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| Aufgabe | Beweisen Sie für alle natürlichen Zahlen n ≥ 2 die Gültigkeit folgender
Ungleichung: [mm] \bruch{4^n}{n+1}<\bruch{(2n)!}{(n!)^2}
[/mm]
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Hallo Leute,
A(n) [mm] =\bruch{4^n}{n+1}<\bruch{(2n)!}{(n!)^2} [/mm] Induktionsvorraussetzung
A(2) = [mm] \bruch{16}{3} [/mm] < 5
Wenn A(n) und auch A(0) gilt, gilt auch A(n+1)
[mm] A(n+1)=\bruch{4^{n+1}}{n+2}<\bruch{(2n+2)!}{((n+1)!)^2}
[/mm]
A(n) -> A(n+1) Induktionsschritt
[mm] \bruch{4^{n+1}}{n+2}=\bruch{4^n}{n+1}+\bruch{4^{n+1}(n+1)-4^{n}(n+2)}{(n+2)(n+1)}<\bruch{(2n)!}{(n!)^2}+\bruch{4^{n+1}(n+1)-4^{n}(n+2)}{(n+2)(n+1)}<\bruch{(2n+2)!}{((n+1)!)^2}
[/mm]
Jetzt gilt es noch zuzeigen dass [mm] \bruch{(2n)!}{(n!)^2}+\bruch{4^{n+1}(n+1)-4^{n}(n+2)}{(n+2)(n+1)}<\bruch{(2n+2)!}{((n+1)!)^2} [/mm] gilt.
Wäre das soweit richtig?
Schönen Abend & Liebe Grüße, Daniel
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> Beweisen Sie für alle natürlichen Zahlen n ≥ 2 die
> Gültigkeit folgender
>
> Ungleichung: [mm]\bruch{4^n}{n+1}<\bruch{(2n)!}{(n!)^2}[/mm]
Guten Abend Daniel,
ich habe mir jetzt deinen Beweis gar nicht so
genau angeschaut, denn ich denke, dass man
hier eventuell leichter zum Ziel kommen könnte
ohne Induktionsbeweis. Nur ein kleines Beispiel
für die Idee:
(2*5)!=10!=1*2*3*4*5*6*7*8*9*10
[mm] =(1*3*5*7*9)*\underbrace{(2*4*6*8*10)}_{=2^5*5!}
[/mm]
Jetzt kann man versuchen, durch eine geeignete
Abschätzung auch aus dem Produkt der ungeraden
Faktoren in der ersten Klammer einen Faktor 5!
herauszunehmen ...
LG Al-Chw.
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Okay danke schön, schau ich mal was sich damit machen lässt, aber weiter kommen mir gerade keine Ideen! Könnte sich trotzdem jemand meinen Beweis näher anschauen, bitte?
Liebe Grüße, Daniel
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> Okay danke schön, schau ich mal was sich damit machen
> lässt, aber weiter kommen mir gerade keine Ideen! Könnte
> sich trotzdem jemand meinen Beweis näher anschauen,
> bitte?
>
> Liebe Grüße, Daniel
Hallo Daniel,
Stefan hat dir schon bestätigt, dass deine Rechnung
so weit richtig war. Aber die noch zu beweisende
Ungleichung
[mm] $\bruch{(2n)!}{(n!)^2}\ [/mm] +\ [mm] \bruch{4^{n+1}(n+1)-4^{n}(n+2)}{(n+2)(n+1)}\ [/mm] <\ [mm] \bruch{(2n+2)!}{((n+1)!)^2} [/mm] $
ist doch ein mittleres Monster. Deshalb würde ich
dir nun eine "Mischung" aus meiner vorherigen
Idee und Induktionsbeweis vorschlagen. Zerlege
zuerst
$\ [mm] (2\,n)!=(1*3*5*.....*(2\,n-1))*(\underbrace{2*4*6*.....*(2\,n)}_{2^n*n!})$
[/mm]
Benütze dies, um die zu beweisende Ungleichung
zu kürzen. Die verbleibende Ungleichung ist dann
für einen Induktionsbeweis schon wesentlich an-
genehmer !
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> > Okay danke schön, schau ich mal was sich damit machen
> > lässt, aber weiter kommen mir gerade keine Ideen! Könnte
> > sich trotzdem jemand meinen Beweis näher anschauen,
> > bitte?
> >
> > Liebe Grüße, Daniel
>
> Hallo Daniel,
>
> Stefan hat dir schon bestätigt, dass deine Rechnung
> so weit richtig war. Aber die noch zu beweisende
> Ungleichung
>
> [mm]\bruch{(2n)!}{(n!)^2}\ +\ \bruch{4^{n+1}(n+1)-4^{n}(n+2)}{(n+2)(n+1)}\ <\ \bruch{(2n+2)!}{((n+1)!)^2}[/mm]
>
> ist doch ein mittleres Monster. Deshalb würde ich
> dir nun eine "Mischung" aus meiner vorherigen
> Idee und Induktionsbeweis vorschlagen. Zerlege
> zuerst
>
> [mm]\ (2\,n)!=(1*3*5*.....*(2\,n-1))*(\underbrace{2*4*6*.....*(2\,n)}_{2^n*n!})[/mm]
>
> Benütze dies, um die zu beweisende Ungleichung
> zu kürzen. Die verbleibende Ungleichung ist dann
> für einen Induktionsbeweis schon wesentlich an-
> genehmer !
