Ungleichung mit ln und e < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:13 Sa 15.05.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichungen:
a) [mm]|e-|ln(x^{e})||\ge e[/mm]
b) [mm]|e-|ln(x^{e})|| |
Hallo liebes Vorhilfe-Forum-Team,
ich weiß ja, Ungleichungen sollte man sicher ganz leicht lösen können, aber irgendwie hat man vergessen, mir das in der Schule beizubringen und so tue ich mich generell noch etwas schwer damit.
Bei obiger Aufgabe erschwert der ln und die e-Funktion noch mein Verständnis... überall dieses doofe e und ich seh einfach nicht durch.
Vielleicht könnte mir jemand mal Aufgabe a einfach und verständlich erklären und vormachen und ich versuche mich dann analog an b?
Liebe Grüße, Sam
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
> Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichungen:
> a) [mm]|e-|ln(x^{e})||\ge e[/mm]
> b) [mm]|e-|ln(x^{e})||
> Hallo liebes Vorhilfe-Forum-Team,
>
> ich weiß ja, Ungleichungen sollte man sicher ganz leicht
> lösen können, aber irgendwie hat man vergessen, mir das
> in der Schule beizubringen und so tue ich mich generell
> noch etwas schwer damit.
Zu a):
Zunächst kannst du die gesamte Gleichung durch e teilen! Damit verschwindet überall das böse e 
Dies geht, weil du das Logarithmengesetz anwenden kannst: [mm] $\ln(x^{e}) [/mm] = [mm] e*\ln(x)$. [/mm] Also:
[mm] $|e-|ln(x^{e})||\ge [/mm] e$
[mm] $\Rightarrow |e-|e*ln(x)||\ge [/mm] e$
e ist positiv, also:
[mm] $\Rightarrow e*|1-|ln(x)||\ge [/mm] e$
[mm] $\Rightarrow |1-|ln(x)||\ge [/mm] 1$
Jetzt machen wir folgendermaßen weiter: Wir haben im Grunde eine Ungleichung der Form
$|1-a| [mm] \ge [/mm] 1$
vorliegen. Wann ist diese Ungleichung erfüllt? Für welche a? Male es dir auf einem Zahlenstrahl auf: Es geht darum, welche Zahlen a von "1" einen Abstand größergleich 1 haben.
Nun bedenke, dass bei uns $a = [mm] |\ln(x)| \ge [/mm] 0$ ist. Was können wir also als Bereich für a ausschließen?
Welche Ungleichung bleibt übrig? Was ist dessen Lösung?
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:14 So 16.05.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
Hallo,
so ganz konnte ich dir leider nciht folgen. Mein Verständnis endet an folgendem Punkt:
[mm]|1-|ln(x)||\ge 1[/mm] (Gleichung durch e geteilt)
> e ist positiv:
Was tut das zur Sache? Also was habe ich davon?
> [mm]|1-a| \ge 1[/mm]
Das kann ich noch nachvollziehen, wobei a für den ln steht.
Aber 1-ln größer gleich 1 geht doch eigentlich nur, wenn der ln Null ist?!
> Nun bedenke, dass bei uns [mm]a = |\ln(x)| \ge 0[/mm] ist.
Das heißt eigentlich, dass der ln größer als Null sein muss und das ist er genau dann, wenn x>1.
Grüße, Sam
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:42 So 16.05.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
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> so ganz konnte ich dir leider nciht folgen. Mein
> Verständnis endet an folgendem Punkt:
> [mm]|1-|ln(x)||\ge 1[/mm] (Gleichung durch e geteilt)
>
> > e ist positiv:
> Was tut das zur Sache? Also was habe ich davon?
Bei Multiplikation oder Division einer Ungleichung mit einer negativen Zahl würde sich das Relationszeichen umdrehen.
Beispiel:
2<6
Division beider Seiten durch (-2)
-1 ??? -3
Natürlich gilt nicht -1 < -3, sondern -1> -3.
