Ungleichung mit arccos < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:17 Do 15.04.2010 | | Autor: | petzimuh |
Hallo!
Ich stehe wiedermal vor einem Rätsel:
Ich soll versuchen zu zeigen, dass
[mm] arccos(3-\bruch{2}{cos^2(s/2)}) [/mm] - [mm] 3*arccos(3-\bruch{2}{cos^2(s/6)}) [/mm] > 0 bzw. maximal =0 für 0 < s < [mm] \pi/2 [/mm] gilt.
Es ist wiedermal nur eine Vermutung. Ich bräuchte den Beweis für meine Diplomarbeit. Ich habe mir in Mathematica den Graphen zeichnen lassen...und in der Nähe von Null ist es ziemlich knapp. Es sieht zwar nicht aus, als wäre es wo negativ, aber jetzt soll ich das eben zeigen. (wenn möglich)
Nur leider steh ich mit der arccos-Funktion nun total an.
Habt ihr eine Idee?
Vielen Dank!
und Liebe Grüße,
Petra
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:02 Fr 16.04.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Petra!
> Ich stehe wiedermal vor einem Rätsel:
> Ich soll versuchen zu zeigen, dass
>
> [mm]\arccos(3-\bruch{2}{\cos^2(s/2)}) - 3*\arccos(3-\bruch{2}{\cos^2(s/6)}) > 0[/mm] bzw. maximal =0 für [mm] 0 < s < \pi/2[/mm] gilt.
>
> Es ist wiedermal nur eine Vermutung. Ich bräuchte den
> Beweis für meine Diplomarbeit. Ich habe mir in Mathematica
> den Graphen zeichnen lassen...und in der Nähe von Null ist
> es ziemlich knapp. Es sieht zwar nicht aus, als wäre es wo
> negativ, aber jetzt soll ich das eben zeigen. (wenn
> möglich)
> Nur leider steh ich mit der arccos-Funktion nun total an.
> Habt ihr eine Idee?
Zwei Dinge springen mir sofort ins Auge:
1. ist der Ausdruck für $s=0$ gleich 0, weil er dann [mm] $-2\arccos [/mm] 1 = 0$ ist.
2. würde ich mittels
[mm] \cos^2 x = \bruch{1}{2} (1+\cos x) [/mm]
die Quadrate der Cosinusfunktion ersetzen.
Dann hast du
[mm] \arccos(3-\bruch{4}{1+\cos s}) - 3 \arccos(3-\bruch{4}{1+\cos(s/3)}) [/mm],
was etwas einfacher zu handhaben ist.
Du willst zeigen, dass dies im angegebenen Intervall [mm] 0 < s < \pi/2[/mm] nicht negativ ist, oder dass
[mm] \arccos(3-\bruch{4}{1+\cos s}) \ge 3 \arccos(3-\bruch{4}{1+\cos(s/3)}) [/mm]
ist.
Überlege dir erst einmal, dass für [mm] 0 < s < \pi/2[/mm] sowohl die rechte wie auch die linke Seite streng monotone Funktionen von s sind: zum Beispiel ist [mm] $\cos [/mm] s$ eine streng monoton fallende Funktion und damit auch
[mm] 3-\bruch{4}{1+\cos s} [/mm].
Weiter ist
[mm] 1 \ge 3-\bruch{4}{1+\cos s} \ge -1 [/mm],
und da der Arcuscosinus im Interval $[-1,1]$ streng monoton fallend ist, ist
[mm] \arccos(3-\bruch{4}{1+\cos s}) [/mm]
streng monoton steigend.
Das gleiche gilt für die rechte Seite, und daher darfst du auf beiden Seiten den Cosinus anwenden und bekommst folgende nachzuweisende Ungleichung:
[mm] 3-\bruch{4}{1+\cos s} \le \cos\left( 3 \arccos(3-\bruch{4}{1+\cos(s/3)}) \right) [/mm]
Hier kannst du die rechte Seite mit dem Additionstheorem für dreifache Winkel vereinfachen:
[mm] \cos (3x) = \cos^3 x - 3 \cos x \sin^2 x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x [/mm] ,
und daher
[mm] \cos\left( 3 \arccos(3-\bruch{4}{1+\cos(s/3)})\right) = 4 (3-\bruch{4}{1+\cos(s/3)})^3 - 3 (3-\bruch{4}{1+\cos(s/3)}) [/mm] .
Damit müsstest du weiterkommen.
Viele Grüße
Rainer
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