Ungleichung mit Betrag < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:28 Do 13.01.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Zahlen z [mm] \in \IC [/mm] ,die folgende Ungleichungen erfüllen:
1. |z-2| [mm] \ge [/mm] 10 |
Hallo,
ich habe versucht komplexe Zahlen zu finden, die diese Ungleichungen erfüllen,aber bei einigen Umformungen bin ich nicht mehr weitergekommen.
1. [mm] |z-2|=\wurzel{(a-2)^{2}+b^{2}}, [/mm] also
[mm] \wurzel{(a-2)^{2}+b^{2}} \ge [/mm] 10 | quadrieren
[mm] (a-2)^{2}+b^{2} \ge [/mm] 100
Weil ich hier nicht mehr weitergekommen bin, habe ich a-2=x und b=y gesetzt. Dann ich [mm] x^{2}+y^{2} \ge [/mm] 100 und das ist eine Kreisungleichung mit Radius r=10 (ich weiß nicht,ob mir das was bringt,aber es ist so).
Dann hab ich mir überlegt, den Fall zu betrachen, wenn Gleichheit gilt.Gleichheit gilt schonmal, wenn [mm] x=y=\wurzel{50}, [/mm] also a-2=wurzel{50}, daraus folgt [mm] a=\wurzel{50}+2, [/mm] b=wurzel{50}. Das heißt die komplexe Zahl [mm] z_{1}=(\wurzel{50}+2+i*\wurzel{50}) [/mm] erfüllt die Ungleichung (Gleichhet gilt).
Und für Ungleichheit kann ich doch eigentlich sagen, dass a > [mm] \wurzel{50}+2 [/mm] und b> wurzel{50} sein muss, also erfüllen insgesamt alle komplexe Zahlen [mm] z_{k}=k*((\wurzel{50}+2)+i*k*\wurzel{50}) [/mm] mit [mm] k\ge [/mm] 1 die Ungleichung erfüllen.Habe ich die Aufgabe richtig gelöst?
Mir fällt grad auf, dass außer [mm] x=y=\wurzel{50} [/mm] auchandere Zahlen in Frage kommen, z.B. gilt für x=5 und [mm] y=\wurzel{75} [/mm] ebenfalls [mm] x^{2}+y^{2}=100. [/mm] Also kann meine Lösung doch nicht richtig sein.
Ich versteh grad nicht, wie ich das sonst lösen soll.
Kann mir jemand einen Tipp geben?
Vielen Dank
lg
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Hallo Mandy,
> > Hallo Mandy!
> >
> >
> > Mit der Kreisgleichung bist Du doch schon fertig.
> >
> >
> > > 1. [mm]|z-2|=\wurzel{(a-2)^{2}+b^{2}},[/mm] also
> > > [mm]\wurzel{(a-2)^{2}+b^{2}} \ge[/mm] 10 | quadrieren
> >
> > ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> >
> >
> > > [mm](a-2)^{2}+b^{2} \ge[/mm] 100
> >
> > Und schon bist Du fertig. Es handelt sich also um das
> > Gebiet außerhalb des beschriebenen Kreises (der Kreisring
> > an sich eingeschlossen).
> >
> > Wo liegt denn der Kreismittelpunkt?
> >
>
> Das weiß ich leider nicht,aber ich würde schätzen bei
> -2,
Au weia, ein Punkt mit einer Koordinate ...
> da ich nicht weiß wie ich das herausfinden kann.
Kreisgleichungen kennst du seit der Mittelstufe!
Ein Kreis mit Mittelpunkt [mm]M=(x_m,y_m)[/mm] und Radius [mm]r>0[/mm] wird (zB.) beschrieben durch die Gleichung [mm](x-x_m)^2+(y-y_m)^2=r^2[/mm]
Übertragen auf deine Aufgabe also ...
> Ich versteh aber noch nicht ganz, wieso ich nach der
> Kreisgleichung schon fertig bin. Komplexe Zahlen sind doch
> von der Form z=a+i*b und diese Form hab ich durch die
> Kreisgleichung doch noch nicht.Ich hab da das a und b aber
> das i fehlt.Ich versteh das nicht.
Du kannst doch eine komplexe Zahl [mm]z=x+iy[/mm] mit dem (reellen) Tupel [mm](x,y)\in\IR^2[/mm] identifizieren ...
Nimm statt [mm]z=a+bi[/mm] lieber [mm]z=x+iy[/mm], dann fällt dir der Transfer ins kartesische Koordinatensystem nicht so schwer ...
>
> lg
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:40 Fr 14.01.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> Nimm statt [mm]z=a+bi[/mm] lieber [mm]z=x+iy[/mm], dann fällt dir der
> Transfer ins kartesische Koordinatensystem nicht so schwer
Das heißt allgemein,dass alle komplexen Zahlen [mm] z=(a-2)^{2}+b^{2} [/mm] die Gleichung erfüllen oder?
