Ungleichung mit 3 Variablen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für welche (x, y, z) [mm] \in \IR³ [/mm] ist (x+y+2z)² [mm] \le [/mm] 6(x²+y²+z²) ?
Hinweis: Schwarzsche Ungleichung. |
Als ich rausfinden wollte, worum es sich bei der Schwarzschen Ungleichung handelt, bin ich auf die Minkowskische Ungleichung gestoßen und habe mir gedacht, dass diese viel passender ist.
Sie sagt: dass [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] (x+y)² [mm] \le \summe_{i=1}^{n} [/mm] x² + [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] y²
Da die rechte Seite der gegebenen Ungleichung ausmultipliziert 6x²+6y²+6z² ergibt, und auf der linken seite lediglich eine 2 vor dem z steht und [mm] 2²=4\le6 [/mm] gilt, ist die Ungleichung doch für alle x,y,z [mm] \in \IR [/mm] erfüllt, oder?
Danke im Voraus
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> Für welche (x, y, z) [mm]\in \IR^3[/mm] ist
$\ [mm] (x+y+2z)^2\ \le\ 6*(x^2+y^2+z^2)$ [/mm] ?
> Hinweis: Schwarzsche Ungleichung.
> Als ich rausfinden wollte, worum es sich bei der
> Schwarzschen Ungleichung handelt, bin ich auf die
> Minkowskische Ungleichung gestoßen und habe mir gedacht,
> dass diese viel passender ist.
> Sie sagt: dass [mm]\summe_{i=1}^{n} (x+y)^2 \le \summe_{i=1}^{n} x^2\ +\ \summe_{i=1}^{n}[/mm] [mm] y^2
[/mm]
>
> Da die rechte Seite der gegebenen Ungleichung
> ausmultipliziert [mm] 6x^2+6y^2+6z^2 [/mm] ergibt, und auf der linken
> seite lediglich eine 2 vor dem z steht und [mm]2^2=4\le6[/mm] gilt,
> ist die Ungleichung doch für alle x,y,z [mm]\in \IR[/mm] erfüllt,
> oder?
>
> Danke im Voraus
Ich habe auch etwas im Voraus zu melden: Bitte verwende
hier keine Tastatur-Exponenten 2 und 3 , sondern schreibe
alle Potenzen mittels des ^ - Zeichens !!
Ich habe alle Exponenten "geflickt".
Weiter: die Ungleichung [mm] $\summe_{i=1}^{n} (x+y)^2 \le \summe_{i=1}^{n} x^2\ [/mm] +\ [mm] \summe_{i=1}^{n} y^2$
[/mm]
die du angibst, ist doch offensichtlich falsch ...
Versuch's mal mit n=1 und x=y=1 !
... und ich verstehe nicht einmal, weshalb du überhaupt
Summensymbole verwendest, wenn die Summanden gar
nicht vom Summationsindex abhängig sind !
Zur Lösung der gegebenen Ungleichung: ich würde die
mal ausmultiplizieren, zusammenfassen und dann schauen,
was übrig bleibt. Wie der Tipp mit der Schwarz'schen
Ungleichung einzusetzen ist, habe ich leider (noch)
nicht gemerkt. Muss jetzt aber hier weg ... jemand
anderer wird gerne helfen.
LG , Al-Chw.
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> Für welche (x, y, z) [mm] \in \IR³ [/mm] ist
> (x+y+2z)² [mm] \le [/mm] 6(x²+y²+z²) ?
> Hinweis: Schwarzsche Ungleichung.
Hallo , ich bin doch schon wieder zurück.
Mein Tipp, um die Schwarzsche Ungleichung einzubringen:
Betrachte die Vektoren
[mm] $\vec{a}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{1\\1\\2}$ [/mm] und [mm] $\vec{r}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{x\\y\\z}$
[/mm]
sowie ihr Skalarprodukt !
LG , Al-Chwarizmi
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Okay, das Skakarprodukt der vektoren entspricht der linken Seite der Ungleichung. Weiter weiß ich aber nicht tut mir leid
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> Okay, das Skakarprodukt der vektoren entspricht der linken
> Seite der Ungleichung. Weiter weiß ich aber nicht tut mir
> leid
Hallo,
wie lautet des Schwarzsche Ungleichung?
Was bekommst Du, wenn Du die von Al-Charizmi genannten Vektoren einsetzt?
LG Angela
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Die schwarzsche Ungleichung ist [mm] $(x,y)^{2} \le [/mm] (x, x) (y, y) $
Das sind ja Zahlenpaare, wie setze ich hier Vektoren mit 3 Zahlen ein?
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> Die schwarzsche Ungleichung ist [mm] (x,y)^{2} \le [/mm] (x, x) (y, y)
> Das sind ja Zahlenpaare, wie setze ich hier Vektoren mit 3
> Zahlen ein?
Hallo,
wo hast Du denn diese Gleichung her?
Da gab es doch sicher auch ein Vorwort: "für [mm] x,y\in [/mm] blabla ..."
Sowas ist wichtig!
Und da wird auch gestanden haben, was die Klammern bedeuten.
Also, x und y sind keine Zahlen, sondern Vektoren, und die Klammern stehen fürs Skalarprodukt.
Die Ungleichung heißt also anders geschrieben
[mm] (\vec{x}*\vec{y})^2\le (\vec{x}*\vec{x})(\vec{y}*\vec{y}).
[/mm]
Nun setze doch mal Al-Charizmis Vektoren ein und guck, was Du bekommst.
