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| Aufgabe | Man bestimme für die Ungleichung die Lösungsmenge:
[mm]ln(x)-2ln(2-x)+ln(2x)>ln3[/mm]
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Ich habe das jetzt soweit umgeformt, dass folgendes stehen bleibt:
[mm]ln\left(\bruch{2x^2}{2-x^2} \right) >ln3[/mm], dann das ganze [mm]e^()[/mm]
[mm]\bruch{2x^2}{2-x^2} >3[/mm]
Aber wie geht es jetzt weiter? Oder ist das ein völlig falscher Ansatz?
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Hi, magic,
> Man bestimme für die Ungleichung die Lösungsmenge:
> [mm]ln(x)-2ln(2-x)+ln(2x)>ln3[/mm]
>
> Ich habe das jetzt soweit umgeformt, dass folgendes stehen
> bleibt:
> [mm]ln\left(\bruch{2x^2}{2-x^2} \right) >ln3[/mm], dann das ganze
> [mm]e^()[/mm]
> [mm]\bruch{2x^2}{2-x^2} >3[/mm]
VOR jeder Umformung mit Logarithmus-Termen steht die Ermittlung der
[mm] \red{DEFINITIONSMENGE} [/mm] !!!!
Hier also: x > 0 [mm] \quad \wedge \quad [/mm] (2-x) > 0 [mm] \quad \wedge \quad [/mm] 2x > 0
Daraus: x > 0 [mm] \quad \wedge \quad [/mm] x < 2
und somit: D = ] 0 ; 2 [
Dann erst (und NIEMALS VORHER!!!) kommt Deine Umformung!
Die aber ist OK, da die ln-Funktion eine echt monoton zunehmende Funktion ist!
Für den oben ermittelten Definitionsbereich ist der Nenner Deines Bruchterms positiv.
Daher kannst Du (ohne Fallunterscheidung) multiplizieren und dann nach x auflösen.
Schaffst Du das?
mfG!
Zwerglein
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Wow Danke, das ging ja schnell mit der Antwort. Das sieht manchmal schwerer aus, als es eigentlich ist.
Da müsste als Ergebnis [mm]\left|\wurzel{\bruch{6}{5}}\right|
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:32 Mo 26.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo magic1980!
Da hat Zwerglein aber einen Fehler übersehen.
Im Nenner des [mm] $\ln(...)$ [/mm] muss es heißen: [mm] $\ln\left[\bruch{2x^2}{\red{(x-2)^2}}\right] [/mm] \ > \ [mm] \ln(3)$
[/mm]
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:40 Mo 26.02.2007 | | Autor: | TanjaH |
Hallo,
> Hallo magic1980!
>
>
> Da hat Zwerglein aber einen Fehler übersehen.
>
> Im Nenner des [mm]\ln(...)[/mm] muss es heißen:
> [mm]\ln\left[\bruch{2x^2}{\red{(x-2)^2}}\right] \ > \ \ln(3)[/mm]
>
oder:
[mm] $\ln\left[\bruch{2x^2}{\red{(2-x)^2}}\right]\ [/mm] > \ [mm] \ln(3)$
[/mm]
Gruß
Tanja
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:13 Mo 26.02.2007 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Loddar,
stimmt!
Danke, Kumpel!
mfG!
Zwerglein
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Okay stimmt, das macht die Sache dann wieder etwas komplizierter.
Wenn ich dann mit dem Nenner multipliziere und dann weiter umforme müsste es ja dann so gehen:
[mm]0>x^2-12x-12[/mm]
dann quadratische Ergänzung, weiter umformen und Wurzel ziehen:
[mm]\wurzel{48}>|(x-6)|[/mm]
Ist das korrekt?
Aber wenn ich das in Maple eingebe, kommt da was ganz Anderes raus :(
RealRange(Open(6-2*6^(1/2)),Open(2))
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Hi, magic,
diesmal pass' ich besser auf, sonst jubelt mir der Loddar wieder was unter!
Also: D = ]0 ; 2 [ stimmt jedenfalls!
> Wenn ich dann mit dem Nenner multipliziere und dann weiter
> umforme müsste es ja dann so gehen:
> [mm]0>x^2-12x-12[/mm]
Also: Da ist ein Vorzeichenfehler drin!
Es müsste heißen: [mm] 0>x^2-12x+12 [/mm] bzw. [mm] x^2-12x+12 [/mm] < 0
> dann quadratische Ergänzung, weiter umformen und Wurzel
> ziehen:
> [mm]\wurzel{48}>|(x-6)|[/mm]
> Ist das korrekt?
Dann natürlich: |x - 6| < [mm] \wurzel{24}
[/mm]
oder: 6 - [mm] \wurzel{24} [/mm] < x < 6 + [mm] \wurzel{24}
[/mm]
Unter Berücksichtigung der Definitionsmenge ergibt sich dann:
6 - [mm] \wurzel{24} [/mm] < x < 2
> Aber wenn ich das in Maple eingebe, kommt da was ganz
> Anderes raus :(
> RealRange(Open(6-2*6^(1/2)),Open(2))
Was wiederum dasselbe ist, denn statt [mm] \wurzel{24} [/mm]
könnte man ja auch schreiben: [mm] 2*\wurzel{6}.
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:42 Mo 26.02.2007 | | Autor: | magic1980 |
Aaah, das mit den Vorzeichen passiert mir ständig. Aber ich war ja schon auf dem richtigen Weg.
Danke Euch allen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:47 Mo 26.02.2007 | | Autor: | Loddar |
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> diesmal pass' ich besser auf, sonst jubelt mir der Loddar wieder was unter!
![[baeh]](/images/smileys/baeh.gif "[baeh]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:58 Mo 26.02.2007 | | Autor: | Loddar |
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... wusste ich, dass hier noch irgendwas kommt? ![[laugh]](/images/smileys/laugh.gif "[laugh]")
Gruß
Loddar
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![[old]](/images/smileys/old.gif "[old]"){kind=small}
