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Hallo zusammen!
Folgende Problemstellung:
Determinate the smallest natural Number N such that for all [mm] n [mm] \ge [/mm] N [mm/]
[mm] [mm] n^3 [/mm] < [mm] 2^n [/mm] [mm/].
Don't forget to give a proof.
Ich habe nun mit der vollständigen Induktion gearbeitet:
[mm] A(n): [mm] n^3 [/mm] < [mm] 2^n
[/mm]
n=1:
A(1): [mm] 1^3 [/mm] = 1 < 2 = [mm] 2^1
[/mm]
A(n) - A(n+1): [mm/]
[mm] [mm] (n+1)^3 [/mm] = [mm] n^3 [/mm] * ( [mm] \bruch{n+1}{n})^3 [/mm] < [mm] 2^n [/mm] * [mm] (\bruch{n+1}{n})^3 [/mm] [mm/]
Daraus ergibt sich [mm] (n+1)^3 [/mm] < 2^(n+1) genau dann wenn
[mm] [mm] \bruch{n+1}{n})^3 \le [/mm] 2 [mm/]
Durch Umformung gelange ich zu der Ungleichung:
[mm][mm] n^3 [/mm] - [mm] 3n^2 [/mm] - 3n -1 [mm] \ge [/mm] 0 [mm/]
Nun weiss ich allerdings nicht mit welcher Zahl die Polynomdivision sinnvoll wäre. Kann mal jemand aushelfen?
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Hallo,
daß das so nicht geklappt hat, ist kein Wunder!
Mit der vollständigen Induktion kann man wie mit anderen Verfahren nur solche Aussagen beweisen, welche stimmen, das ist ja klar.
Du behauptest [mm] 2^n-n^3>0 [/mm] f.a. n [mm] \ge [/mm] 1.
Diese Aussage stimmt aber nicht. "Zufällig " ist sie richtig für n=1, aber schon bei n=2 sieht's trübe aus.
>
> Determinate the smallest natural Number N such that for all
> [mm]n [mm]\ge[/mm] N [mm/]
[mm][mm]n^3[/mm] < [mm]2^n[/mm] [mm/].
> [/mm][/mm]
Aus diesem Grund - um den armen Studenten Zeit für Fehlversuche zu ersparen - steht da wohl, daß man zunächst die kleinste Zahl bestimmen soll, für die die Aussage gilt.
Naja, das ist ja kein Hexenwerk.
Dann mach einen Induktionsanfang mit diesem N und anschließend weiter, wie gewohnt. Natürlich mußt Du dieses N dann auch in Deiner Abschätzung verwenden.
Viel Erfolg und
Gruß v. angela
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