LG Angela
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[mm] [\vektor{1 \\ 1\\ 2} \vektor{x \\ y \\ z} ]^{2} \le [\vektor{1 \\ 1\\ 2} \vektor{1 \\ 1\\ 2}] [\vektor{x \\ y \\ z} \vektor{x \\ y \\ z}] [/mm]
[mm] (x+y+2z)^{2} \le [/mm] (1+1+4) [mm] (x^{2}+y^{2}+z^{2})
[/mm]
[mm] (x+y+2z)^{2} \le [/mm] 6 [mm] (x^{2}+y^{2}+z^{2})
[/mm]
:) Danke!
Wie muss ich das Vorwort dazu nun aufschreiben?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:01 Sa 02.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm][\vektor{1 \\ 1\\ 2} \vektor{x \\ y \\ z} ]^{2} \le [\vektor{1 \\ 1\\ 2} \vektor{1 \\ 1\\ 2}] [\vektor{x \\ y \\ z} \vektor{x \\ y \\ z}][/mm]
>
> [mm](x+y+2z)^{2} \le[/mm] (1+1+4) [mm](x^{2}+y^{2}+z^{2})[/mm]
>
> [mm](x+y+2z)^{2} \le[/mm] 6 [mm](x^{2}+y^{2}+z^{2})[/mm]
>
> :) Danke!
>
> Wie muss ich das Vorwort dazu nun aufschreiben?
na, das kannst Du so aufschreiben:
Behauptung: Für alle $x,y,z [mm] \in \IR$ [/mm] gilt
[mm] $(x+y+2z)^2\;\le\;6(x^2+y^2+z^2)\,.$
[/mm]
Beweis: [mm] $(\IR^3,(\cdot,\,\cdot))$ [/mm] ist ein relller Vektorraum mit Skalarprodukt, wobei letzteres durch
[mm] $(\vec{a},\vec{b}):=\sum_{k=1}^3 a_kb_k$ [/mm] für alle [mm] $\vec{a}=\vektor{a_1\\a_2\\a_3},\;\vec{b}=\vektor{b_1\\b_2\\b_3}\in \IR^3$ [/mm] definiert ist.
Daher gilt - für alle [mm] $\vec{a},\vec{b}$ [/mm] wie oben - hier die Cauchy-Schwarzsche
Ungleichung
[mm] $(\vec{a},\vec{b})\;\le\;(\vec{a},\vec{a})\cdot (\vec{b},\vec{b})\,,$
[/mm]
was hier ausgeschrieben nichts anderes besagt als
[mm] $(\star)$ $\sum_{k=1}^3 a_kb_k\;\le\;\left(\sum_{k=1}^3 {a_k}^2\right)*\left(\sum_{k=1}^3 {b_k}^2\right)\,.$ [/mm]
Diese Ungleichung gilt also insbesondere auch, wenn wir, zu beliebig, aber
fest vorgegebenen $x,y,z [mm] \in \IR$ [/mm] speziell
[mm] $\vec{a}=\vektor{a_1\\a_2\\a_3}:=\vektor{1\\1\\2}$ [/mm] und [mm] $\vec{b}=\vektor{b_1\\b_2\\b_3}:=\vektor{x\\y\\z}$
[/mm]
betrachten (d.h. [mm] $a_1:=a_2:=1$ [/mm] und [mm] $a_3:=3$ [/mm] sowie [mm] $b_1:=x,\;b_2:=y$ [/mm] und [mm] $b_3:=z$).
[/mm]
Mit dieser Wahl von [mm] $\vec{a}$ [/mm] und [mm] $\vec{b}$ [/mm] folgt also...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:22 Sa 02.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Für welche (x, y, z) [mm]\in \IR³[/mm] ist (x+y+2z)² [mm]\le[/mm]
> 6(x²+y²+z²) ?
> Hinweis: Schwarzsche Ungleichung.
> Als ich rausfinden wollte, worum es sich bei der
> Schwarzschen Ungleichung handelt, bin ich auf die
> Minkowskische Ungleichung gestoßen und habe mir gedacht,
> dass diese viel passender ist.
> Sie sagt: dass [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] (x+y)² [mm]\le \summe_{i=1}^{n}[/mm]
> x² + [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] y²
die Minkowski-Ungleichung kannst Du im [mm] $\IR^n$ [/mm] als "Dreiecksungleichung"
ansehen, sofern wir von der üblichen Norm ausgehen, die vom Skalarprodukt
induziert wird. Sie würde (im [mm] $\IR^3$) [/mm] also besagen
[mm] $\|x+y\|\le\|x\|+\|y\|,$
[/mm]
wobei [mm] $x=(x_1,x_2,x_3)^T$ [/mm] und [mm] $y=(y_1,y_2,y_3)^T$ [/mm] und [mm] $\|x\|=\sqrt{{x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2}$ [/mm] (für [mm] $\|y\|$ [/mm] und [mm] $\|x+y\|$ [/mm]
analog).
Grob kannst Du Dir merken: Bei Hölder geht's um "Produkte", bei Minkowski
um "Summen".
Es ist übrigens nicht ausgeschlossen, dass man auch alleine mit Minkowski
die Aufgabe hätte lösen können (bzw. es geht auf jeden Fall, denn man
kann ja Cauchy-Schwarz aus Minkowski folgern und müßte hier halt den
Beweis nur mit speziellen Vektoren imitieren; aber ich meine eigentlich
durch Anwendung von Minkowski auf geeignete Vektoren sollte das vielleicht
auch ohne diesen Umweg/Trick gehen...)
Gruß,
Marcel
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