Ungleichungen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:07 So 12.12.2010 | | Autor: | cheezy |
| Aufgabe | Für welche [mm] x\in \IR [/mm] gilt folgende Ungleichungskette?
[mm] 2<3*(6-x)-5\le15 [/mm] |
[mm] 2<3*(6-x)-5\le15 [/mm]
2 < 13-3x |-13 [mm] \wedge [/mm] 13-3x [mm] \le [/mm] 15 |-13
-11 < -3x -3x [mm] \le [/mm] 2 |-3
[mm] \bruch{11}{3} \ge [/mm] x x > [mm] -\bruch{2}{3}
[/mm]
hallo ist meine rechnung richtig denn im lösungsbuch steht
xeR [mm] \bruch [/mm] -{2}{3} [mm] \le [/mm] x < [mm] \bruch{11}{3}
[/mm]
Anhand der Lösung sind meine zwei Lösungen falsch, doch ich weiss nicht warum, kann mir bitte jemand helfen. Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:16 So 12.12.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
versuch doch mal das ganze leserlich zu schreiben, es gibt auch sowas wie ein Vorschau.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:32 So 12.12.2010 | | Autor: | sabs89 |
Das habe ich bereits schon getan. Ich habe mir auch schon alles in Stunden und Minuten ausgerechnet. Dazu habe ich noch berechnet, was die Arbeiter in einer Stunde geschafft haben, doch leider immer ohne Erfolg!
Könnte mir jemand vlt den Ansatz geben, wie ich an dieser Aufgabe rangehen muss?
LG
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Hallo cheezy,
> Für welche [mm]x\in \IR[/mm] gilt folgende Ungleichungskette?
> [mm]2<3*(6-x)-5\le15[/mm]
>
>
> [mm]2<3*(6-x)-5\le15[/mm]
>
> 2 < 13-3x |-13 [mm]\wedge[/mm]
> 13-3x [mm]\le[/mm] 15 |-13
>
> -11 < -3x
> -3x [mm]\le[/mm] 2 |-3
>
> [mm]\bruch{11}{3} \ge[/mm] x
> x > [mm]-\bruch{2}{3}[/mm]
>
> hallo ist meine rechnung richtig denn im lösungsbuch
> steht
Hier hast Du die Ungleichheitszeichen ins Gegenteil umgemünzt.
Aus [mm]-11 <-3x[/mm] wird nicht [mm]\bruch{11}{3} \ge x[/mm], sondern [mm]\bruch{11}{3} \blue{>} x[/mm]
Aus [mm]-3x \le 2[/mm] wird nicht [mm]x > -\bruch{2}{3}[/mm], sondern [mm]x \blue{\ge} -\bruch{2}{3}[/mm]
>
> xeR [mm]\bruch[/mm] -{2}{3} [mm]\le[/mm] x < [mm]\bruch{11}{3}[/mm]
>
>
> Anhand der Lösung sind meine zwei Lösungen falsch, doch
> ich weiss nicht warum, kann mir bitte jemand helfen. Danke
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 So 12.12.2010 | | Autor: | cheezy |
Ja, aber ich habe mir gedacht wenn man mit einer negativen Zahl dividiert oder multipliziert wird das Ungleichheitszeichen ins Gegenteil gesetzt?
Wann wird das Ungleichheitszeichen ins Gegenteil gesetzt?
Das hab ich auch bei meinen vorherigen Beispielen gemacht.
-5 [mm] \le [/mm] 5*(-3-x)-7 [mm] \le [/mm] 5
-5 [mm] \le [/mm] 5*(-3-x)
-5 /le -15 -5x | +15
10 /le -5x | -5x
2 > x
L= x [mm] \in \IR [/mm] | x < 2
danke
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Hallo cheezy,
> Ja, aber ich habe mir gedacht wenn man mit einer negativen
> Zahl dividiert oder multipliziert wird das
> Ungleichheitszeichen ins Gegenteil gesetzt?
Das Ungleichheitszeichen dreht sich dann um (aus "<" wird ">").
>
> Wann wird das Ungleichheitszeichen ins Gegenteil gesetzt?
Ins Gegenteil wird hier nichts gesetzt.
Das Ungleichheitszeichen dreht sich bei Division
durch eine negative Zahl um.
>
> Das hab ich auch bei meinen vorherigen Beispielen gemacht.
>
>
> -5 [mm]\le[/mm] 5*(-3-x)-7 [mm]\le[/mm] 5
>
> -5 [mm]\le[/mm] 5*(-3-x)
>
> -5 /le -15 -5x | +15
>
> 10 /le -5x | -5x
Addiere hier doch einfach mal 5x,
dann kannst Du durch eine positive Zahl dividieren,
und das Ungleichheitszeichen bleibt erhalten.
Hier wird aus "[mm]\le[/mm]" ein "[mm]\ge[/mm]".
