Ungleichung von Tschebyshew < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:35 Fr 01.12.2006 | | Autor: | Ursus |
| Aufgabe | | Wie oft muss ein idealer Würfel geworfen werden, damit das arithmetische Mittel der Augenzahlen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0,95% um weniger als 0,01 vom Erwartungswert abweicht? |
Hallo Leute!
Mein Ansatz:
Die Tschebyshew-Ungleichung lautet ja:
[mm] P(|X-\mu|
Wähle nun c = 0.01,
V(X) ist bei der Binomialverteilung gleich np(1-p) mit [mm] p=\bruch{1}{6}.
[/mm]
Die rechte Seite der Ungleichung soll ja größer als 0.95 sein, also löse ich folgende Ungleichung nach n auf:
1- [mm] \bruch{n*\bruch{1}{6}*\bruch{5}{6}}{0.01^{2}}\ge [/mm] 0.95
Durch umformen ergibt sich:
n [mm] \le \bruch{0.05*0.01^{2}*36}{5} [/mm] = 0.000036
So das wäre meine Lösung, aber das kann doch nicht passen n<1 !!
- Wo liegt hier mein Denkfehler?
- Muss man da nicht irgendwo [mm] \mu=3.5 [/mm] einbauen?
Besten Dank für eure Hilfe!
Bis bald , mfg URSUS
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:36 Fr 01.12.2006 | | Autor: | Walde |
hi ursus,
der Fehler ist, das du mit X als Binomialverteiltung rechnest. Aber wenn
X:arithmetisches Mittel der Augensummen
ist X nicht Binomialverteilt. Also ist Var(X) auch nicht n*p(1-p).
Vielleicht kommt man weiter, wenn man [mm] X_i:Augensumme [/mm] im i-ten Wurf definiert. [mm] E(X_i)=\mu=3,5 [/mm] , das hast du ja schon gesagt, [mm] Var(X_i)=\sigma^2 [/mm] muss man noch ausrechnen.
Die [mm] X_i [/mm] sind iid.
Dann ist [mm] Y:=X_1+\ldots+X_n [/mm] nährungsweise Normalverteilt. [mm] E(Y)=n*\mu [/mm] und [mm] Var(Y)=n*\sigma^2 [/mm]
[mm] \bruch{Y}{n} [/mm] ist dann das arithmetische Mittel der Augensummen. Dann wieder Erwartungswert und Varianz überlegen. So kommt man denke ich weiter, habs aber selbst nicht fertig gedacht.
l G Walde
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:56 Fr 01.12.2006 | | Autor: | luis52 |
Hallo Ursus,
dein Denkfehler besteht auch darin, dass du mit einer falschen Varianz
arbeitest. Wie Walde schon schreibt, musst du [mm] $\sigma^2=\text{Var}[X_i]$
[/mm]
berechnen. Dann lautet die Tschebyschewsche Ungleichung fuer das
arithmetische $X=Y/n$ (Waldes Notation)
$ [mm] P(|Y/n-\mu|
Wie Walde auch schreibt, gilt nach dem Zentralen Grenzwertsatz (genauer:
Satz von deMoivre-Laplace), dass $Y/n$ approximativ normalverteilt ist
mit [mm] $\mu=3.5$ [/mm] und [mm] $\mbox{Var}[Y/n]=\sigma^2/n$.
[/mm]
Du siehst, die konkrete Loesung steht und faellt mit der Berechnung
von [mm] $\sigma^2$.
[/mm]
hth
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:16 Mo 04.12.2006 | | Autor: | Ursus |
Besten Dank für eure schnelle Hilfe!
Hat mir sehr geholfen.
Bis zum nächsten Mal,
Gruß URSUS
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