Gruß Abakus
>
> > [mm]|1-a| \ge 1[/mm]
> Das kann ich noch nachvollziehen, wobei a
> für den ln steht.
> Aber 1-ln größer gleich 1 geht doch eigentlich nur, wenn
> der ln Null ist?!
>
> > Nun bedenke, dass bei uns [mm]a = |\ln(x)| \ge 0[/mm] ist.
> Das heißt eigentlich, dass der ln größer als Null sein
> muss und das ist er genau dann, wenn x>1.
>
> Grüße, Sam
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Hiho,
> Hallo,
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> so ganz konnte ich dir leider nciht folgen. Mein
> Verständnis endet an folgendem Punkt:
> [mm]|1-|ln(x)||\ge 1[/mm] (Gleichung durch e geteilt)
>
> > e ist positiv:
> Was tut das zur Sache? Also was habe ich davon?
Das hat ja abakus schon erklärt.
> > [mm]|1-a| \ge 1[/mm]
> Das kann ich noch nachvollziehen, wobei a
> für den ln steht.
> Aber 1-ln größer gleich 1 geht doch eigentlich nur, wenn
> der ln Null ist?!
Nein, was ist denn, wenn der ln negativ oder eine große positive Zahl ist?
Was passiert dann?
Insofern mache eine saubere Fallunterscheidung, d.h überlege dir genau, wann der Betrag einer Zahl [mm] \ge [/mm] 1 ist, also für welche z ist |z| [mm] \ge [/mm] 1 (2 Fälle) und setze dann z = 1 - ln(x) und du hast 2 Fälle für 1-ln(x) die du getrennt betrachten kannst.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 So 16.05.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
Hallo,
bin jetzt so wie ![[]](/images/popup.gif) hier vorgegangen.
D.h.
1. Fall [mm] 1-a \ge 0[/mm]
-> [mm] 1 \ge a[/mm]
In eigentliche Gleichung: [mm] 0 \ge a[/mm]
Lösung: [mm] 1 \ge 0 \ge a[/mm]
2. Fall [mm] 1-a < 0[/mm]
-> [mm] 1 < a[/mm]
In eigentliche Gleichung: [mm] 0 \ge a[/mm]
Lösung: [mm] 0 \ge a \ge 1[/mm]
Widerspruch: a kann nicht gleichzeitig größer als 1 und
kleiner als Null sein.
Daraus folgt: Nur Fall 1 bringt Lösungsmenge, d.h.
a ist kleiner gleich Null.
Und d.h., dass ln(x) auch kleiner gleich Null ist.
Wie geht es jetzt weiter?
Oder hab ich bis hierhin auch schon wieder was falsch gemacht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:09 So 16.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sam Nat!
Du solltest alles sauber aufschreiben ...
Fall 1: $1-a \ [mm] \ge [/mm] \ 0 \ \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ \ |1-a| \ = \ 1-a$
[mm] $$\begin{matrix}
\Rightarrow & 1-a \ \ge \ 1 & \text{in Ausgangsungleichung eingesetzt} \\
\gdw & a \ \le \ 0 & \text{umgestellt} \\
\Rightarrow & \left|\ln(x)| \ \le \ 0 & \\
\Rightarrow & \ln(x) \ = \ 0 & \\
\gdw & x \ = \ 1 &
\end{matrix}$$
[/mm]
Und nun Du für den Fall 2 mit $1-a \ < \ 0$ ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 So 16.05.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
Hallo,
danke für deine Hilfe, aber schade, dass du nicht gesehen hast, dass ich mich bemüht hatte, es sauber aufzuschreiben.
Und für den ersten Fall bin ich auch bis hierher quasi gekommen:
> [mm]\ln(x)| \ \le \ 0 & \\[/mm]
Kleiner Null betrachten wir nicht, da das nicht möglich ist oder wie?!
