Ungleichung mit Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:51 Mi 07.11.2007 | | Autor: | U-Gen |
| Aufgabe | Zeigen Sie: für je n reelle Zahlen [mm] a_1, a_2, [/mm] ..., [mm] a_n [/mm] gelten die Ungleichungen
[mm] \mid a_1 \mid [/mm] - [mm] \sum_{i=2}^n~\mid a_i \mid \leq \mid \sum_{i=1}^n~a_i \mid \leq \sum_{i=1}^n~\mid a_i \mid.
[/mm]
|
Zuerst hab ich gezeigt
[mm] \mid \sum_{i=1}^n~a_i \mid \leq \sum_{i=1}^n~\mid a_i \mid.
[/mm]
[mm] \mid \sum_{i=1}^n~a_i \mid [/mm] = [mm] \mid a_1 [/mm] + [mm] \sum_{i=2}^n~a_i \mid \leq |a_1| [/mm] + [mm] \mid \sum_{i=2}^n~a_i \mid \leq |a_1| [/mm] + [mm] |a_2| [/mm] + [mm] \mid \sum_{i=3}^n~a_i \mid [/mm] ... [mm] \leq |a_1| [/mm] + [mm] |a_2| [/mm] + ... + [mm] |a_n| [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n~\mid a_i \mid.
[/mm]
Wie beweis ich jedoch jetzt den ersten Teil und ist dieser Beweis überhaupt korrekt ?!
MFG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:11 Mi 07.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Zeigen Sie: für je n reelle Zahlen [mm]a_1, a_2,[/mm] ..., [mm]a_n[/mm]
> gelten die Ungleichungen
>
> [mm]\mid a_1 \mid[/mm] - [mm]\sum_{i=2}^n~\mid a_i \mid \leq \mid \sum_{i=1}^n~a_i \mid \leq \sum_{i=1}^n~\mid a_i \mid.[/mm]
>
>
> Zuerst hab ich gezeigt
>
> [mm]\mid \sum_{i=1}^n~a_i \mid \leq \sum_{i=1}^n~\mid a_i \mid.[/mm]
>
> [mm]\mid \sum_{i=1}^n~a_i \mid[/mm] = [mm]\mid a_1[/mm] + [mm]\sum_{i=2}^n~a_i \mid \leq |a_1|[/mm]
> + [mm]\mid \sum_{i=2}^n~a_i \mid \leq |a_1|[/mm] + [mm]|a_2|[/mm] + [mm]\mid \sum_{i=3}^n~a_i \mid[/mm]
> ... [mm]\leq |a_1|[/mm] + [mm]|a_2|[/mm] + ... + [mm]|a_n|[/mm] = [mm]\sum_{i=1}^n~\mid a_i \mid.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das ist die wiederholte Anwendung der Dreicksungleichung.
> Wie beweis ich jedoch jetzt den ersten Teil
Fast genauso: Mach deinen ersten Schritt noch einmal und setze die Dreiecksungleichung in anderer Form an:
[mm]\left|\sum_{i=1}^n~a_i\right| = \left|a_1 + \sum_{i=2}^n~a_i \right| \geq \left| |a_1| - \left|\sum_{i=2}^n~a_i \right|\,\,\right|\ge |a_1| - \left|\sum_{i=2}^n~a_i \right|[/mm].
