Ungleichung mit Betrag und Bru < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:43 Di 05.01.2016 | | Autor: | Mino1337 |
| Aufgabe | [mm] \bruch{2x}{|x+1|}\ge [/mm] 1
[mm] \IL=[1;unendlich[ [/mm] |
Ich verstehe nicht wo mein Fehler liegt.
Wir haben hier eine Betrags-Bruch-ungleichung was heisst es gibt eine Fallunterscheidung, mein weg ist folgender:
Der Betrag definiert sich ja das |a|=a wenn [mm] a\ge [/mm] 0 und |a|=-(a) wenn a<0
Also ist der erste Fall von [mm] \bruch{2x}{|x+1|}\ge [/mm] 1 :
1.Fall
[mm] \bruch{2x}{x+1}\ge [/mm] 1 wenn [mm] x\ge-1 \cup [/mm] x [mm] \ge [/mm] 1
x+1 [mm] \ge [/mm] 0 |-1
x [mm] \ge [/mm] -1
[mm] \bruch{2x}{x+1} \ge [/mm] 1 |*(x+1)
Keine umkehr des zeichens weil (x+1) nach definition Positiv sein muss
[mm] 2x\ge [/mm] x+1 |-x
[mm] x\ge [/mm] 1
[mm] x\ge-1 \cup [/mm] x [mm] \ge 1=]1;unendlich[=\IL
[/mm]
nun muss ich ja noch den Fall betrachten wenn der Betrag negativ wäre:
2.Fall
[mm] \bruch{2x}{x+1}\ge [/mm] 1 wenn x<-1 [mm] \cup [/mm] x [mm] \le -\bruch{1}{3}
[/mm]
x+1<0 |-1
x<-1
[mm] \bruch{2x}{-(x+1)}\ge [/mm] 1
[mm] \bruch{2x}{-x-1}\ge [/mm] 1 |*(-x-1)
umkehr des Zeichens weil (-x-1) per Definition negativ sein muss.
2x [mm] \le [/mm] -x-1 |+x
3x [mm] \le [/mm] -1 |/3
x [mm] \le -\bruch{1}{3}
[/mm]
x<-1 [mm] \cup [/mm] x [mm] \le -\bruch{1}{3}=]-unendlich;-1[
[/mm]
damit habe ich ]-unendlich;-1[ [mm] \cup ]1;unendlich[=\IL
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 Di 05.01.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du musst ja sowieso den Fall x=-1 geondert betrachten, denn dann würde der Nenner Null.
Generell würde ich wie folgt anfangen:
[mm] \frac{2x}{|x+1|}\ge1\cdot|x+1|
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow2x\ge|x+1|
[/mm]
Nun mache die Fallunterscheidungen x<-1 und x>-1, denn
|x+1|=x+1, wenn x+1>0, also x>-1
und
|x+1|=-(x+1)=-x-1, wenn x+1<0, also x<-1
Also bekommst du folgende Fälle
Fall 1:
x>-1
und
[mm]2x\ge x+1[/mm]
[mm] \Leftrightarrow x\ge1
[/mm]
Fall 1 hat also die Lösung [mm] x\ge1
[/mm]
sowie Fall 2:
x<-1
und
[mm]2x\ge-x-1[/mm]
[mm] \Leftrightarrow3x\ge-1
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow x\ge-\frac{1}{3}
[/mm]
Fall 2 fürht zu keiner weiteren Lösung, denn x<-1 und [mm] x\ge-\frac{1}{3} [/mm] schließen sich gegenseitig aus.
Daher ist als Gesamtlösungsmenge nur die Lösungsmenge von Fall 1 relevant.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Di 05.01.2016 | | Autor: | Mino1337 |
Ich verstehe noch nicht ganz wieso sich das in diesem Fall ausschliesst denn bei
[mm] |3x+2|\ge [/mm] 6 ist das Ergebnis [mm] ]-unendlich;-\bruch{8}{3}] \cup [\bruch{4}{3};unendlich[
[/mm]
und bei
[mm] \bruch{x+3}{|2x-1|}\le [/mm] 2 ist das Ergebnis [mm] ]-unendlich;-\bruch{1}{5}] \cup [\bruch{5}{3};unendlich[
[/mm]
Das letzte ist doch sehr ähnlich und müsste sich auch ausschliessen. Tut es aber nicht.
Die Funktionen haben dann eben eine Definitionslücke.