Fall 2
[mm]1-a \ < \ 0 \ \ \Rightarrow \ \ 1 \ < \ a[/mm]
In Ausgangsgleichung einsetzen:
[mm]1-a \ \ge \ 1 \ \ \Rightarrow \ \ 0 \ \ge \ a[/mm]
Ab diesem Punkt braucht man nicht mehr weiter zu machen, da ja eben a nicht kleiner als Null und dennoch größer als 1 sein kann. Dem entsprechend gibt uns dieser Fall keine Lösungsmenge.
Fazit: Die Lösung der Ungleichung wärde x=1 ?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:24 So 16.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sam Nat!
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Bedenke, dass gilt:
$$1-a \ < \ \ \ \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ \ \ |1-a| \ = \ -(1-a) \ = \ a-1$$
[mm] $$\Rightarrow [/mm] \ \ a-1 \ [mm] \ge [/mm] \ 1$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:27 So 16.05.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
Upps stimmt, das habe ich nicht beachtet.
Dann erhalte ich bei der Vorbetrachtung a < 1
und dann in der richtigen Gleichung
[mm]a\ge2[/mm]
Ist das dann aber nicht auch wieder ein Widerspruch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:28 So 16.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sam Nat!
Aus $1-a \ < \ 0$ folgt doch $1 \ [mm] \red{<} [/mm] \ a$ .
Also kein Widerspruch zu $a \ [mm] \ge [/mm] \ 2$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:34 So 16.05.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
Das stimmt, aber ich hatte dich so verstanden, dass ich zu betrachten hatte:
-(1-a)<0
-1+a<0
a<1
?! Kannst du mir erklären, was ich hier falsch gedacht habe?!
Ansonsten, wenn es kein Widerspruch ist, dann gilt a größer gleich 2, also:
[mm]|ln(x)\ge2[/mm]
Und nun nach x auflösen, richtig?
Liebe Grüße, Sam
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:55 So 16.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sam!
Die erste Unterscheidung ist doch stets, um hier die Betragsstriche zu entfernen. Dafür muss man unterscheiden, wann das Argument zwischen den Betrgasstrichen größer-gleich Null ist oder kleiner Null.
Entsprechend wird dann die Definition der Betragsfunktion angesetzt:
$$|z| \ := \ [mm] \begin{cases} -z, & \mbox{für } z \ < \ 0 \\ +z, & \mbox{für } z \ \ge \ 0 \end{cases}$$
[/mm]
Genauso nun im 2. Fall mit $1-a \ < \ 0 \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ a \ > \ 1$ .
Damit wird nämlich gemäß obige Definition:
$$|1-a| \ = \ -(1-a) \ = \ a-1$$
Und das setzen wir nun in die Ausgangsungleichung ein:
[mm] $$\red{|1-a|} [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 1$$
[mm] $$\Rightarrow [/mm] \ [mm] \red{a-1} [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 1$$
Nun klar(er)?!?
> Ansonsten, wenn es kein Widerspruch ist, dann gilt a
> größer gleich 2, also:
> [mm]|ln(x)\ge2[/mm]
> Und nun nach x auflösen, richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 So 16.05.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
Hallo,
> Genauso nun im 2. Fall mit [mm]1-a \ < \ 0 \ \ \gdw \ \ a \ > \ 1[/mm]
Also wird hier direkt aber noch nicht mit Betrag gearbeitet, sondern wirklich nur 1-a<0 -> 1<a
und der Betrag kommt dann erst bei der Ausgangsgleichung zur Geltung (das hatte ich da ja dann auch mit der 2 als Ergebnis beachtet).
Mit welchem Gesetz lässt sich nun der Logarithmus auflösen? Laut Näherung muss das x>7 sein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:03 So 16.05.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
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> > Genauso nun im 2. Fall mit [mm]1-a \ < \ 0 \ \ \gdw \ \ a \ > \ 1[/mm]
> Also wird hier direkt aber noch nicht mit Betrag
> gearbeitet, sondern wirklich nur 1-a<0 -> 1<a
> und der Betrag kommt dann erst bei der Ausgangsgleichung
> zur Geltung (das hatte ich da ja dann auch mit der 2 als
> Ergebnis beachtet).
