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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:15 Do 17.01.2008 | | Autor: | johnny11 |
Hallo,
Beim Lernen für die Prüfungen sind mir einige Fragen aufgetaucht, welche ich hier mal stellen möchte:
1.)
Weshalb gilt:
|limf(x)| [mm] \le [/mm] lim|f(x)|
Ein Beispiel würde ev. auch bereits helfen...
2.)
Weshalb gilt:
|x*f(x)| [mm] \le [/mm] |x|*|f(x)|
3.)
Wenn man ein Ungleichungssystem löst, muss man ja aufpassen, da die Zeichen [mm] (\le [/mm] und [mm] \ge) [/mm] sich je nach dem auch verändern können. Ich weiss, dass dies bei der Multiplikation mit *(-1) der Fall ist.
Gibt es noch andere Fälle, bei denen das Ungleichheitszeichen wechselt?
4.)
Noch eine ganz andere Frage (passt leider gerade nicht zum Thema):
Stimmen die folgenen Aussagen:
[mm] \summe [/mm] konv. + [mm] \summe [/mm] konv. [mm] \Rightarrow \summe [/mm] konv.
[mm] \summe [/mm] konv. + [mm] \summe [/mm] div. [mm] \Rightarrow \summe [/mm] div.
[mm] \summe [/mm] div. + [mm] \summe [/mm] div. [mm] \Rightarrow \summe [/mm] div.
[mm] \summe [/mm] konv. * [mm] \summe [/mm] konv. [mm] \Rightarrow \summe [/mm] kon.
[mm] \summe [/mm] konv. * [mm] \summe [/mm] div. [mm] \Rightarrow \summe [/mm] div.
[mm] \summe [/mm] div. * [mm] \summe [/mm] div. [mm] \Rightarrow \summe [/mm] div.
Die Aussagen für die Addition sollten glaube ich stimmen, oder?
Aber bei den Aussagen für die Multiplikation bin ich mir nicht sicher...! Gibt es da keine allgemein gültigen Aussagen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:11 Do 17.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> Beim Lernen für die Prüfungen sind mir einige Fragen
> aufgetaucht, welche ich hier mal stellen möchte:
>
> 1.)
> Weshalb gilt:
>
> |limf(x)| [mm]\le[/mm] lim|f(x)|
> Ein Beispiel würde ev. auch bereits helfen...
Steht das wirklich so da? Da sollte sogar ein "$=$" stehen, denn:
Es existiere [mm] $G:=\lim_{x \to x_0}f(x)$. [/mm] Dann ist [mm] $|G|=\vmat{\lim_{x \to x_0}f(x)}$.
[/mm]
Die Funktion $x [mm] \mapsto [/mm] |x|$ ist stetig auf [mm] $\IR$. [/mm] Daher gilt:
[mm] $|G|=\vmat{\lim_{x \to x_0}f(x)}=\lim_{x \to x_0}|f(x)|$ [/mm]
Wenn es aber wirklich nur um das [mm] $\le$ [/mm] geht:
Es gilt $-|f(x)| [mm] \le [/mm] f(x) [mm] \le [/mm] |f(x)|$ für alle x, was
[mm] $\lim_{x \to x_0}-|f(x)| \le \lim_{x \to x_0} [/mm] f(x) [mm] \le \lim_{x \to x_0} [/mm] |f(x)|$
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $-\lim_{x \to x_0} [/mm] |f(x)| [mm] \le \lim_{x \to x_0} [/mm] f(x) [mm] \le \lim_{x \to x_0}|f(x)|$
[/mm]
zur Folge hat (unterstellt sei die Existenz aller Grenzwerte).
Das letztgenannte ist gleichwertig mit
[mm] $\vmat{\lim_{x \to x_0}f(x)} \le \lim_{x \to x_0}|f(x)|$
[/mm]
> 2.)
> Weshalb gilt:
>
> |x*f(x)| [mm]\le[/mm] |x|*|f(x)|
Auch hier sollte ein Gleichheitszeichen stehen. Das ist trivial wegen $|a*b|=|a|*|b|$.
> 3.)
> Wenn man ein Ungleichungssystem löst, muss man ja
> aufpassen, da die Zeichen [mm](\le[/mm] und [mm]\ge)[/mm] sich je nach dem
> auch verändern können. Ich weiss, dass dies bei der
> Multiplikation mit *(-1) der Fall ist.