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:43 Fr 14.01.2011 | | Autor: | fred97 |
>
> > Nimm statt [mm]z=a+bi[/mm] lieber [mm]z=x+iy[/mm], dann fällt dir der
> > Transfer ins kartesische Koordinatensystem nicht so schwer
>
> Das heißt allgemein,dass alle komplexen Zahlen
> [mm]z=(a-2)^{2}+b^{2}[/mm] die Gleichung erfüllen oder?
Unfug !
Für z=a+ib mit a,b [mm] \in \IR [/mm] gilt:
[mm] |z-2|\ge [/mm] 10 [mm] \gdw (a-2)^2+b^2 \ge [/mm] 100
FRED
>
> lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:33 Sa 15.01.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo looney_tune!
Wie oben bereits ausgeführt, handelt es sich um alle komplexen Zahlen, welche in der Gauß'schen Zahlenebene nicht innerhalb der beschriebenen Kreisscheibe liegen.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:41 Fr 14.01.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen,die folgende Ungleichungen erfüllen
2.|z|>|z+1|
3.|2z-1|<|z-1| |
Hallo,
ich hab mal die 2. und 3. versucht.
2. [mm] \wurzel{a^{2}+b^{2}}>\wurzel{(a+1)^{2}+b^{2}}
[/mm]
[mm] a^{2}+b^{2} [/mm] > [mm] (a+1)^{2}+b^{2}
[/mm]
[mm] a^{2} [/mm] > [mm] (a+1)^{2}
[/mm]
So, und jetzt kann ich auf zwei Weisen vorgehen:
1. Wurzel ziehen,dann hab ich
a > a+1,also 0>1, das ist aber ein Widerspruch.Ich versteh nicht wieso hier 0>1 rauskommt, das kann eigentlich gar nicht sein,ziehe ich etwa die Wurzel falsch?
2. binomische Formel benutzen, dann hab ich
[mm] (a)^{2} [/mm] > [mm] (a)^{2}+2a+1 [/mm] und somit a < -0.5.
Das heißt a ist immer kleiner als 0.5 und b ist beliebig oder?
3. Hier gilt:
[mm] (2a-1)^{2}+4b^{2} [/mm] < [mm] (a-1)^{2}+b^{2}, [/mm] wenn ich die binomische Formel benutze und das alles zusammenfasse, habe ich
[mm] 3a^{2}-2a+3b^{2} [/mm] <0.
Bedeutet das jetzt, dass alle komplexen Zahlen [mm] z=3a^{2}-2a+3b^{2} [/mm] die Ungleichung erfüllen?
lg
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Hallo nochmal,
> Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen,die folgende
> Ungleichungen erfüllen
> 2.|z|>|z+1|
>
> 3.|2z-1|<|z-1|
>
> Hallo,
>
> ich hab mal die 2. und 3. versucht.
>
> 2. [mm]\wurzel{a^{2}+b^{2}}>\wurzel{(a+1)^{2}+b^{2}}[/mm]
>
> [mm]a^{2}+b^{2}[/mm] > [mm](a+1)^{2}+b^{2}[/mm]
>
> [mm]a^{2}[/mm] > [mm](a+1)^{2}[/mm]
>
> So, und jetzt kann ich auf zwei Weisen vorgehen:
>
> 1. Wurzel ziehen,dann hab ich
> a > a+1,also 0>1, das ist aber ein Widerspruch.Ich versteh
> nicht wieso hier 0>1 rauskommt, das kann eigentlich gar
> nicht sein,ziehe ich etwa die Wurzel falsch?
Der Verdacht drängt sich auf, was ist für [mm] $x\in\IR$ [/mm] denn [mm] $\sqrt{x^2}$ [/mm] ?
>
> 2. binomische Formel benutzen, dann hab ich
> [mm](a)^{2}[/mm] > [mm](a)^{2}+2a+1[/mm] und somit a < -0.5.
Besser!
>
> Das heißt a ist immer kleiner als 0.5
???
> und b ist beliebig
> oder?
Ja, welches geometrische Gebilde ist das in der (komplexen) Ebene?
>
> 3. Hier gilt:
> [mm](2a-1)^{2}+4b^{2}[/mm] < [mm](a-1)^{2}+b^{2},[/mm] wenn ich die
> binomische Formel benutze und das alles zusammenfasse, habe
> ich
> [mm]3a^{2}-2a+3b^{2}[/mm] <0.
>
> Bedeutet das jetzt, dass alle komplexen Zahlen
> [mm]z=3a^{2}-2a+3b^{2}[/mm] die Ungleichung erfüllen?
Eher: Lösung sind alle komplexen Zahlen $z=a+bi$, für die die Ungleichung [mm] $3a^2-2a+3b^2<0$ [/mm] erfüllt ist.
