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Forum "Ganzrationale Funktionen" - Ungleichung mit Parameter
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Ungleichung mit Parameter: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:24 So 13.01.2013
Autor: pancho

Aufgabe
[mm]x^2-a+2>0[/mm]


Hallo,

ich möchte die Ungleichung lösen. Ich weiss, dass [mm]a < 2[/mm] sein muss, damit die Ungleichung für alle x aus R lösbar ist.

Bei der formalen Lösung der Aufgabe bleibe ich bei folgender Umformung nach x stecken:

[mm](x > \wurzel{a-2}) \vee (x < -\wurzel{a-2})[/mm]

Hier muss [mm]a \geq 2[/mm] sein.

Ich steh aufm Schlauch, bitte helft mir runter.


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Ungleichung mit Parameter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:33 So 13.01.2013
Autor: Diophant

Hallo,

> [mm]x^2-a+2>0[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich möchte die Ungleichung lösen. Ich weiss, dass [mm]a < 2[/mm]
> sein muss, damit die Ungleichung für alle x aus R lösbar
> ist.

nein, das ist so nicht ganz richtig. Beachte, dass du eine 'Größer'-Relation hast und nicht 'größer-gleich'.

> Bei der formalen Lösung der Aufgabe bleibe ich bei
> folgender Umformung nach x stecken:
>
> [mm](x > \wurzel{a-2}) \vee (x < -\wurzel{a-2})[/mm]
>
> Hier muss [mm]a \geq 2[/mm] sein.
>
> Ich steh aufm Schlauch, bitte helft mir runter.

Man tut besser daran, bei Ungleichungen die genaue Definition der Quadratwurzelfunktion

[mm]\wurzel{x^2}=|x|[/mm]

zu verwenden, also schreibe

[mm] |x|>\wurzel{a-2} [/mm]

Aber von der Bedeutung läuft das auf das selbe hinaus.


Gruß, Diophant

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Ungleichung mit Parameter: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:11 So 13.01.2013
Autor: pancho

Danke für den Tipp. Ich werd das berücksichtigen.

$ [mm] |x|>\wurzel{a-2} [/mm] $

Allerdings bringt mich das nicht weiter. Hier gilt [mm]a \geq 2[/mm]. Das deckt sich aber nicht mit meiner Vermutung [mm]a < 2[/mm]. Also genau das umgekehrte. Irgendwas mache ich falsch. [keineahnung]


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Ungleichung mit Parameter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:36 So 13.01.2013
Autor: schachuzipus

Hallo pancho,


> Danke für den Tipp. Ich werd das berücksichtigen.
>  
> [mm]|x|>\wurzel{a-2}[/mm]
>  
> Allerdings bringt mich das nicht weiter. Hier gilt [mm]a \geq 2[/mm].
> Das deckt sich aber nicht mit meiner Vermutung [mm]a < 2[/mm].

Nun, die Wurzel darfst du für [mm]a-2[/mm] natürlich nur ziehen, wenn [mm]a-2\ge 0[/mm], also [mm]a\ge 2[/mm] ist.

In diesem Falle kannst du den Rechenweg über das Ziehen der Wurzel einschlagen. Und die Lösungen für [mm]x[/mm] sind dann natürlich nicht aus ganz [mm]\IR[/mm], sondern durch die Bed. [mm] $|x|>\sqrt{a-2}$, [/mm] also [mm]x>\sqrt{a-2}[/mm] bzw. [mm]x<-\sqrt{a-2}[/mm] eingeschränkt.


Für den Fall, dass [mm]a<2[/mm] ist, kannst du natürlich nicht die Wurzel ziehen, denn [mm]a-2<0[/mm]

Aber [mm]x^2[/mm] ist eh stets nicht-negativ, also [mm]x^2>0>a-2[/mm] ist stets, also für alle [mm]x\in\IR[/mm], erfüllt.  Und damit natürlich auch [mm] $x^2-a+2>0$ [/mm]

Die Lösungsmenge hängt also vom Parameter a ab ...


> Also
> genau das umgekehrte. Irgendwas mache ich falsch.
> [keineahnung]
>  

Gruß

schachuzipus


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Ungleichung mit Parameter: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:26 So 13.01.2013
Autor: pancho

Also mache ich eine Fallunterscheidung:
1. Fall: [mm]a \geq 2[/mm]
2. Fall: [mm]a < 2[/mm]

Da ich alle x aus R haben will, kommt für mich nur der 2. Fall in Frage.

Okay, so weit, so gut.

Die Ungleichung ist ein Lösungsansatz für folgende Aufgabe:

[mm]{f(x)=\bruch{1}{3}x^3-(a-2)x} [/mm] [mm]; a \in \IR[/mm]

Hier soll ich a so bestimmen, dass [mm]f(x)[/mm] keine Extrem- oder Sattelstelle besitzt.

Kann ich die Aufgabe auch lösen, ohne die Ungleichung zu benutzen?


Bezug
                                        
Bezug
Ungleichung mit Parameter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:31 So 13.01.2013
Autor: fred97


> Also mache ich eine Fallunterscheidung:
>  1. Fall: [mm]a \geq 2[/mm]
>  2. Fall: [mm]a < 2[/mm]
>  
> Da ich alle x aus R haben will, kommt für mich nur der 2.
> Fall in Frage.
>  
> Okay, so weit, so gut.
>  
> Die Ungleichung ist ein Lösungsansatz für folgende
> Aufgabe:
>  
> [mm]{f(x)=\bruch{1}{3}x^3-(a-2)x} [/mm] [mm]; a \in \IR[/mm]
>  
> Hier soll ich a so bestimmen, dass [mm]f(x)[/mm] keine Extrem- oder
> Sattelstelle besitzt.
>  
> Kann ich die Aufgabe auch lösen, ohne die Ungleichung zu
> benutzen?
>  

Es ist [mm] f'(x)=x^2-(a-2), [/mm] also

   f'(x)=0   [mm] \gdw [/mm]  (*) [mm] x^2=a-2 [/mm]

Wenn a-2<0 ist hat (*) keine Lösung.

FRED

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Ungleichung mit Parameter: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:47 So 13.01.2013
Autor: pancho

So kürze ich wenigstens den Lösungsweg mit der Fallunterscheidung ab.

Vielen Dank für alle Antworten!


Bezug
                                        
Bezug
Ungleichung mit Parameter: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:31 So 13.01.2013
Autor: fred97

Ist beantwortet.

FRED

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