Ungleichung mit 2 Variablen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:54 Mo 26.10.2009 | | Autor: | S11m00n |
| Aufgabe | Zeige die folgende Ungleichung für alle reellen Zahlen [mm]x\ge0[/mm] und alle natürlichen Zahlen [mm]n \ge 2[/mm].
[mm](1+x)^n > \bruch{n^2}{4} * x^2[/mm] |
Hallo,
ich hatte vor dieses Problem mittels Vollständiger Induktion zu lösen. In diesem Fall weiß ich jedoch nicht ob ich n oder x oder beide im IS erhöhen soll.
Ich habe auch bereits alle drei Fälle mehrfach ausprobiert aber eine Lösung ist nicht in Sicht. Ich finde im Induktionsschritt nirgendwo eine Induktionsvoraussetzung wieder.
Hier mal ein Anfang:
IA: n=2
[mm](1+x)^2 > \bruch{2^2}{4} * x^2[/mm]
[mm]\gdw(1+x)^2 > \bruch{2^2}{4} * x^2[/mm]
[mm]\gdw x^2 + 2x + 1 > x^2[/mm]
IS: [mm]n \Rightarrow n+1[/mm]
[mm](1+x)^{n+1} > \bruch{(n+1)^2}{4} * x^2[/mm]
Alle von mir ab diesem Schritt gemachten Umformungen haben nichts gebracht.
Danke für Hinweise
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Mo 26.10.2009 | | Autor: | S11m00n |
Danke für die schnelle Antwort.
Ich habe mir gerade mal deinen Link durchgelesen und hab das Ganze auch mal versucht. Ich muss aber leider sagen, dass mich das kein Stück weitergebracht hat.
Welche Möglichkeit gibt es denn da etwas Sinnvolles abzuschätzen?
Ist vielleicht noch ein anderer Lösungsweg denkbar?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:21 Mo 26.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo S11m00n!
Schreibe doch einfach mal die ersten Glieder auf:
[mm] $$(1+x)^n [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}*x^{n-k} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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Hi,
ich hab das jetzt so gemacht:
[mm] (1+x)^n [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}\cdot{}x^{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}\cdot{}\summe_{k=0}^{n}x^{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}x^{k}\cdot{}2^{n}
[/mm]
ist das so richtig? Wie kann ich weiter machen?
MFG
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Hallo,
ist das jetzt eine Anfrage eines zweiten neuen Mitglieds, oder hast Du nur noch einen zweiten Nick angelegt, Simon?
> Hi,
>
> ich hab das jetzt so gemacht:
>
> [mm](1+x)^n[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}\cdot{}x^{k}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}\cdot{}\summe_{k=0}^{n}x^{k}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{n}x^{k}\cdot{}2^{n}[/mm]
>
> ist das so richtig? Wie kann ich weiter machen?
Nein, das ist nicht richtig. Setz mal x=1 ein, und wenn Du unbedingt ein n brauchst, nimm z.B. 3, oder 5...
Allgemein: ist [mm] 2^n=(n+1)2^n, [/mm] außer für n=0 ?
lg,
reverend
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Danke für deine Antwort.
Ne, bin ein neues Mitglied.
so hab das jetzt so gemacht:
= [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}\cdot{}x^{k} [/mm] > [mm] \summe_{k=0}^{n} x^{k} [/mm] > [mm] \bruch{n^2}{4} \cdot{} x^2
[/mm]
geht das so?!??!?!
Falls das wieder falsch ist, bitte ich um einen Tipp.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:25 Di 27.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo MatheNewb,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Wie kommst Du auf die letzte Abschätzung?
Wie ich oben schon schrieb: einfach mal die ersten Glieder der Summe für [mm] (1+x)^n$ [/mm] notieren ...
Gruß
Loddar
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Danke für deine Antwort, aber sorry das ich das nich verstehe
also [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}\cdot{}x^{k}= \vektor{n \\ 0} \cdot{}x^0{} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ 1} \cdot{}x^1{} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ 2} \cdot{}x^2{} [/mm] + ... + [mm] \vektor{n \\ n} \cdot{}x^n{}
[/mm]
?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:36 Di 27.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo MatheNewb!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Und nun mal diese Binomialkoeffizienten ausrechnen; dann sollte die Behauptung schnell klar werden.
Gruß
Loddar
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danke danke :D ich glaub ich habs
also [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}\cdot{}x^{k}=\vektor{n \\ 0} \cdot{}x^0{}+\vektor{n \\ 1} \cdot{}x^1{}+...+\vektor{n \\ n} \cdot{}x^n{}
[/mm]
ergibt [mm] \vektor{n \\ 0} \cdot{}x^0{}=1
[/mm]
[mm] \vektor{n \\ 1} \cdot{}x^1{}=n\cdot{}x [/mm]
[mm] \vektor{n \\ 2} \cdot{}x^2{}=\bruch{n^{2}-n}{2}\cdot{}x^{2}
[/mm]
[mm] \vektor{n \\ n} \cdot{}x^n{}=x^{n}
[/mm]
und daraus folgt man ?!