Im letzten Schritt habe ich [mm]|a|\ge a[/mm] benutzt.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Mi 07.11.2007 | | Autor: | U-Gen |
[mm] \left|\sum_{i=1}^n~a_i\right| [/mm] = [mm] \left|a_1 + \sum_{i=2}^n~a_i \right| \geq \left| |a_1| - \left|\sum_{i=2}^n~a_i \right|\,\,\right|\ge |a_1| [/mm] - [mm] \left|\sum_{i=2}^n~a_i \right| \geq |a_1| [/mm] - [mm] \left|a_2 + \sum_{i=3}^n~a_i \right| \geq |a_1| [/mm] - [mm] |a_2 [/mm] + ... + [mm] a_n| [/mm]
[mm] \geq |a_1| [/mm] - [mm] |a_2| [/mm] - [mm] |a_3 [/mm] + ... + [mm] a_n| \geq |a_1| [/mm] - [mm] |a_2| [/mm] - [mm] |a_n| \geq -\sum_{i=1}^n~|a_i| [/mm] = [mm] |a_1| [/mm] - [mm] \sum_{i=2}^n~|a_i| [/mm]
wäre das richtig ?!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:16 Mi 07.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]\left|\sum_{i=1}^n~a_i\right| = \left|a_1 + \sum_{i=2}^n~a_i \right| \geq \left| |a_1| - \left|\sum_{i=2}^n~a_i \right|\,\,\right|\ge |a_1| - \left|\sum_{i=2}^n~a_i \right| [/mm]
> [mm] \geq |a_1|[/mm] - [mm]\left|a_2 + \sum_{i=3}^n~a_i \right| [/mm]
> [mm] \geq |a_1| - |a_2 + ... + a_n|[/mm]
Die letzten beiden Zeilen sind sogar exakt gleich!
> [mm]\geq |a_1| - |a_2| - |a_3 + ... + a_n| [/mm]
Dreiecksungleichung
> [mm] \geq |a_1| - |a_2| - |a_n| [/mm]
Das ist falsch, denn das würde bedeuten, dass immer [mm]|a_3 + ... + a_n|\le|a_n|[/mm] ist.
Du hast eigentlich schon bewiesen was du brauchst: die erste Unlgiechung, die du gezeigt hast, bedeutet doch, dass
[mm]\left|\sum_{i=2}^n~a_i \right|\le \sum_{i=2}^n~|a_i|[/mm].
Jetzt nimmst du dies mit (-1) mal und setzt ein.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:18 Mi 07.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
ein kleiner Nachtrag: es bietet sich an, die Aussagen mittels vollständiger Induktion zu beweisen.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Mi 07.11.2007 | | Autor: | U-Gen |
will das mit der ungleichung lernen, weil ich das noch nicht wirklich versteh.
ich soll doch nur zeigen das |a-b| [mm] \ge [/mm] |a| - |b| ist ?!
[mm] \left|\sum_{i=1}^n~a_i\right| [/mm] $ = $ [mm] \left|a_1 + \sum_{i=2}^n~a_i \right| [/mm]
[mm] \geq \left| |a_1| - \left|\sum_{i=2}^n~a_i \right|\,\,\right|
[/mm]
[mm] \ge |a_1| [/mm] - [mm] \left|\sum_{i=2}^n~a_i \right| [/mm]
[mm] \geq |a_1| [/mm] - [mm] \left|a_2 + \sum_{i=3}^n~a_i \right| [/mm]
[mm] \geq |a_1| [/mm] - [mm] |a_2 [/mm] + ... + [mm] a_n| [/mm]
So wie ich das jetzt versteh, wenn ich weiter rechnen würde bzw. wenn ich die Elemente weiter auseinanderziehen würde, komme ich auf :
[mm] \geq |a_1| [/mm] - [mm] |a_2| [/mm] - ... - [mm] |a_n| [/mm]
somit hätte ich ja jetzt scho mal die rechte Seite bewiesen, was für mich unklar ist, ist wie ich jetzt in die Summe mit der ich anfage ein Minus reinbekommen damit |a-b| rauskommt ?!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:34 Mi 07.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> will das mit der ungleichung lernen, weil ich das noch
> nicht wirklich versteh.
>
> ich soll doch nur zeigen das |a-b| [mm]\ge[/mm] |a| - |b| ist ?!
