Ungleichung zeigen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien A und B zwei Ereignisse mit P(A)=1/4 und P(B)=5/6. Zeigen Sie dass
1/12 [mm] \le [/mm] P(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \le [/mm] 1/4 |
Die zweite Seite ist kein Problem. Irgendwie schein ich aber auf dem Schlauch zu stehen was die linke Seite betrifft:
Also aus P(A)+P(B) > 1 [mm] \Rightarrow [/mm] A und B nicht disjunkt.
Im Allgemeinen gilt: P(A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \le [/mm] 1.
Der Minimalfall den ich suche tritt ein für die Gleichheit: P(A [mm] \cup [/mm] B) = 1.
und jetzt komme ich irgendwie nicht weiter.
Rückwärts gedacht sollte am Ende wahrscheinlich dastehen:
P(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \ge [/mm] P(A) + P(B) - 1
am auch damit bin ich noch nicht zum Ziel gelangt, obwohl ich denk, dass an sich nicht viel fehlt.
Wer kann mir helfen?
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> Es seien A und B zwei Ereignisse mit P(A)=1/4 und P(B)=5/6.
> Zeigen Sie dass
>
> 1/12 [mm]\le[/mm] P(A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\le[/mm] 1/4
> Die zweite Seite ist kein Problem. Irgendwie schein ich
> aber auf dem Schlauch zu stehen was die linke Seite
> betrifft:
> Also aus P(A)+P(B) > 1 [mm]\Rightarrow[/mm] A und B nicht
> disjunkt.
> Im Allgemeinen gilt: P(A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\le[/mm] 1.
> Der Minimalfall den ich suche tritt ein für die
> Gleichheit: P(A [mm]\cup[/mm] B) = 1.
>
> und jetzt komme ich irgendwie nicht weiter.
> Rückwärts gedacht sollte am Ende wahrscheinlich
> dastehen:
> P(A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\ge[/mm] P(A) + P(B) - 1
> am auch damit bin ich noch nicht zum Ziel gelangt, obwohl
> ich denk, dass an sich nicht viel fehlt.
Hallo
Du bist tatsächlich nicht weit vom Ziel.
Zeichne dir ein Venn-Diagramm (dort sollen die Flächen-
inhalte gerade den Wahrscheinlichkeiten entsprechen) und
überlege dir, wie A und B angeordnet werden müssen,
damit ihr Überlappungsgebiet [mm] A\cap{B} [/mm] möglichst klein
bzw. möglichst groß wird.
LG Al-Chw.
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möglichst groß ist kein Problem, A liegt dann natürlich ganz in B.
möglichst klein... nunja, die Lösung erschließt sich mir bis jetzt auch mit Bild nicht. Wie gesagt sollte für die minimale Lösung gelten P(A [mm] \cup [/mm] B) =1.
Die zeichnerische Lösung ist an sich schon klar. Aber mein Problem ist es daraus die richtige Ungleichung zu basteln.
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> möglichst groß ist kein Problem, A liegt dann natürlich
> ganz in B.
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> möglichst klein... nunja, die Lösung erschließt sich mir
> bis jetzt auch mit Bild nicht. Wie gesagt sollte für die
> minimale Lösung gelten P(A [mm]\cup[/mm] B) =1.
>
> Die zeichnerische Lösung ist an sich schon klar. Aber mein
> Problem ist es daraus die richtige Ungleichung zu basteln.
Nun, weil hier P(A)+P(B)>1 ist, ist natürlich [mm] max(P(A\cup{B}))=1
[/mm]
Und dann gibt es da ja noch diese allgemein gültige Gleichung,
welche P(A), P(B), [mm] P(A\cap{B}) [/mm] und [mm] P(A\cup{B}) [/mm] miteinander verknüpft ...
LG Al-Chw.
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Ich furchte besagte Ungleichung nicht zu kennen :-( wir haben noch nicht viel dazu gemacht. Willst du sie mir verraten?
Ich wäre die sehr dankbar!
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> Ich furchte besagte Ungleichung nicht zu kennen :-( wir
> haben noch nicht viel dazu gemacht. Willst du sie mir
> verraten?
> Ich wäre die sehr dankbar!
Hallo Schneckennudel,
es handelt sich nicht um eine Ungleichung, sondern um
eine Gleichung:
[mm] P(A\cup{B})=P(A)+P(B)-P(A\cap{B})
[/mm]
LG Al-Chw.
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Ich habs jetzt 
Danke für deine superschnelle und kompetente Hilfe!
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