Ungleichung mit Fakultät < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:44 Di 15.01.2013 | | Autor: | Flo2610 |
| Aufgabe | | zz.: [mm] n!>=(n/4)^n [/mm] |
Hallo Matheraum,
Das ist das erste Mal, dass hier etwas reinstelle, seid also bitte gnädig mit mir falls ich etwas falsch machen sollte.
So ich habe die Aufgabe, die mir etwas Probleme macht angegeben.
Ich denke, sie ist mit vollständiger Induktion zu lösen, aber irgendwie hab ich da noch nicht den richtigen Ansatz.
Ich fange immer mit (n+1)! an, benutze dann die Induktionsvoraussetzung und versuche umzuformen. Hat mich aber bis jetzt noch nicht zum Ziel gebracht.
Vlt hat ja einer von euch eine gute Idee. Ich bin für jeden Kommentar dankbar.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=511768&hilightuser=57545
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:16 Di 15.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Flo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> zz.: [mm]n!>=(n/4)^n[/mm]
> Hallo Matheraum,
>
> Das ist das erste Mal, dass hier etwas reinstelle, seid
> also bitte gnädig mit mir falls ich etwas falsch machen
> sollte.
wir beißen schon nicht. 
> So ich habe die Aufgabe, die mir etwas Probleme macht
> angegeben.
> Ich denke, sie ist mit vollständiger Induktion zu lösen,
> aber irgendwie hab ich da noch nicht den richtigen Ansatz.
Kann auch sein, dass man irgendwie [mm] $e\,$ [/mm] (oder etwa Folgen wie
[mm] ${((1+1/n)^n)}_n$ [/mm] oder [mm] ${((1+1/n)^{n+1})}_n$) [/mm] verwenden kann.
Ich bin eigentlich auf dem Sprung, deswegen kann ich nicht sagen, ob das
wirklich hilfreich ist. Allerdings gerade ganz kurz:
> Ich fange immer mit (n+1)! an, benutze dann die
> Induktionsvoraussetzung und versuche umzuformen. Hat mich
> aber bis jetzt noch nicht zum Ziel gebracht.
Okay, wenn Dir $(n+1)!=(n+1)*n!$ im Induktionsschritt nichts bringt (oder
Du nicht siehst, was es bringt), dann probiere es doch andersrum:
Anstatt $(n+1)!$ mit der Induktionsvoraussetzung nach und nach nach
unten abzuschätzen, schreibe
[mm] $$\left(\frac{n+1}{4}\right)^{n+1}$$
[/mm]
und versuche, das nach oben abzuschätzen.
Manchmal kann es auch sehr hilfreich sein, sich die im Induktionsschritt zu
beweisende Ungleichung hinzuschreiben, und die dann äquivalent
umzuformen. Dann kommt man vielleicht zu einer anderen Ungleichung,
bei der "man besser sieht, was zu tun ist", und weil man äquivalent
umgeformt hat, reicht es dann, diese zu zeigen (denn aus dieser folgt
dann ja insbesondere die behauptete Ungleichung).
Also das wären erstmal strategische Tipps, die weiterhelfen könnten.
Wenn's nicht klappt, schau' ich's mir vielleicht später nochmal an, um
konkretere Tipps zu geben, falls das bis dato noch nicht von jemand
anderem getan wurde.
Gruß,
Marcel
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> Hallo Flo,
>
>
>
> > zz.: [mm]n!>=(n/4)^n[/mm]
> > Hallo Matheraum,
> >
> > Das ist das erste Mal, dass hier etwas reinstelle, seid
> > also bitte gnädig mit mir falls ich etwas falsch machen
> > sollte.
>
> wir beißen schon nicht.
Hallo Marcel,
meinst du damit etwa "im Gegensatz zu einem Flo" ??
Falls ja: Aber, aber ...