>
>
>
> [mm]\left|\sum_{i=1}^n~a_i\right|[/mm] [mm]=[/mm] [mm]\left|a_1 + \sum_{i=2}^n~a_i \right|[/mm]
>
> [mm]\geq \left| |a_1| - \left|\sum_{i=2}^n~a_i \right|\,\,\right|[/mm]
>
> [mm]\ge |a_1|[/mm] - [mm]\left|\sum_{i=2}^n~a_i \right|[/mm]
> [mm]\geq |a_1|[/mm] - [mm]\left|a_2 + \sum_{i=3}^n~a_i \right|[/mm]
> [mm]\geq |a_1|[/mm] - [mm]|a_2[/mm] + ... + [mm]a_n|[/mm]
>
>
> So wie ich das jetzt versteh, wenn ich weiter rechnen würde
> bzw. wenn ich die Elemente weiter auseinanderziehen würde,
> komme ich auf :
>
> [mm]\geq |a_1|[/mm] - [mm]|a_2|[/mm] - ... - [mm]|a_n|[/mm]
>
>
> somit hätte ich ja jetzt scho mal die rechte Seite
> bewiesen, was für mich unklar ist, ist wie ich jetzt in die
> Summe mit der ich anfage ein Minus reinbekommen damit |a-b|
> rauskommt ?!
Das habe ich nicht ganz verstanden. Meinst du, wie ich auf
[mm] |a+b|\ge\bigl||a|-|b|\bigr| \ge |a-b|[/mm]
komme?
Das ist wieder die Dreiecksungleichung: nimm [mm]c=-a[/mm] und [mm]d=a+b[/mm], dann gilt
[mm]|c|+|d| \ge |c+d|[/mm] oder [mm]|-a| +|a+b| \ge |b| \implies |a+b| \ge |b| - |a|[/mm].
Ebenso kann ich [mm]|a+b| \ge |a| - |b|[/mm] ableiten, zusammengenommen:
[mm]|a+b|\ge\bigl||a|-|b|\bigr| \ge |a-b|[/mm].
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:01 Mi 07.11.2007 | | Autor: | U-Gen |
Die Umformungen an sich sind mir ja alle klar. Ich versteh es nur nicht an der Aufgabe ...
Ich versteh nicht wie ich die -1 da einbauen soll und in welchem Schritt ...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:08 Do 08.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Die Umformungen an sich sind mir ja alle klar. Ich versteh
> es nur nicht an der Aufgabe ...
>
> Ich versteh nicht wie ich die -1 da einbauen soll und in
> welchem Schritt ...
Es gilt für beliebige a und b: [mm]|a+b|\ge|a|-|b|[/mm]. Daher:
[mm]\left|\summe_{i=1}^n a_i \right| = \Biggl| \underbrace{a_1\vphantom{\summe_{i=2}^n a_i }}_{a} + \underbrace{\summe_{i=2}^n a_i }_{b}\Biggr| = |a_1| - \left|\summe_{i=2}^n a_i\right|[/mm].
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:28 Do 08.11.2007 | | Autor: | U-Gen |
> $ [mm] \left|\sum_{i=1}^n~a_i\right| [/mm] $ = $ [mm] \left|a_1 + \sum_{i=2}^n~a_i \right| [/mm] $
>
> $ [mm] \geq \left| |a_1| - \left|\sum_{i=2}^n~a_i \right|\,\,\right| [/mm] $
>
> $ [mm] \ge |a_1| [/mm] $ - $ [mm] \left|\sum_{i=2}^n~a_i \right| [/mm] $
> $ [mm] \geq |a_1| [/mm] $ - $ [mm] \left|a_2 + \sum_{i=3}^n~a_i \right| [/mm] $
> $ [mm] \geq |a_1| [/mm] $ - $ [mm] |a_2 [/mm] $ + ... + $ [mm] a_n| [/mm] $
>
>
> So wie ich das jetzt versteh, wenn ich weiter rechnen würde
> bzw. wenn ich die Elemente weiter auseinanderziehen würde,
> komme ich auf :
>
> $ [mm] \geq |a_1| [/mm] $ - $ [mm] |a_2| [/mm] $ - ... - $ [mm] |a_n| [/mm] $
>
genau das hab ich doch hier auch gemacht ... jetzt versteh ich irgendwie gar nix mehr ...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:06 Do 08.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> genau das hab ich doch hier auch gemacht ... jetzt versteh
> ich irgendwie gar nix mehr ...