[mm] \bruch{n^{2}-n}{2}\cdot{}x^{2}\ge\bruch{n^2}{4} \cdot{} x^2
[/mm]
und wenn man es kürzt sich
[mm] n^{2}-2\ge\bruch{n^{2}}{2}
[/mm]
ist das jetzt so richtig?
MFG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:13 Di 27.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Für x [mm] \ge [/mm] 0 und n [mm] \ge [/mm] 2 ist
[mm] $(1+x)^n= \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}\cdot{}x^{k} [/mm] $ > [mm] $\vektor{n\\2}x^2=\bruch{n^{2}-n}{2}\cdot{}x^{2} [/mm] $
Warum ist nun [mm] \vektor{n\\2} \ge \bruch{n^{2}-n}{2} [/mm] ?
FRED
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Oh da ist ein Schreibfehler
nicht [mm] n^{2}-2\ge\bruch{n^{2}}{2} [/mm] , sondern [mm] n^{2}-n\ge\bruch{n^{2}}{2}
[/mm]
>
> Warum ist nun [mm]\vektor{n\\2} \ge \bruch{n^{2}-n}{2}[/mm] ?
>
> FRED
versteh ich nicht?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:52 Di 27.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> Oh da ist ein Schreibfehler
>
> nicht [mm]n^{2}-2\ge\bruch{n^{2}}{2}[/mm] , sondern
> [mm]n^{2}-n\ge\bruch{n^{2}}{2}[/mm]
>
> >
> > Warum ist nun [mm]\vektor{n\\2} \ge \bruch{n^{2}-n}{2}[/mm] ?
> >
> > FRED
>
> versteh ich nicht?!
Pardon, da hatte ich mich verschrieben. Die Frage lautet:
Warum ist nun [mm]\vektor{n\\2} \ge \bruch{n^{2}}{4}[/mm] ?
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:01 Mi 28.10.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo;
ich habe die selbe Aufgabe und versteh nicht so ganz was hier gemacht wurde.
Also bis hier > > also [mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}\cdot{}x^{k}=\vektor{n \\ 0} \cdot{}x^0{}+\vektor{n \\ 1} \cdot{}x^1{}+...+\vektor{n \\ n} \cdot{}x^n{}[/mm]
>
> ergibt [mm]\vektor{n \\ 0} \cdot{}x^0{}=1[/mm]
> [mm]\vektor{n \\ 1} \cdot{}x^1{}=n\cdot{}x[/mm]
> [mm]\vektor{n \\ 2} \cdot{}x^2{}=\bruch{n^{2}-n}{2}\cdot{}x^{2}[/mm]
>
> [mm]\vektor{n \\ n} \cdot{}x^n{}=x^{n}[/mm]
Ist es für mich noch verständlich aber.....
> und daraus folgt man ?!
>
> [mm]\bruch{n^{2}-n}{2}\cdot{}x^{2}\ge\bruch{n^2}{4} \cdot{} x^2[/mm]
>
> und wenn man es kürzt sich
> [mm]n^{2}-2\ge\bruch{n^{2}}{2}[/mm]
ab hier versteh ich nichts mehr....soll ich da einfach ein Glied aussuchen und gucken ob er kleiner als [mm] \bruch{1}{4}n^2*x^2 [/mm] ist oder wie kommt man jz auf
[mm]\bruch{n^{2}-n}{2}\cdot{}x^{2}\ge\bruch{n^2}{4} \cdot{} x^2[/mm]
Ich würde mich freuen, wenn mir da jemand weiterhelfen kann
Liebe Grüße
Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:14 Mi 28.10.2009 | | Autor: | stk66 |
Du hast die folgende Summe: $ [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}\cdot{}x^{k}=\vektor{n \\ 0} \cdot{}x^0{}+\vektor{n \\ 1} \cdot{}x^1{}+...+\vektor{n \\ n} \cdot{}x^n{} [/mm] $ , die aus einzelnen Summanden besteht.
Einer dieser Summanden, nämlich der für k=2, ist $ [mm] \vektor{n \\ 2} \cdot{}x^2{}=\bruch{n^{2}-n}{2}\cdot{}x^{2} [/mm] $.
