Ungleichung von Cauchy-Schwarz < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Geben Sie einen Beweis der Ungleichung
|<x,y>| [mm] \le [/mm] |x| |y| (Ungleichung von Cauchy-Schwarz)
indem Sie zeigen:
[mm] |x|^{2}|y|^{2}-()^{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \summe_{i,j=1}^{n}(x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i})^{2}
[/mm]
Diskutieren Sie damit auch den Gleichheitsfall. |
Hallo
bei der Aufgabe hab ich auch irgendwie keinen Ansatz. Ich hab mal versucht, das anders aufzuschreiben, also Summenzeichen weg und in Pünktchenschreibweise und Skalarprodukt <x,y> auch mal ausgeschrieben. Aber ich versteh nicht ganz warum jetzt plötzlich 2 Laufvariablen gegeben sind und man bei beiden mit 1 startet und bis n geht.
Irgendjemand hier, der mir da einen Tipp geben könnte, wie die Aufgabe geht?
Danke schon mal.
Gruß Michi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:26 Sa 09.12.2006 | | Autor: | MichiNes |
Also ich hab jetzt die Gleichheit bewiesen. Und zwar hab ich das so gemacht:
[mm] \bruch{1}{2}\summe_{i,j=0}^{n}(x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i})^{2}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}\summe_{i,j=0}^{n}(x_{i}^{2}y_{j}^{2}-2x_{i}y_{i}x_{j}y_{j}+x_{j}^{2}y_{i}^{2})
[/mm]
[mm] =\summe_{i,j=0}^{n}(\bruch{1}{2}x_{i}^{2}y_{j}^{2}-x_{i}y_{i}x_{j}y_{j}+\bruch{1}{2}x_{j}^{2}y_{i}^{2})
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}|x|^{2}|y|^{2}+\bruch{1}{2}|x|^{2}|y|^{2}-
[/mm]
[mm] =|x|^{2}|y|^{2}-^{2}
[/mm]
Allerdings weiß ich jetzt nicht, wie ich den Gleichheitsfall diskutieren soll.
Was ist denn da überhaupt gemeint?
Danke schon mal!
Gruß Michi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:48 So 10.12.2006 | | Autor: | choosy |
Na wenn du die gleichheit hast, siehst du ja, das die summe immer größer oder gleich 0 ist.für die Cauchy-Schwarz ungleichung heist das, das sie richtig ist. du sollst nun den fall "=" ind der C.S. ungleichung diskutieren, oder anders Formuliert sollst du sagen, wie x und y aussehen müssen, damit die summe den wert 0 hat...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Mi 13.12.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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