Drösel diese Bedingung an $a,b$ nochmal weiter auf, dass man sehen kann, welches geometrische Gebilde sich da ergibt ...
>
> lg
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Sa 15.01.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> > 1. Wurzel ziehen,dann hab ich
> > a > a+1,also 0>1, das ist aber ein Widerspruch.Ich versteh
> > nicht wieso hier 0>1 rauskommt, das kann eigentlich gar
> > nicht sein,ziehe ich etwa die Wurzel falsch?
>
> Der Verdacht drängt sich auf, was ist für [mm]x\in\IR[/mm] denn
> [mm]\sqrt{x^2}[/mm] ?
Aaahh, ich hab ja zwei Lösungen, einmal die positive und einmal die negative. Die positive macht hier keinen Sinn, aber durch die negative komme ich auf a<-0.5.
> >
> > 2. binomische Formel benutzen, dann hab ich
> > [mm](a)^{2}[/mm] > [mm](a)^{2}+2a+1[/mm] und somit a < -0.5.
>
> Besser!
>
> >
> > Das heißt a ist immer kleiner als 0.5
>
> ???
Ich meinte -0.5.
>
> > und b ist beliebig
> > oder?
>
> Ja, welches geometrische Gebilde ist das in der (komplexen)
> Ebene?
Hmmm, also zu gemoetrischen Gebilde fällt mir der Kreisring ein, aber da a<-0.5 ist, wüsste ich nicht, wie ich das einzeichnen sollte.
> Eher: Lösung sind alle komplexen Zahlen [mm]z=a+bi[/mm], für die
> die Ungleichung [mm]3a^2-2a+3b^2<0[/mm] erfüllt ist.
>
> Drösel diese Bedingung an [mm]a,b[/mm] nochmal weiter auf, dass man
> sehen kann, welches geometrische Gebilde sich da ergibt
Ich könnte noch schreiben: [mm] a*(3a-2)+3b^{2} [/mm] < 0 oder [mm] 3a^2-2a [/mm] < [mm] -3b^{2}.
[/mm]
Ich versteh noch nicht ganz, woran man erkennt welches geometrische Gebilde sich ergibt bzw. was genau du mit dem geometrischen Gebilde meinst, meinst du den Kreisring?
lg
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Hallo Mandy_90,
> > > 1. Wurzel ziehen,dann hab ich
> > > a > a+1,also 0>1, das ist aber ein Widerspruch.Ich versteh
> > > nicht wieso hier 0>1 rauskommt, das kann eigentlich gar
> > > nicht sein,ziehe ich etwa die Wurzel falsch?
> >
> > Der Verdacht drängt sich auf, was ist für [mm]x\in\IR[/mm] denn
> > [mm]\sqrt{x^2}[/mm] ?
>
> Aaahh, ich hab ja zwei Lösungen, einmal die positive und
> einmal die negative. Die positive macht hier keinen Sinn,
> aber durch die negative komme ich auf a<-0.5.
> > >
> > > 2. binomische Formel benutzen, dann hab ich
> > > [mm](a)^{2}[/mm] > [mm](a)^{2}+2a+1[/mm] und somit a < -0.5.
> >
> > Besser!
> >
> > >
> > > Das heißt a ist immer kleiner als 0.5
> >
> > ???
> Ich meinte -0.5.
> >
> > > und b ist beliebig
> > > oder?
> >
> > Ja, welches geometrische Gebilde ist das in der (komplexen)
> > Ebene?
>
> Hmmm, also zu gemoetrischen Gebilde fällt mir der
> Kreisring ein, aber da a<-0.5 ist, wüsste ich nicht, wie
> ich das einzeichnen sollte.
Das ist doch eine Senkrechte an der Stelle x=-0.5.
Ein Kreisring ist das nicht.
>
> > Eher: Lösung sind alle komplexen Zahlen [mm]z=a+bi[/mm], für die
> > die Ungleichung [mm]3a^2-2a+3b^2<0[/mm] erfüllt ist.
> >
> > Drösel diese Bedingung an [mm]a,b[/mm] nochmal weiter auf, dass man
> > sehen kann, welches geometrische Gebilde sich da ergibt
>
> Ich könnte noch schreiben: [mm]a*(3a-2)+3b^{2}[/mm] < 0 oder
> [mm]3a^2-2a[/mm] < [mm]-3b^{2}.[/mm]
> Ich versteh noch nicht ganz, woran man erkennt welches
> geometrische Gebilde sich ergibt bzw. was genau du mit dem
> geometrischen Gebilde meinst, meinst du den Kreisring?
Wende auf die Ungleichung
[mm]3a^{2}-2a+3b^{2} < 0[/mm]
die quadratische Ergänzung an.
>
> lg
>
Gruss
MathePower
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