Also ist die gesamte Summe echt grösser als dieser eine Summand für k=2. (sollte offensichtlich sein, weil keiner der übrigen Summanden negativ sein kann)
Wenn man jetzt zeigen kann, dass dieser eine Summand [mm] \vektor{n \\ 2} \cdot{}x^2{} [/mm] grösser oder gleich dem ist, was in der Aufgabe auf der rechten Seite steht, nämlich [mm] \bruch{n^2}{4} \cdot{} x^2, [/mm] dann muss die zu zeigende Behauptung gelten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:26 Mi 28.10.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo:
ok klar war echt ne dumme Frage von mir :D
danke danke
Lg Melisa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:07 Mi 28.10.2009 | | Autor: | andy1986 |
Guten Morgen zusammen!
wie kommt man denn auf [mm] \vektor{n \\ 2} [/mm] = [mm] \bruch{n^{2}-n}{2}
[/mm]
?
Mich würde der Rechenweg interessieren...
MfG
Andy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:11 Mi 28.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andy!
Hier wurde die Definition des ![[]](/images/popup.gif) Binomialkoeffizienten angewandt.
Es gilt:
[mm] $$\vektor{n\\2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n*(n-1)}{1*2} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:33 Mi 28.10.2009 | | Autor: | andy1986 |
ah ja natürlich!
Vielen Dank!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 Do 29.10.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo;
> [mm]\bruch{n^{2}-n}{2}\cdot{}x^{2}\ge\bruch{n^2}{4} \cdot{} x^2[/mm]
>
> und wenn man es kürzt sich
> [mm]n^{2}-n\ge\bruch{n^{2}}{2}[/mm]
>
ist die Aufgabe jz damit bewiesen oder benötige ich noch einen schritt?
LG Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:39 Do 29.10.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo;
>
> > [mm]\bruch{n^{2}-n}{2}\cdot{}x^{2}\ge\bruch{n^2}{4} \cdot{} x^2[/mm]
>
> >
> > und wenn man es kürzt sich
> > [mm]n^{2}-n\ge\bruch{n^{2}}{2}[/mm]
> >
> ist die Aufgabe jz damit bewiesen oder benötige ich noch
> einen schritt?
>
> LG Melisa
Hallo,
für n=0 und n=1 ist diese Aussage noch falsch. Sie gilt erst ab n=2.
Da hast du schon noch etwas zu tun...
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Do 29.10.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo;
ja ich muss noch sagen, dass dies gilt, weil alle Summaden nichtnegativ sind oder?
Lg Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:48 Do 29.10.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo;
>
>
> ja ich muss noch sagen, dass dies gilt, weil alle Summaden
> nichtnegativ sind oder?
Du musst beweisen, dass diese Ungleichung für alle n ab n=2 gilt.
>
> Lg Melisa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Di 27.10.2009 | | Autor: | stk66 |
Wie kommt Ihr dazu das n-k im Exponenten des binomischen Lehrsatzes einfach zu k umzuwandeln? Könntet Ihr mir die Umformung erläutern?
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Hi,
klar kann ich machen also,
der binomische Lehrsatz =
[mm] (x+y)^{n}=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}\cdot{}x^{n-k}\cdot{}y^{k}
[/mm]
und jetzt setze für x=1 ein und für y=x, dann hast du nur noch [mm] x^{k} [/mm] stehen, da [mm] 1^{n-k}=1 [/mm] ist.....
davor hat er x=x und y=1 gehabt!
MFG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Mi 28.10.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo;
der Binomische Lehrsatz lautet doch:
$ [mm] (1+x)^n [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}\cdot{}x^{n-k}y^k [/mm] \ = \ ... $
ich versteh nicht warum da:$ [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}\cdot{}x^{k}= \vektor{n \\ 0} \cdot{}x^0{} [/mm] $......usw stehen muss wo ist das y und muss da nicht immer n-k stehen also hier im ersten Glied dann [mm] x^{n-0} [/mm] im zweiten dann [mm] x_{n-1} [/mm] usw.?
Lg Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:57 Mi 28.10.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo;
>
> der Binomische Lehrsatz lautet doch:
>
> [mm](1+x)^n \ = \ \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}\cdot{}x^{n-k}y^k \ = \ ...[/mm]
>
> ich versteh nicht warum da:[mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}\cdot{}x^{k}= \vektor{n \\ 0} \cdot{}x^0{} [/mm]......usw
> stehen muss wo ist das y und muss da nicht immer n-k stehen
> also hier im ersten Glied dann [mm]x^{n-0}[/mm] im zweiten dann
> [mm]x_{n-1}[/mm] usw.?
Hallo,
dein "y" ist doch hier 1 (und [mm] 1^n, 1^{n-1}... 1^0 [/mm] ergibt jweils einfach nur den Faktor 1.
Gruß Abakus
>
>
> Lg Melisa
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:07 Di 03.11.2009 | | Autor: | ehle |
Wie würde es aussehen wenn auf der rechten Seite noch der Term +1 hinzukäme?
Ich verstehe alles bis zu dem Punkt wo die rechte Seite wie gesagt noch um 1 erhöht wird. Dann ist stimmt die Ungleichung nicht mehr, ist das der Fall oder liesse sich das auch lösen..?
vielen dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Do 05.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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