> Gibt es noch andere Fälle, bei denen das
> Ungleichheitszeichen wechselt?
Generell bei Multiplikation/Division mit/durch echt negativen Zahlen ist das der Fall.
Und bei der Kehrbruchbildung kann das auftreten... dabei müssen aber beide Brüche das gleich Vorzeichen haben (das kannst Du Dir ja mal überlegen).
Ansonsten siehst Du z.B. bei
[mm] $-\frac{2}{3} \le \frac{3}{4}$, [/mm] dass die Umkehrbruchbildung
[mm] $-\frac{3}{2} \le \frac{4}{3}$ [/mm] das Zeichen [mm] $\le$ [/mm] erhält.
Allerdings bei [mm] $-\frac{3}{4} \le -\frac{2}{3}$ [/mm] liefert die Umkehrbruchbildung:
[mm] $-\frac{4}{3} \ge -\frac{3}{2}$
[/mm]
Das ist auch einfach herzuleiten:
[mm] $\frac{-3}{4} \le \frac{-2}{3}$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] (-3)*3 [mm] \le [/mm] (-2)*4$
[mm] $\gdw (-3)*3*\frac{1}{-2} \ge [/mm] 4$
[mm] $\gdw \frac{3}{-2} \le \frac{4}{-3}$
[/mm]
[mm] $\gdw -\frac{4}{3} \ge -\frac{3}{2}$
[/mm]
Also bei Brüchen [mm] $\frac{r}{s} \le \frac{t}{u}$ [/mm] am besten einfach den Umkehrbuch schrittweise bilden unter Beachtung der Vorzeichen von $r,s,t,u$.
> 4.)
> Noch eine ganz andere Frage (passt leider gerade nicht zum
> Thema):
>
> Stimmen die folgenen Aussagen:
>
> [mm]\summe[/mm] konv. + [mm]\summe[/mm] konv. [mm]\Rightarrow \summe[/mm] konv.
Ja, Beweis erfolgt mit dem Grenzwertsatz über konvergente Folgen durch Betrachtung der Teilsummenfolge.
> [mm]\summe[/mm] konv. + [mm]\summe[/mm] div. [mm]\Rightarrow \summe[/mm] div.
Ja, denn andernfalls erhielte man leicht einen Widerspruch zu dem vorhergehenden.
> [mm]\summe[/mm] div. + [mm]\summe[/mm] div. [mm]\Rightarrow \summe[/mm] div.
Nein, dazu betrachte einfach [mm] $\sum_{k=1}^\infty{(-1)^k}$ [/mm] und [mm] $\sum_{k=1}^\infty{(-1)^{k+1}}$
[/mm]
Beide Reihen sind divergent, aber [mm] \sum_{k=1}^\infty {\left((-1)^k+(-1)^{k+1}\right)}=\sum_{k=1}^\infty [/mm] 0=0 ist konvergent.
> [mm]\summe[/mm] konv. * [mm]\summe[/mm] konv. [mm]\Rightarrow \summe[/mm] kon.
Hier ist unklar, was Du mit der Reihe rechterhand meinst. Meinst Du [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n [/mm] * [mm] \sum_{n=0}^\infty b_n$, [/mm] wobei beide Reihen konvergieren, [mm] $\Rightarrow \sum_{n=0}^\infty a_n b_n$ [/mm] konvergent? Oder geht es um sowas wie das Cauchyprodukt bzw. den Satz von Mertens?
> [mm]\summe[/mm] konv. * [mm]\summe[/mm] div. [mm]\Rightarrow \summe[/mm] div.
> [mm]\summe[/mm] div. * [mm]\summe[/mm] div. [mm]\Rightarrow \summe[/mm] div.
Hier ist halt generell das Problem, wie die Formulierung genau aussieht. Denn die Reihe rechterhand ist mir unklar. Kannst Du das mal ganz genau hinschreiben?
Oder geht es hier gar nicht um Reihen, sondern geht es um eine endliche Anzahl konvergenter Folgen? Also z.B. dass Du mit
[mm]\summe[/mm] konv. + [mm]\summe[/mm] div. [mm]\Rightarrow \summe[/mm] div.
gar nicht Reihen meinst, sondern:
Wenn man endlich viele konvergente Folgen hat und zu diesen dann endlich viele divergente Folgen addiert, so ist die so entstehende Folge stets divergent?
