Ungleichung zeigen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:40 Sa 12.01.2008 | | Autor: | moomann |
| Aufgabe | Zeige folgende Ungleichung:
[mm] \forall n\in\IN_{>0}: 2*5^{n}>n*3^{n}+3n^{2} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Ich muss die die Gültigkeit dieser Ungleichung zeigen, um eine andere Aufgabe zu lösen. Wie mache ich das am besten? Mit Induktion bin ich bisher nicht weit gekommen, weil immer wieder neue Ungleichungen entstehen, die ich auch wiederum höchstens mit Induktion zeigen könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:27 So 13.01.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
Als erstes testen wir mal [mm] {(n+1)3^n=n3^n+3^n\ge n3^n+3n^2}.
[/mm]
D.h. [mm] 3^n\ge 3n^2
[/mm]
[mm] {n*ln3\ge ln3+2*ln(n)}
[/mm]
[mm] \bruch{(n-1)*ln3}{2}\ge [/mm] ln(n) abschätzen mit [mm] ln(n_0)+(n-n_0)*\bruch{1}{n_0} [/mm] für ausreichend großes [mm] n_0
[/mm]
Damit bleibt noch
[mm] 2*5^n>(n+1)3^n
[/mm]
[mm] {\gdw ln2+n*ln5>ln(n+1)+n*ln3}
[/mm]
[mm] {\gdw n*(ln5-ln3)+ln2>ln(n+1)}
[/mm]
nun wieder [mm] ln(n+1)
Jetzt musst du noch alle bis [mm] n_0 [/mm] von Hand nachrechnen.
Ciao.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 So 13.01.2008 | | Autor: | moomann |
Danke für die ausführliche Antwort. Leider hatten wir noch keinen Logarithmus und dürfen ihn daher nicht verwenden. Geht es auch einfacher mit Mitteln eines Erstsemesters?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:00 So 13.01.2008 | | Autor: | dormant |
Hi!
Das geht auch mittels vollständiger Induktion:
Gegeben: [mm] (2)5^{n}>n3^{n}+3n^{2} [/mm] für ein n.
Z.z.: [mm] (2)5^{n+1}>(n+1)3^{n+1}+3(n+1)^{2}, [/mm] oder
[mm] (2*5^{n})5>(n3^{n})3+3n^{2}+3^{n+1}+6n+3.
[/mm]
Zu diesem Zweck soll man die Voraussetzung umschreiben:
[mm] 5*(2*5^{n})>5*(n3^{n}+3n^{2}),
[/mm]
[mm] 5*(2*5^{n})>3(n3^{n})+3n^{2}+2(n3^{n})+4(3n^{2})>3(n3^{n})+3n^{2}+3^{n+1}+(6n+3),
[/mm]
da [mm] 2(n3^{n})>3^{n+1} [/mm] und [mm] 4(3n^{2})>6n+3.
[/mm]
Gruß,
dormant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:43 So 13.01.2008 | | Autor: | moomann |
Dankeschön! Wunder mich gerade etwas, dass ich nicht selbst darauf gekommen bin ... ;)
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