>
Hey,
kannst du bitte einmal vormachen wie man das kürzt?^^ Wir sitzen gerade zu zweit an der Aufgabe und grübeln und grübeln...Also [mm] 2*4*6*....(2n)=2^n*n! [/mm] ist uns jetzt klar geworden. Was bringt uns das?
Liebe Grüße, Daniel
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> Hey,
> kannst du bitte einmal vormachen wie man das kürzt?^^ Wir
> sitzen gerade zu zweit an der Aufgabe und grübeln und
> grübeln...Also [mm]2*4*6*....(2n)=2^n*n![/mm] ist uns jetzt klar
> geworden. Was bringt uns das?
Also die ursprünglichzu beweisende Ungleichung war ja:
$ [mm] \bruch{4^n}{n+1}\ [/mm] <\ [mm] \bruch{(2n)!}{(n!)^2} [/mm] $
Daraus wird:
$ [mm] \bruch{4^n}{n+1}\ [/mm] <\ [mm] \bruch{(1*3*....*(2\,n-1))*2^n*n!}{(n!)^2} [/mm] $
Nach dem Kürzen wird daraus:
$ [mm] \bruch{2^n}{n+1}\ [/mm] <\ [mm] \bruch{1*3*....*(2\,n-1)}{n!} [/mm] $
was gleichbedeutend ist mit
$\ [mm] (n+1)*(1*3*....*(2\,n-1))\ [/mm] >\ [mm] 2^n*n!$
[/mm]
Nun bleibt diese (einfachere) Ungleichung durch
vollständige Induktion zu beweisen.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:15 Mo 16.11.2009 | | Autor: | Blaub33r3 |
Sehr genial gemacht :)
Danke schöön, wünschen dir noch einen guten Abend!
Grüße David & Daniel
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Erstmal super, danke. Es ist wie Schuppen von den Augen gefallen ;)
Jetzt gilt es noch zubeweisen:
[mm] (n+1)*(1*3*....*(2\,n-1))>2^n*n! [/mm]
<=> [mm] 2^n*n!<(n+1)*(1*3*....*(2\,n-1))
[/mm]
I.V. A(2) 8<30
A(n) -> A(n+1)
[mm] 2^{n+1}*(n+1)!=2^n*2*n!*(n+1)<(n+1)*(1*3*....*(2n-1))*2(n+1)<(n+2)*(1*3*....*(2n+1))
[/mm]
Also zuzeigen wäre ja dann noch:
[mm] 2(n+1)^2*(1*3*....*(2n-1))<(n+2)*(1*3*....*(2n+1))
[/mm]
Aber wieso ist das offensichtlich falsch, sieht vllt jemand meinen Fehler?
Grüße Daniel
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Hallo Daniel,
> [mm]2(n+1)^2*(1*3*....*(2n-1))<(n+2)*(1*3*....*(2n+1))[/mm]
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> Aber wieso ist das offensichtlich falsch, sieht vllt jemand
> meinen Fehler?
Warum soll das falsch sein? Du hast geschrieben:
[mm]2(n+1)^2\prod_{k=1}^n{(2k-1)}\stackrel{!}{<}(n+2)\prod_{k=1}^{n+1}{(2k-1)}[/mm]
Jetzt teile auf beiden Seiten durch [mm]\textstyle\prod_{k=1}^n{(2k-1)}[/mm] und du erhälst: [mm]2(n+1)^2\stackrel{!}{<}(n+2)(2n+1)[/mm]. Ausmultiplizieren auf beiden Seiten ergibt bei mir [mm]0
Du mußt bei solchen Ungleichungen jedoch aufpassen, wo du den Induktionsanfang ansetzt. Aber hier scheint es zu stimmen.
Viele Grüße
Karl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:15 Mo 16.11.2009 | | Autor: | Blaub33r3 |
Danke schön, hmm ja dann hoffe ich mal, dass ich nächste Mal den Induktionsanfang auch richtig habe ;)
Schönen Abend noch
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Hallo!
> Beweisen Sie für alle natürlichen Zahlen n ≥ 2 die
> Gültigkeit folgender
>
> Ungleichung: [mm]\bruch{4^n}{n+1}<\bruch{(2n)!}{(n!)^2}[/mm]
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> Hallo Leute,
>
> A(n) [mm]=\bruch{4^n}{n+1}<\bruch{(2n)!}{(n!)^2}[/mm]
> Induktionsvorraussetzung
>
> A(2) = [mm]\bruch{16}{3}[/mm] < 5
>
> Wenn A(n) und auch A(0) gilt, gilt auch A(n+1)
>
> [mm]A(n+1)=\bruch{4^{n+1}}{n+2}<\bruch{(2n+2)!}{((n+1)!)^2}[/mm]
>
> A(n) -> A(n+1) Induktionsschritt
>
> [mm]\bruch{4^{n+1}}{n+2}=\bruch{4^n}{n+1}+\bruch{4^{n+1}(n+1)-4^{n}(n+2)}{(n+2)(n+1)}<\bruch{(2n)!}{(n!)^2}+\bruch{4^{n+1}(n+1)-4^{n}(n+2)}{(n+2)(n+1)}<\bruch{(2n+2)!}{((n+1)!)^2}[/mm]
>
>
> Jetzt gilt es noch zuzeigen dass
> [mm]\bruch{(2n)!}{(n!)^2}+\bruch{4^{n+1}(n+1)-4^{n}(n+2)}{(n+2)(n+1)}<\bruch{(2n+2)!}{((n+1)!)^2}[/mm]
> gilt.
>
> Wäre das soweit richtig?
Ja, das ist soweit richtig.
Grüße,
Stefan
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