Wenn es so gemeint ist, dann wäre diese Aussage falsch, denn die Folgen [mm] $b_n=(-1)^n$ [/mm] und [mm] $c_n=(-1)^{n+1}$ [/mm] sind beide divergent, aber deren "Summenfolge" [mm] $b_n+c_n=0$ [/mm] ist konvergent, wenn man dann also eine konvergente Folge [mm] $a_n$ [/mm] hinzunimmt, so konvergiert die Folge $ ( [mm] a_n+b_n+c_n )_{n \in \IN}$ [/mm] dann eben gegen den gleichen Grenzwert, wie es die Folge $( [mm] a_n )_{n \in \IN}$ [/mm] tut.
Also Du mußt ein wenig genauer erklären, was Du mit diesen [mm]\summe[/mm] konv. bzw. [mm]\summe[/mm] div. hier überhaupt meinst.
P.S.:
Wenn es beim letztgenannten doch um sowas geht:
[mm] $\sum_{n=1}^\infty a_n$ [/mm] divergent und [mm] $\sum_{n=1}^\infty b_n$ [/mm] divergent
[mm] $\Rightarrow$ $\sum_{n=1}^\infty a_n b_n$ [/mm] divergent,
so ist z.B. diese zuletztgenannte Aussage falsch. Dazu betrachte einfach die entsprechenden Reihen mit [mm] $a_n=b_n=\frac{1}{n}$.
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 Do 17.01.2008 | | Autor: | johnny11 |
Hallo,
Vielen Dank für die ausfühlichen Antworten. Das mit den Summen ist mir jetzt klar geworden. Nur verstehe ich noch nicht:
>
>
> Nein, dazu betrachte einfach [mm]\sum_{k=1}^\infty{(-1)^k}[/mm] und
> [mm]\sum_{k=1}^\infty{(-1)^{k+1}}[/mm]
> Beide Reihen sind divergent, aber [mm]\sum_{k=1}^\infty {\left((-1)^k+(-1)^{k+1}\right)}=\sum_{k=1}^\infty[/mm]
> 0=0 ist konvergent.
>
> >
Weshalb sind diese beiden Summen jeweils divergent?
Man erhält doch [mm] \sum_{k=1}^\infty{(-1)^k} [/mm] = -1 + 1 + -1 + 1..... = 0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 Do 17.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Nein, dazu betrachte einfach [mm]\sum_{k=1}^\infty{(-1)^k}[/mm] und
> > [mm]\sum_{k=1}^\infty{(-1)^{k+1}}[/mm]
> > Beide Reihen sind divergent, aber [mm]\sum_{k=1}^\infty {\left((-1)^k+(-1)^{k+1}\right)}=\sum_{k=1}^\infty[/mm]
> > 0=0 ist konvergent.
> >
> > >
>
> Weshalb sind diese beiden Summen jeweils divergent?
> Man erhält doch [mm]\sum_{k=1}^\infty{(-1)^k}[/mm] = -1 + 1 + -1 +
> 1..... = 0
nein, dann ist Dir noch nicht klar, was die Schreibweise [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$ [/mm] bedeutet. Zunächst ist das erstmal symbolisch eine Schreibweise für die Folge der Teilsummen:
[mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k=\left( \sum_{k=1}^n a_k\right)_{n \in \IN}=( s_n )_{n \in \IN}$ [/mm] mit [mm] $s_n:=\sum_{k=1}^n a_k$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$).
[/mm]
In dem Falle, dass die Folge der Teilsummen $( [mm] s_n )_{n \in \IN}$ [/mm] gegen ein $s$ konvergiert, gibt man dem Symbol [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$ [/mm] in natürlicher Weise eine weitere Bedeutung:
Dann steht es nämlich zudem auch für den Grenzwert $s$ der Folge $( [mm] s_n )_{n \in \IN}$, [/mm] in diesem Falle ist also
[mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k:=s=lim_{n \to \infty}s_n=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n a_k$
[/mm]
Schauen wir uns das hier einmal an:
Wir betrachten die Reihe [mm] $\sum_{k=1}^\infty (-1)^k$ [/mm] und möchten diese auf Konvergenz untersuchen. Das heißt, wir haben die Folge $( [mm] s_n )_{n \in \IN}$ [/mm] der Teilsummen mit [mm] $s_n:=\sum_{k=1}^n (-1)^k$ [/mm] auf Konvergenz zu untersuchen.