>
> Mit welchem Gesetz lässt sich nun der Logarithmus
> auflösen? Laut Näherung muss das x>7 sein.
Das klingt nach [mm] e^2 [/mm] ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 So 16.05.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
Wow ja, das passt genau!
Mhm... vielleicht sollte man das wieder umschreibe oder so?
lnx>2 mal e
e*lnx > 2e
[mm] ln(x^e) [/mm] >2e
... ne das bringt och nix...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:37 So 16.05.2010 | | Autor: | abakus |
> Wow ja, das passt genau!
>
> Mhm... vielleicht sollte man das wieder umschreibe oder
> so?
>
> lnx>2 mal e
> e*lnx > 2e
> [mm]ln(x^e)[/mm] >2e
> ... ne das bringt och nix...
Aus "linke Seite > rechte Seite" folgt
"e hoch linke Seite" > "e hoch rechte Seite".
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 So 16.05.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
Und wie komme ich dazu, dass das e^... wird?
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> Und wie komme ich dazu, dass das e^... wird?
wenn da stehen würde [mm] x^2>4 [/mm] würdest du ja auch die wurzel ziehen (=umkehrfunktion), wobei man hier noch eine fallunterscheidung machen müsste.
nun hast du ln(x)>2 und willst nach x auflösen, also werden beide seiten mit der e-funktion verknüpft:
[mm] \gdw e^{ln(x)}>e^2
[/mm]
[mm] \gdw x>e^2
[/mm]
beachten muss man noch, dass sich das vorzeichen nicht umdreht, da die e-funktion streng monoton wächst
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 So 16.05.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
Damit ist die gesamte Lösungsmenge für Aufgabe a) alle x die größer gleich [mm] e^2 [/mm] sind, richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:08 So 16.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sam!
Wir hatten im Fall 1 noch die Lösung [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 1$ ermittelt.
Und auch im Fall 2 gibt es die weiteren Lösungen mit $x \ [mm] \le [/mm] \ [mm] e^{-2}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 So 16.05.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
Mhm, mir ist so (siehe auch den Link weiter oben), dass man die Lösungsmenge der beiden Fälle vereinigen muss.
Da der zweite Fall die x=1 nicht enthält, dachte ich, wäre die gesamte Lösungsmenge dann alle x, die größer als [mm] e^2 [/mm] sind... Was habe ich denn nun wieder nicht so ganz verstanden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:18 So 16.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sam!
Da hast Du Recht mit "vereinigen" der Lösungsmengen der beiden Fälle.
Dies bedeutet aber auch, dass beide Lösungsmengen gelten.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 So 16.05.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
Achso, also dann x=1 UND [mm] x>e^2 [/mm] ist Lösungsmenge?!
Hab wohl Lösungs- und Schnittmenge vertauscht...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 So 16.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sam!
> Achso, also dann x=1 UND [mm]x>e^2[/mm] ist Lösungsmenge?!
... UND $x \ < \ [mm] \bruch{1}{e^2}$ [/mm] !
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 So 16.05.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
Wieso denn das auch?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 So 16.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sam!
Die Ungleichung [mm] $\left| \ \ln(x) \ \right| [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 2$ hat zwei Lösungsbereiche:
[mm] $$+\ln(x) [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 2$$
und
[mm] $$-\ln(x) [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 2$$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:18 So 16.05.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
Ach so...
Danke. Das war mir nicht so deutlich...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:46 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
Hallo,
noch eine letzte Nachfrage. Eientlich dachte ich, ich hätte es langsam kapiert (hab geübt), aber eines ist mir nach wie vor nicht ganz klar:
[mm] \Rightarrow & \left|\ln(x)| \ \le \ 0 & \\[/mm]
[mm] \Rightarrow & \ln(x) \ = \ 0 & \\[/mm]
Warum wird 0>lnx nicht betrachtet?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sam!