Ansonsten Danke für den Hinweis mit den "den Betrag erst auf die andere Seite bringen". Hat mir sehr geholfen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:33 Di 05.01.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ich verstehe noch nicht ganz wieso sich das in diesem Fall
> ausschliesst denn bei
>
> [mm]|3x+2|\ge[/mm] 6 ist das Ergebnis [mm]]-unendlich;-\bruch{8}{3}] \cup [\bruch{4}{3};unendlich[[/mm]
Ja, denn hier musst du die Fälle [mm] x\ge-\frac{2}{3} [/mm] und [mm] x<-\frac{2}{3} [/mm] unterscheiden.
In Fall 1 gehen wir also von [mm] x\ge-\frac{2}{3} [/mm] aus, und bekommen
[mm] |3x+2|\ge6
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow3x+2\ge\frac{4}{3}
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow x\ge\frac{4}{3}
[/mm]
Und für diesen Fall gibt es dann die Teillösung [mm] x\ge\frac{4}{3}, [/mm] denn [mm] x\ge\frac{4}{3} [/mm] schließt die Fallunterscheidung [mm] x\ge-\frac{2}{3} [/mm] ja mit ein.
In Fall 2 gehen wir also von [mm] x<-\frac{2}{3} [/mm] aus, und bekommen
[mm] |3x+2|\ge6
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow-(3x+2)\ge6
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow-3x-2\ge6
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow x\le-\frac{8}{3}
[/mm]
Und für diesen Fall gibt es dann die Teillösung [mm] x\le-\frac{8}{3}, [/mm] denn [mm] x\le-\frac{8}{3} [/mm] schließt die Fallunterscheidung [mm] x<-\frac{2}{3} [/mm] ja mit ein.
>
> und bei
>
> [mm]\bruch{x+3}{|2x-1|}\le[/mm] 2 ist das Ergebnis
> [mm]]-unendlich;-\bruch{1}{5}] \cup [\bruch{5}{3};unendlich[[/mm]
>
> Das letzte ist doch sehr ähnlich und müsste sich auch
> ausschliessen. Tut es aber nicht.
Du hast also:
[mm] \frac{x+3}{|2x-1|}\le2
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow x+3\le2\cdot|2x-1|
[/mm]
Den Fall [mm] x=\frac{1}{2} [/mm] musst du ausschließen, also bleibt
Fall 1, [mm] x>\frac{1}{2}
[/mm]
Damit dann:
[mm] x+3\le2\cdot|2x-1|
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow x+3\le2\cdot(2x-1)
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow x+3\le4x-2
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow -3x\le-5
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow x\ge\frac{5}{3}
[/mm]
Damit liefert Fall 1 die Teillösung [mm] x\ge\frac{5}{3}
[/mm]
Fall 2, [mm] x<\frac{1}{2}
[/mm]
Damit dann:
[mm] x+3\le2\cdot|2x-1|
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow x+3\le2\cdot(-(2x-1))
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow x+3\le-4x+2
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow 5x\le-1
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow x\le-\frac{1}{5}
[/mm]
Und damit hat auch Fall 2 eine Lösung, denn alle Zahlen, für die gilt [mm] x\le-\frac{1}{5} [/mm] erfüllen auch die Fallunterscheidung [mm] x<\frac{1}{2}
[/mm]
Damit liefert Fall 2 die Teillösung [mm] x\le-\frac{1}{5}
[/mm]
>
> Die Funktionen haben dann eben eine Definitionslücke.
>
> Ansonsten Danke für den Hinweis mit den "den Betrag erst
> auf die andere Seite bringen". Hat mir sehr geholfen.
In deiner ersten Aufgabe hast du aber eine "Falllösung", nämlich [mm] x\ge-\frac{1}{3} [/mm] die der Einschränkung des Falles, hier x<-1 widerspricht, daher führt dieser Teilfall dann zu keiner Lösung.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:10 Do 07.01.2016 | | Autor: | Mino1337 |
Ahhhhhh ... habs Kapiert =D Dankeschön
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:06 Mi 06.01.2016 | | Autor: | fred97 |
Aus
$ [mm] \bruch{2x}{|x+1|}\ge [/mm] 1 $
folgt, da der Nenner positiv ist, 2x [mm] \ge [/mm] 0, also x [mm] \ge [/mm] 0. Damit ist x+1 [mm] \ge [/mm] 1 >0 und somit |x+1|=x+1.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:09 Mi 06.01.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Fred.
Das ist natürlich die ganz elegante Variante.
Marius
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