Ich verstehe deine Frage nicht. Kannst du bitte mal genau aufschreiben, was du nicht verstehst? Am besten, indem du alle Schritte nachvollziehst, solange es geht.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:55 Do 08.11.2007 | | Autor: | U-Gen |
ich soll ja zeigen,dass |a + b| [mm] \geq [/mm] ||a| - |b|| [mm] \geq [/mm] |a| - |b| ist ... dreiecksungleichung !
aber genau das hab ich doch scho gezeigt
> $ [mm] \left|\sum_{i=1}^n~a_i\right| [/mm] $ = $ [mm] \left|a_1 + \sum_{i=2}^n~a_i \right| [/mm] $
>
> $ [mm] \geq \left| |a_1| - \left|\sum_{i=2}^n~a_i \right|\,\,\right| [/mm] $
>
> $ [mm] \ge |a_1| [/mm] $ - $ [mm] \left|\sum_{i=2}^n~a_i \right| [/mm] $
bis dahin versteh ich das, nur was mach ich weiter um den beweis zu beenden ?!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:31 Do 08.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ich soll ja zeigen,dass |a + b| [mm]\geq[/mm] ||a| - |b|| [mm]\geq[/mm] |a| -
> |b| ist ... dreiecksungleichung !
>
> aber genau das hab ich doch scho gezeigt
>
> > [mm]\left|\sum_{i=1}^n~a_i\right|[/mm] = [mm]\left|a_1 + \sum_{i=2}^n~a_i \right|[/mm]
>
>
> >
> > [mm]\geq \left| |a_1| - \left|\sum_{i=2}^n~a_i \right|\,\,\right|[/mm]
>
> >
> > [mm]\ge |a_1|[/mm] - [mm]\left|\sum_{i=2}^n~a_i \right|[/mm]
>
>
> bis dahin versteh ich das, nur was mach ich weiter um den
> beweis zu beenden ?!
Du musst jetzt noch zeigen, dass
[mm] |a_1| - \left|\sum_{i=2}^n~a_i \right| \ge |a_1| - \sum_{i=2}^n~|a_i| \Longleftrightarrow - \left|\sum_{i=2}^n~a_i \right| \ge - \sum_{i=2}^n~|a_i| \Longleftrightarrow \left|\sum_{i=2}^n~a_i \right|\le \sum_{i=2}^n~|a_i|[/mm].
Die letzte Ungleichung hast du schon gezeigt.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Do 08.11.2007 | | Autor: | U-Gen |
[mm] |a_1| [/mm] - [mm] \left|\sum_{i=2}^n~a_i \right| \ge |a_1| [/mm] - [mm] \sum_{i=2}^n~|a_i| [/mm]
[mm] \Longleftrightarrow [/mm] - [mm] \left|\sum_{i=2}^n~a_i \right| \ge [/mm] - [mm] \sum_{i=2}^n~|a_i| [/mm]
[mm] \Longleftrightarrow [/mm] - [mm] ||a_2| [/mm] + [mm] |\sum_{i=3}^n~a_i|| \geq [/mm] - [mm] |a_2| [/mm] - [mm] \sum_{i=3}^n~|a_i|
[/mm]
[mm] \Longleftrightarrow [/mm] - [mm] |a_2| [/mm] + [mm] |\sum_{i=3}^n~a_i| \geq [/mm] - [mm] |a_2| [/mm] - [mm] \sum_{i=3}^n~|a_i|
[/mm]
[mm] \Longleftrightarrow |\sum_{i=3}^n~a_i| \geq [/mm] - [mm] \sum_{i=3}^n~|a_i|
[/mm]
...