Du ignorierst hier die Betragsstriche. Die Betragsfunktion ist immer positiv, höchstens Null.
Und die Betragsfunktion ist genau dann gleich Null, wenn auch das Argument der Funktion gleich Null ist.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:02 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
Hallo Loddar,
> Du ignorierst hier die Betragsstriche. Die Betragsfunktion
> ist immer positiv, höchstens Null.
Das stimmt... ich ignorier die Betragsstriche wohl zu oft.
Letzte Frage zu dieser Aufgabe:
Ist das so richtig:
[mm]L=\{x | x=1 \wedge e^2\le x \wedge \bruch{1}{e^2}
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:50 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sam!
> [mm]L=\{x | x=1 \wedge e^2\le x \wedge \bruch{1}{e^2}
Das letzte Ungleichheitszeichen gehört umgedreht.
Und aus den [mm] "$\wedge$" [/mm] sollten [mm] "$\vee$" [/mm] werden.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:51 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
Dankeschön!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 So 16.05.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
Füür Aufgabe b) stelle ich ebenfalls so um, dass ich folgendes erhalte: [mm]|1-|lnx||<1[/mm]
Nun mache ich wieder diese lnx=a Geschichte und betrachte 2 Fälle.
Fall 1
[mm]|1-a|<0[/mm]
Dann: 1<a
Für die Ausgangsgleichung gilt:
[mm]|1-a|<1[/mm]
[mm]|0
Daraus folgt: 0<1<a
Dem entsprechend suche ich nun
[mm]|lnx|>1[/mm]
Oder?!
Fall 2
[mm]|1-a|<0[/mm]
Dann: 1<a
Für die Ausgangsgleichung gilt:
[mm]|1-a|<1[/mm]
[mm]-(1-a)<1[/mm]
[mm]-1+a<1[/mm]
[mm]|a<2[/mm]
Daraus folgt: 1<2<a
Dem entsprechend suche ich nun
[mm]|lnx|>2[/mm]
Oder?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 So 16.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sam!
Grundsätzlich musst Du hier exakt dieselben Wert / Grenzen der Lösungsintervalle erhalten wie bei der anderen Aufgabe. Nur halt mit umgekehrten Ungleichheitszeichen.
> Aufgabe b
> Für Aufgabe b) stelle ich ebenfalls so um, dass ich
> folgendes erhalte: [mm]|1-|lnx||<1[/mm]
>
> Nun mache ich wieder diese lnx=a Geschichte und betrachte 2 Fälle.
> Fall 1
> [mm]|1-a|<0[/mm]
Das geht nicht: die Betragsfunktion ist immer positiv, höchstens gleich Null!
Du musst hier unterscheiden in:
$$1-a \ [mm] \ge [/mm] \ 0$$
sowie
$$1-a \ < \ 0$$
Dementsprechend ist dann gemäß Definition der Betragsfunktion das Vorzeichen zu setzen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 So 16.05.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
> Das geht nicht: die Betragsfunktion ist immer positiv,
> höchstens gleich Null!
Okay! Registriert!
>
> Du musst hier unterscheiden in:
> [mm]1-a \ \ge \ 0[/mm]
> sowie
> [mm]1-a \ < \ 0[/mm]
> Dementsprechend ist dann gemäß Definition
> der Betragsfunktion das Vorzeichen zu setzen.
Und was sagst du zu dem Rest?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:27 So 16.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sam!
> Und was sagst du zu dem Rest?
Fall 1 solltest Du nochmal überdenken, da habe sich einige Zahlendreher / Ungleichheitszeichendreher eingeschlichen.
Fall 2 ist zwar nicht sauber aufgeschrieben (sihe dazu auch oben), aber Du scheinst das Richtige zu meinen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 So 16.05.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
In Kurzform
Fall 1
Man betrachtet für den ersten Fall 1-a<0 --> 1<a
Danach betrachtet man die Ausgangsgleichung (mit Betrag), wobei der quasi positiv ist und erhält dann
1-a<1 -> -a<0 bzw. 0<a.