Gruß , Al
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> ![[prost]](/images/smileys/prost.gif "[prost]") (mit Malzbier, also das alkoholfreie, nicht das
> superstarke ^^!)
das Bierchen hol' ich mir gleich - allerdings ein stinknormales ...
Al 
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Hallo Flo, auch von mir ein herzliches Willkommen!
Ich hab ein bisschen herumprobiert und kann Marcels Ahnung nur bestätigen...
Ich schreib Dir einfach mal ein paar Umformungen auf. Mir schien Logarithmieren sinnvoll.
Wenn Du einen Induktionsanfang hast, dann wäre ja die Induktionsvoraussetzung logarithmiert
[mm] n*(\ln{(n)}-\ln{(4)})<\ln{(n!)}=\summe_{k=1}^{n}\ln{(k)}
[/mm]
und zu zeigen ist im Induktionsschritt
[mm] (n+1)*(\ln{(n+1)}-\ln{(4)})<\ln{((n+1)!)}=\summe_{k=1}^{n+1}\ln{(k)}
[/mm]
Dann formen wir ein bisschen um. Erstmal auf beiden Seiten [mm] -\ln{(n+1)}
[/mm]
[mm] n*\ln{(n+1)}-n*\ln{(4)}-\ln{(4)}<\ln{(n!)}
[/mm]
Eine fette Null dazu und ein bisschen umgeordnet:
[mm] n*(\ln{(n+1)}-\ln{(n)})-\ln{(4)}+\blue{n*(\ln{(n)}-\ln{(4)})<\ln{(n!)}}
[/mm]
Der blaue Teil ist gerade die Induktionsvoraussetzung, bleibt also noch
[mm] n*(\ln{(n+1)}-\ln{(n)})<\ln{(4)}
[/mm]
Falls Dir das noch nicht bekannt vorkommt, dann lassen wir das mit dem Logarithmieren an dieser Stelle mal besser:
[mm] \left(\bruch{n+1}{n}\right)^n<4\quad\gdw\quad \left(1+\bruch{1}{n}\right)^n<4
[/mm]
Das solltest Du schon kennen. Wir können die ursprünglich zu zeigende Ungleichung sogar noch verbessern, indem wir die 4 durch eine 3 ersetzen, oder noch besser durch $e$. Der Aufgabensteller hat das nicht getan, um nicht zu viel vorab zu verraten.
Und so im Nachhinein hätte man sich das Logarithmieren natürlich auch sparen können. Das überlasse ich jetzt aber alles Dir.
Grüße
reverend
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> zu zeigen: [mm]n!>=(n/4)^n[/mm]
Hallo zusammen,
da ich gerade bei einem Thread beteiligt bin, in dem
es um eine sehr ähnliche Abschätzung der Fakultäten
geht, möchte ich auf diesen hinweisen:
Annäherung von n!
Dort wird allerdings auf andere Weise vorgegangen,
aber die Betrachtung der unterschiedlichen Wege
kann bestimmt lehrreich sein.
LG , Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:16 Di 15.01.2013 | | Autor: | Flo2610 |
Erstmal vielen Dank für die schnellen Tipps, ich werd das jetzt mal alles ausprobieren und melde mich dann wieder.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:52 Di 15.01.2013 | | Autor: | Flo2610 |
Also ich hab das mit euren Tipps jetzt mit und ohne Logarithmus hinbekommen und dafür möchte ich mich noch einmal bei allen bedanken, vor allem weil ihr so schnell geantwortet habt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:50 Di 15.01.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> Also ich hab das mit euren Tipps jetzt mit und ohne
> Logarithmus hinbekommen
Super! Glückwunsch dazu.
> und dafür möchte ich mich noch
> einmal bei allen bedanken, vor allem weil ihr so schnell
> geantwortet habt.
Das ist zwar oft so hier, aber eben nicht immer. Es hängt auch ein bisschen von der Aufgabe ab, und natürlich davon, ob die Frage verständlich formuliert ist.
Grüße
reverend
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![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]"){kind=small}
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
"Malzbier"