>
> 2 > x
>
> L= x [mm]\in \IR[/mm] | x < 2
>
> danke
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 So 12.12.2010 | | Autor: | cheezy |
-5 [mm] \le [/mm] -15 -5x | +15
10 [mm] \le [/mm] -5x |:-5x
2 < x
du hast geschrieben
Addiere hier doch einfach mal 5x,
dann kannst Du durch eine positive Zahl dividieren,
und das Ungleichheitszeichen bleibt erhalten.
ich denke, deine aussage ist falsch.
doch ich verstehe noch immer nicht wann das Ungleichheitszeichen ins Gegenteil gesetzt wird und wann es nur umgedreht wird, besonders das ins Gegenteil setzen verstehe ich nicht?
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Hallo cheezy,
> -5 [mm]\le[/mm] -15 -5x | +15
>
> 10 [mm]\le[/mm] -5x |:-5x
>
> 2 < x
>
> du hast geschrieben
> Addiere hier doch einfach mal 5x,
> dann kannst Du durch eine positive Zahl dividieren,
> und das Ungleichheitszeichen bleibt erhalten.
>
> ich denke, deine aussage ist falsch.
>
Betrachten wir diese Ungleichung:
[mm]10 \le -5x [/mm]
Addieren wir auf beiden Seiten 5x:
[mm]10+5x \le -5x+5x [/mm]
[mm]\gdw 10+ 5x \le 0[/mm]
[mm]\gdw 5x \le -10[/mm]
[mm]\gdw x \le -2[/mm]
> doch ich verstehe noch immer nicht wann das
> Ungleichheitszeichen ins Gegenteil gesetzt wird und wann es
> nur umgedreht wird, besonders das ins Gegenteil setzen
> verstehe ich nicht?
>
Wenn Du bei dieser Ungleichung durch eine negative Zahl dividierst:
[mm]10 \blue{\le} -5x [/mm]
dann, dreht sich das Ungleichheitszeichen um:
[mm]-2 \blue{\ge} x[/mm]
Demnach dasselbe Resultat, wie bei der Addition von 5x.
Gegenteil meint wohl aus ">" wird "[mm]\le[/mm]".
Dafür habe ich im Moment kein Beispiel.
Gruss
MathePower
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:59 So 12.12.2010 | | Autor: | cheezy |
oke, danke für deine Erklärung ich habe es verstanden.
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Hallo cheezy,
hier steigt man nicht so leicht durch... Die Diskussion ist ein bisschen unübersichtlich, für mich jedenfalls.
Also noch einmal zur Umkehrung des Relationszeichens:
(also Vertauschung von < und >, bzw. von [mm] \le [/mm] und $ [mm] \ge [/mm] $)
1) Bei Multiplikation mit einer negativen Zahl oder bei Division durch eine solche;
2) Wenn beide Seiten positiv oder beide Seiten negativ sind, auch bei Bildung des Kehrwerts auf beiden Seiten. Weil dieser Fall so schwer zu überschauen ist, sollte man das aber unbedingt unterlassen, auch wenn es bei Gleichungen durchaus eine Äquivalenzumformung ist!
3) Und quadrieren sollte man Ungleichungen wirklich nur im absoluten Notfall - und wie bei Gleichungen unbedingt hinterher prüfen, ob das Ergebnis gültig ist, will heißen: in jedem Fall eine Probe machen!
Zur Ersetzung von < durch [mm] \ge [/mm] oder umgekehrt (und genauso für >, $ [mm] \le [/mm] $) ist nur zu sagen, dass sie dann vorkommt, wenn man das Gegenteil von etwas betrachtet, typischerweise also bei Widerspruchsbeweisen oder bei Fallunterscheidungen.
Nehmen wir an, es wird behauptet, dass etwas für a>b wahr sei.
Dann kann ich das Gegenteil annehmen: [mm] a\blue{\le}b [/mm] und mal schauen, ob das zu einem Widerspruch führt.
Oder ich könnte eine Fallunterscheidung haben:
1) $ [mm] x\ge [/mm] y $
2) $ x<y $
Das liegt daran, dass es natürlich eigentlich drei Fälle gibt, nämlich <,=,>. Die bequeme Schreibweise mit dem Strich unter dem Kleiner- oder Größerzeichen erspart häufig diese dreifache Fallunterscheidung, aber der Fall der Gleichheit muss ja mit bedacht werden, aber eben nur einmal. Deswegen ist eine vollständige und überschneidungsfreie Abdeckung aller Möglichkeiten nur mit folgenden drei Aufteilungen möglich:
1) $ <,\ =,\ > $ (die sicherste Möglichkeit)
2) $ [mm] \le,\ [/mm] > $
3) $ <,\ [mm] \ge [/mm] $
Grüße
reverend
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