Fall 2
Man betrachtet für den zweiten Fall 1-a>0 --> 1>a (größer gleich)
Danach betrachtet man die Ausgangsgleichung (mit Betrag), wobei der quasi nun das Vorzeichen umdreht und damit erhält man:
-1+a<1 -> a<2
Stimmen denn die Zahlen so?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:21 So 16.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sam1
Ja, die zhalen stimmen so. Nun musst Du nur noch die beiden Teillössungsmengen formulieren und diese vereinigen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 So 16.05.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
Hallo Loddar,
naja, erstmal muss ich ja jetzt noch den ln(x) wieder irgendwie auflösen... oder nicht?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:28 So 16.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sam!
Ganz genau. Und nicht nur [mm] $\ln(x)$ [/mm] sondern [mm] $\left|\ln(x)\right|$ [/mm] .
Und das analog zur anderen Teilaufgabe ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
Hallo,
ich habe jetzt versucht alles erneut sauber und allein zu rechnen und folgendes fällt mir auf (ist das nicht falschrum):
> Fall 1
> Man betrachtet für den ersten Fall 1-a<0 --> 1<a
>
> Danach betrachtet man die Ausgangsgleichung (mit Betrag),
> wobei der quasi positiv ist und erhält dann
> 1-a<1 -> -a<0 bzw. 0<a.
Dreht man nicht HIER die Vorzeichen um?!
>
> Fall 2
> Man betrachtet für den zweiten Fall 1-a>0 --> 1>a
> (größer gleich)
>
> Danach betrachtet man die Ausgangsgleichung (mit Betrag),
> wobei der quasi nun das Vorzeichen umdreht und damit
> erhält man:
> -1+a<1 -> a<2
Und hätte man hier nicht das VZ gelassen?
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> Hallo,
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> ich habe jetzt versucht alles erneut sauber und allein zu
> rechnen und folgendes fällt mir auf (ist das nicht
> falschrum):
>
> > Fall 1
> > Man betrachtet für den ersten Fall 1-a<0 --> 1<a
> >
> > Danach betrachtet man die Ausgangsgleichung (mit Betrag),
> > wobei der quasi positiv ist und erhält dann
> > 1-a<1 -> -a<0 bzw. 0<a.
> Dreht man nicht HIER die Vorzeichen um?!
>
> >
> > Fall 2
> > Man betrachtet für den zweiten Fall 1-a>0 --> 1>a
> > (größer gleich)
> >
> > Danach betrachtet man die Ausgangsgleichung (mit Betrag),
> > wobei der quasi nun das Vorzeichen umdreht und damit
> > erhält man:
> > -1+a<1 -> a<2
> Und hätte man hier nicht das VZ gelassen?
Hallo,
ich glaube, Du verwechselst etwas.
Wenn man eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert oder durch eine neg. Zahl teilt, dreht man das Vorzeichen um:
Wenn ich 1-a<1 mit -1 multipliziere, erhalte ich -1+a > -1.
Beim Addieren und subtrahieren hingegen wird nichts gedreht.
Subtrahiere ich in 1-a<1 die 1, dann habe ich -a<0. Multiplikation mit -1 macht mir a>0.
Wenn ich -1+a<1 habe und 1 addiere, bekomme ich a<2, denn beim Addieren wird nichts gedreht.
War's das?
(Studierst Du Bio?)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
Hallo,
danke für die Antwort, aber das war micht mein Problem!
Meine Frage war, ob es analog zu Aufgabe 1 nicht so heißen müsste:
Fall 1
[mm] 1-a \ge 0 \Rightarrow 1 \ge a [/mm]
Damit gilt für die Ungleichung:
[mm] 1-a < 1[/mm]
[mm] 0 < a[/mm]
usw.
Fall 2
[mm] 1-a < 0 \Rightarrow 1 < a [/mm]
Damit gilt für die Ungleichung:
[mm] -1+a < 1[/mm]
[mm] a < 2[/mm]
usw.
