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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:31 Do 18.11.2010 | | Autor: | dani_123 |
| Aufgabe | | Beweise: [mm] 2+\bruch{1}{an} [/mm] < [mm] 2+\bruch{1}{a_(_n_+_1_)} [/mm] |
Bitte, kann mir jemand helfen!
Ich schaffe es einfach nicht diese Ungleichung zu lösen!!
Danke
Dani
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:01 Fr 19.11.2010 | | Autor: | Walde |
Hi dani_123
ich glaube dir kann nur jemand helfen, wenn du die ganze Aufgabe postest. Zumindest die Definition der Folge [mm] (a_n)_n.
[/mm]
LG walde
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 00:11 Fr 19.11.2010 | | Autor: | dani_123 |
| Aufgabe | [mm] a_n_+_1.= 2+\bruch{1}{a_n}
[/mm]
[mm] Startwert:a_0= [/mm] 2 |
Okay, sorry!
Also:
Ist eine rekursive Folge. Ich muss beweisen, dass sie beschränkt sowie monoton ist!
Meine überlegung war, dass die obere Schranke 2,5 ist und die Unter 0.
Zudem beweise ich, dass sie monoton fallend ist!
Nur da komme ich nicht weiter denn dann muss ich ja die Ungleichung [mm] a_n_+_1 >a_n_+_2 [/mm] lösen! Mit Vollständiger Induktion.
Oder stimmt da schon mal was nicht?!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:46 Fr 19.11.2010 | | Autor: | Walde |
> [mm]a_n_+_1.= 2+\bruch{1}{a_n}[/mm]
> [mm]Startwert:a_0=[/mm] 2
> Okay, sorry!
> Also:
> Ist eine rekursive Folge. Ich muss beweisen, dass sie
> beschränkt sowie monoton ist!
>
> Meine überlegung war, dass die obere Schranke 2,5 ist und
> die Unter 0.
Bemerkung: 0 ist vielleicht eine Untere Schranke, aber noch keine gute: kleiner als 2 kann die Folge ja nicht werden, da alle [mm] a_n [/mm] positiv sind und es ja [mm] 2+a_n [/mm] heisst.
> Zudem beweise ich, dass sie monoton fallend ist!
Das scheint mir nicht zu stimmen. Ich schreib mal die ersten paar Folgenglieder hin um ein Gefühl für die Folge zu bekommnen:
[mm] a_0=2
[/mm]
[mm] a_1=2,5
[/mm]
[mm] a_2=2,4
[/mm]
[mm] a_3=2+\bruch{1}{2,4}=2,41\overline{6}
[/mm]
[mm] a_4=2+\bruch{1}{2,41\overline{6}}=2,41379310...
[/mm]
[mm] a_5=2+\bruch{1}{2,41379310...}=2,414...
[/mm]
[mm] a_6=2+\bruch{1}{2,414...}=2,41379...
[/mm]
sieht mir eher aus, also ob sie ganz und gar nicht monoton ist.
>
> Nur da komme ich nicht weiter denn dann muss ich ja die
> Ungleichung [mm]a_n_+_1 >a_n_+_2[/mm] lösen! Mit Vollständiger
> Induktion.
>
> Oder stimmt da schon mal was nicht?!
Was man auch folgendermassen einsieht:
hättest du als Ind.Vorraussetzung [mm] a_{n+1}
[mm] a_{n+2}
[mm] 2+\bruch{1}{a_{n+1}}<2+\bruch{1}{a_n}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{a_{n+1}}<\bruch{1}{a_n}, [/mm] und weil alle [mm] a_n [/mm] positiv sind
[mm] \gdw a_{n+1}>a_n, [/mm] was aber genau deiner Ind.Vorr. widerspricht.
Genauso kommst du beim Versuch "monoton wachsend" zu zeigen, auf einen Widerspruch.
Ich kann mir also nicht vorstellen, dass es die Aufgabe sein soll Monotonie zu zeigen...
LG walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:12 Fr 19.11.2010 | | Autor: | dani_123 |
Ja stimmt!
Doch in meiner Angabe steht es so! Aber ich werde mir das Morgen nochmals in aller Ruhe anschauen!
Trotzdem danke, durch deine Denkweise ist bei mir ein kleines Lichtchen an gegangen (auch wenn es nur ein kleines ist)!!
Schöne Nacht noch!!
Dani
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:01 Fr 19.11.2010 | | Autor: | Walde |
Hi Dani,
falls du die Konvergenz zeigen sollst, versuche zu zeigen, dass [mm] (a_n)_n [/mm] eine Cauchy Folge ist.
LG und gute Nacht,
walde
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