[mm] \Longleftrightarrow |\sum_{i=n}^n~a_i| \geq [/mm] - [mm] \sum_{i=n}^n~|a_i|
[/mm]
[mm] \Longleftrightarrow |a_n| \geq [/mm] - [mm] |a_n|
[/mm]
ich hoffe ich habs jetzt richtig ...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:16 Do 08.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Du hast meine Antwort nicht verstanden. Du brauchst doch gar nichts mehr zu rechnen: die letzte Ungleichung meiner Antwort hast du doch in deiner ursprünglichen Frage schon gezeigt. Also bist du schon fertig.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Do 08.11.2007 | | Autor: | U-Gen |
sprich die drei zeilen sind der ganze beweis ?!
> > $ [mm] \left|\sum_{i=1}^n~a_i\right| [/mm] $ = $ [mm] \left|a_1 + \sum_{i=2}^n~a_i \right| [/mm] $
>
>
> >
> > $ [mm] \geq \left| |a_1| - \left|\sum_{i=2}^n~a_i \right|\,\,\right| [/mm] $
>
> >
> > $ [mm] \ge |a_1| [/mm] $ - $ [mm] \left|\sum_{i=2}^n~a_i \right| [/mm] $
das ist es ?!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:10 Do 08.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> sprich die drei zeilen sind der ganze beweis ?!
>
> > > [mm]\left|\sum_{i=1}^n~a_i\right|[/mm] = [mm]\left|a_1 + \sum_{i=2}^n~a_i \right|[/mm]
>
> >
> >
> > >
> > > [mm]\geq \left| |a_1| - \left|\sum_{i=2}^n~a_i \right|\,\,\right|[/mm]
>
> >
> > >
>
> > > [mm]\ge |a_1|[/mm] - [mm]\left|\sum_{i=2}^n~a_i \right|[/mm]
>
>
> das ist es ?!
Nein, du musst noch die andere Ungleichung einsetzen, die du schon bewiesen hast:
[mm]\left|\sum_{i=2}^n~a_i \right| \le \sum_{i=2}^n |a_i|[/mm]
Das ist dann Alles.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:32 Do 08.11.2007 | | Autor: | U-Gen |
Sry irgendwie reden wir an uns vorbei ... ich versteh immer noch net was du meinst ...
[mm] \left|\sum_{i=1}^n~a_i\right| [/mm] = [mm] \left|a_1 + \sum_{i=2}^n~a_i \right| [/mm]
[mm] \geq \left| |a_1| - \left|\sum_{i=2}^n~a_i \right|\,\,\right| [/mm]
[mm] \ge |a_1| [/mm] - [mm] \left|\sum_{i=2}^n~a_i \right| [/mm]
soll ich einfach nur darunter setzen
[mm] \left|\sum_{i=2}^n~a_i \right| \le \sum_{i=2}^n |a_i| [/mm]
tut mir leid falls ich mich echt dumm anstelle ....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:24 Fr 09.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
In der Aufgabe sollst du doch zeigen, dass
a) [mm]\left|\sum_{i=1}^n~a_i\right| \le \sum_{i=1}^n |a_i|[/mm]
und
b) [mm]\left|\sum_{i=1}^n~a_i\right| \ge |a_1| - \sum_{i=2}^n |a_i|[/mm]
Den Teil a) hast du selber gezeigt. Aus a) folgt:
(*) [mm] - \left|\sum_{i=2}^n~a_i\right| \ge - \sum_{i=2}^n |a_i|[/mm].
Zum Beweis von b) wendest du zunächst die Dreiecksungleichung an:
> [mm]\left|\sum_{i=1}^n~a_i\right|[/mm] = [mm]\left|a_1 + \sum_{i=2}^n~a_i \right|[/mm]
>
> [mm]\geq \left| |a_1| - \left|\sum_{i=2}^n~a_i \right|\,\,\right|[/mm]
>
> [mm]\ge |a_1|[/mm] - [mm]\left|\sum_{i=2}^n~a_i \right|[/mm]
Und jetzt (*) einsetzen, dann steht da die Behauptung.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