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> Hallo,
>
> danke für die Antwort, aber das war micht mein Problem!
> Meine Frage war, ob es analog zu Aufgabe 1 nicht so
> heißen müsste:
Achso.
Du willst gerade | 1- |ln(x)| |< 1 lösen, hast zu diesem Zwecke erstmal a:=|ln(x)| gesetzt, und nun möchtest Du wissen, welche a die Gleichung |1-a|<1 lösen.
Richtig zusammengefaßt?
>
> Fall 1
> [mm]1-a \ge 0 \Rightarrow 1 \ge a[/mm]
> Damit gilt für die
> Ungleichung:
> [mm]1-a < 1[/mm]
> [mm]0 < a[/mm]
> usw.
Ja.
Du hast hier jetzt erhalten, daß die Ungleichung für [mm] 0
>
> Fall 2
> [mm]1-a < 0 \Rightarrow 1 < a[/mm]
> Damit gilt für die
> Ungleichung:
> [mm]-1+a < 1[/mm]
> [mm]a < 2[/mm]
> usw.
Genau. Die a mit 1<a<2 lösen die Ungleichung.
Insgesamt hast Du herausgefunden, daß für 0<a<2 die Ungleichung erfüllt wird, und nun mußt Du darüber nachdenken, für welche x gilt
0< |ln(x)| < 2.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
Hallo,
das weiß ich doch! Mir war wichtig, ob die Fallunterscheidung jetzt so stimmt, denn vorher hab ich sie m-M nach falsch gemacht. Aber du hast bei beiden nix gesagt... ich nehme jetzt aber einfach mal an, dass die letzte Fallunterscheidung die richtige war...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
o<ln<2
erfüllen ...
x>1 -> lnx >0
mit der 2 ist es ja eigentlich genau dasselbe Ergebnis wie bei azufgabe 1?!
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> o<ln<2
Hallo,
das x muß 0< |ln(x)| <2 erfüllen.
>
> erfüllen ...
> x>1 -> lnx >0
> mit der 2 ist es ja eigentlich genau dasselbe Ergebnis wie
> bei azufgabe 1?!
K.A.
(Vielleicht sagst Du in solchen Fällen für die, die nicht den ganzen Thread durchlesen mögen, einfach mal das Ergebnis von Aufg. 1.)
Wenn 0< |ln(x)| <2, dann ist ln(x) zwischen -2 und 2, es gilt also -2<ln(x)<2.
Nun mußt Du noch die passenden x rausfinden.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:47 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
Lösung der ersten Aufgabe (da war in der Ursprungsgleichung quasi das Relationszeichen nur anders herum) war bei Fall 1 x=1 und bei Fall 2 x größer gleich [mm] e^2 [/mm] oder x kleiner [mm] 1/e^2
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
Und stimmen die Lösungen nun überein?
(ich denke Ja)
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> Und stimmen die Lösungen nun überein?
> (ich denke Ja)
Hallo,
in der gerade besprochenen Aufgabe b) folgt aus -2<ln(x)<2, daß [mm] \bruch{1}{e^2}
Gruß v. Angela
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> Hallo,
>
> das weiß ich doch!
Was?
> Mir war wichtig, ob die
> Fallunterscheidung jetzt so stimmt, denn vorher hab ich sie
> m-M nach falsch gemacht. Aber du hast bei beiden nix
> gesagt... ich nehme jetzt aber einfach mal an, dass die
> letzte Fallunterscheidung die richtige war...
Hallo,
genau. Ich hatte doch dazu auch "ja" und "genau" gesagt, oder sollte ich mich täuschen?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:45 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
Nur um es aufzuklären: Ich hatte die Fallunterscheidung ursprünglich falsch gemacht und statt bei 1-a>0 -> 1>a den Betrag positiv zu machen/lassen, es genau verkeht herum gemacht und ihn negativ gemacht!
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