema "Kreis" auftaucht und wie man den Mittelpunkt "sieht". Dass es sich hier um eine Ungleichung und daher eine Kreisscheibe (umgangssprachlich also einen gefüllten Kreis) - und hier auch einschließlich seines Randes - handelt, habe ich nun zweimal und Fulla einmal gesagt. Das muss dann auch irgendwann reichen.
Es geht nicht an allen Stellen um absolute Genauigkeit, sondern manchmal auch einfach darum, ein "Feeling" zu entwickeln, worum es eigentlich geht. Dass das miteinander im Widerstreit stehen kann, ist mir und vielen andern sicher bewusst. Da muss man in seinen Erklärungen halt Prioritäten setzen.
Wenn aber jemand gerade einen Zugang zu den komplexen Zahlen sucht, ist es sicher nicht hilfreich, durch das Wort "Kreisungleichung" (sonst völlig unüblich!) noch mehr Verwirrung zu stiften. Das ist jedenfalls meine fachdidaktische und feste Überzeugung.
Dies ist übrigens die erste Deiner zahlreichen und hilfreichen Korrekturen, die ich trotz ihrer sachlichen Richtigkeit ablehnen muss.
Liebe Grüße
reverend
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig | | Datum: | 00:01 Do 08.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend,
> Hallo Marcel,
>
> ich bewundere immer wieder Deine Genauigkeit, wie Du
> weißt.
>
> > > [mm](x-1)^2+(y-1)^2\le 3^2[/mm]
> > >
> > > Das ist eine Kreisgleichung.
> >
> > da steckt zwar auch eine Kreisgleichung drinne, aber
> > insgesamt steht
> > da eine Ungleichung. ( Verzeih' meine Pingeligkeit.
> )
>
> Das aber ist wirklich zu pingelig.
Du weißt nicht, wie oft ich (leider) schon gesehen habe, dass Leute
von Gleichungen geredet hatten, und aber Ungleichungen meinten.
Das ist nicht schlimm, wenn, wie hier bei Dir, demjenigen sowieso
klar ist, was er/sie meint. Aber wenn jemand dann auch noch anfängt,
dann "Äquivalenzumformungen" einfach ohne nachzudenken zu betreiben,
dann sieht man solche wunderbaren Ergebnisse wie
$$-x [mm] \le [/mm] 5 [mm] \gdw [/mm] x [mm] \le -5\,.$$
[/mm]
Warum? Naja, man darf doch bei Gleichungen beidseitig mit [mm] $-1\,$ [/mm]
multiplizieren.
Du wirst es mir vielleicht nicht glauben, aber dieses Phänomen entsteht
tatsächlich sehr oft und schnell, wenn man einfach mal bei Gleichungen
von Ungleichungen redet oder umgekehrt - und ich meine jetzt nicht
in einem Sinne, wie man es tatsächlich auch machen könnte. (In OR
bringt man ja gewisse Gleichungssysteme in eine Form mit Ungleichungen
oder umgekehrt - da gibt's dann so komische slack-Variablen oder sowas.)
Aber nichtsdestotrotz: Ich hab' drauf hingewiesen - mehr tue ich nicht.
(Ich habe mich da übrigens auch schon des öfteren verschrieben, und
würde es ändern, wenn ich es sehe. Bei sowas verschreibt man sich halt
mal gerne schnell.)
Übrigens, und das sage ich nun einfach nur, um Dich zu ärgern
Es gibt das Zitat (ich weiß nur nicht mehr, von wem)
"Wer einen Fehler macht und ihn nicht korrigiert, begeht einen zweiten."
![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
Übrigens: Nix für Ungut, ich versteh' schon, warum Du diesen zweiten
Fehler begehn willst.
doppelt-
Grüße,
Marcel
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