Man sieht leicht ein, dass gilt:
[mm] $s_n=\sum_{k=1}^n (-1)^k=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ -1, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}$
[/mm]
[mm] ($s_1=(-1)^1=-1$, [/mm]
[mm] $s_2=(-1)^1+(-1)^2=-1+1=0$, [/mm]
[mm] $s_3=(-1)^1+(-1)^2+(-1)^3=-1+1-1=-1$, [/mm]
.
.
.
Formaler Beweis geht z.B. induktiv. )
D.h., wir haben die Folge [mm] $(s_n)_{n \in \IN}$ [/mm] mit
[mm] $s_n=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ -1, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}$ [/mm] $(n [mm] \in \IN)$ [/mm]
auf Konvergenz zu untersuchen.
Diese Folge ist aber divergent, da sie mehr als einen Häufungspunkt hat (die Menge der zugehörigen Häufungspunkte von [mm] $(s_n)_{n \in \IN}$ [/mm] ist [mm] $\{-1,0\}$).
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:00 Do 17.01.2008 | | Autor: | johnny11 |
hallo,
Vielen Dank für die Antwort.
Jetzt ist mir klar geworden, weshalb ich dies nicht begriffen habe.
Ich vergesse nähmlich immer, dass eine Folge mit zwei Häufungspunkten divergent ist....!
Das war das Problem!!!! 
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Do 17.01.2008 | | Autor: | johnny11 |
Eine weitere Frage ist noch aufgetaucht:
Weshalb gilt folgende Ungleichung:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\wurzel[n]{n})^{2} \le (\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n})^{2}
[/mm]
Ich nehme mal an, dass diese Ungleichung für alle Funktionen stimmt, oder? Aber weshalb ist das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:04 Do 17.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Eine weitere Frage ist noch aufgetaucht:
>
> Weshalb gilt folgende Ungleichung:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\wurzel[n]{n})^{2} \le (\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n})^{2}[/mm]
>
> Ich nehme mal an, dass diese Ungleichung für alle
> Funktionen stimmt, oder? Aber weshalb ist das so?
wie meinst Du das? Ich meine, Du kannst gerne auch die Funktion $x [mm] \mapsto x^{\frac{1}{x}}$ [/mm] auf [mm] $\IR_{>0}$ [/mm] betrachten. Da kommt der gleiche Limes bei $x [mm] \to \infty$ [/mm] heraus.
Aber auch wieder diese Ungleichung oben finde ich sinnlos, da sogar Gleichheit gilt. Das ergibt sich aus der Stetigkeit von $x [mm] \mapsto x^2$ [/mm] auf [mm] $\IR$ [/mm] (insbesondere in [mm] $x_0=1$) [/mm] und [mm] $\wurzel[n]{n} \to [/mm] 1$ bei $n [mm] \to \infty$.
[/mm]
Also:
[mm] $\lim_{n \to \infty}\left(\wurzel[n]{n}\right)^2=\left(\lim_{n \to \infty}\wurzel[n]{n}\right)^2=1^2=1$
[/mm]
Und damit:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\wurzel[n]{n})^{2} \le (\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n})^{2}[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] 1 [mm] \le [/mm] 1$
und das zuletztgenannte ist sicherlich wahr.
Wer stellt denn so komische Aufgaben hier?
Ich meine, die letzte Aufgabe hat in etwa so die Gestalt:
Sind [mm] $a_n \in \IR$ [/mm] mit [mm] $a_n \to [/mm] a$, so zeige man, dass [mm] $lim_{n \to \infty} a_n^2 \le \left(\lim_{n \to \infty}a_n\right)^2$.
[/mm]
Und das ist banal:
[mm] $a_n \to [/mm] a$ liefert [mm] $\left(a_n\right)^2=a_n*a_n \to a*a=a^2$, [/mm] also:
[mm] $\lim_{n \to \infty}\left(a_n\right)^2=\left(\lim_{n \to \infty}a_n\right)^2$, [/mm] was natürlich [mm] $\lim_{n \to \infty}\left(a_n\right)^2 \le \left(\lim_{n \to \infty}a_n\right)^2$ [/mm] beinhaltet.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:10 Do 17.01.2008 | | Autor: | johnny11 |
ja das habe ich eben auch sehr banal gefunden. Für mich wäre das ungleichheitszeichen überflüssig. Es gilt ja sowieso immer Gleichheit...!
Habe mich auch sehr gefragt über diese Aussage!
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