Ungleichungen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | (Bernoullische Ungleichung).
a) Zeigen Sie ohne Benutzung des Teils b) bzw. der mathematischen Induktion:
[mm] (1+10^{-n})^{10^{n+1}} [/mm] > 1000
b) Für ein n [mm] \in \IN_{0} [/mm] sei [mm] a_{n} [/mm] := [mm] (1+10^{-n})^{10^{n+1}} [/mm] . Beweisen sie folgende Behauptung für alle natürlichen Zahlen n [mm] \in \IN_{0}: a_{n} \le a_{n+1}. [/mm] |
Hallo erstmal :)
Ich habe mit dieser Aufgabe imense Probleme. Ich habe schon eine Menge rumprobiert und versucht mit der Bernoulli-Ungleich auf etwas sinnvolles zu kommen.
Dies hat mir nix gebracht, genauso wie das Umstellen in allen Varianten und Fazetten. :D
Nun wollte ich wissen ob sich diese Ungleichung mit Umstellen zeigen lässt oder ob ich evtl noch ein Lemma brauche um dieses abzuschätzen.
Ich wäre sehr dankbar für jegliche Hilfe
mfg der Iwan
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Moin Iwan,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> (Bernoullische Ungleichung).
>
> a) Zeigen Sie ohne Benutzung des Teils b) bzw. der
> mathematischen Induktion:
>
> [mm](1+10^{-n})^{10^{n+1}}[/mm] > 1000
>
> b) Für ein n [mm]\in \IN_{0}[/mm] sei [mm]a_{n}[/mm] :=
> [mm](1+10^{-n})^{10^{n+1}}[/mm] . Beweisen sie folgende Behauptung
> für alle natürlichen Zahlen n [mm]\in \IN_{0}: a_{n} \le a_{n+1}.[/mm]
>
> Hallo erstmal :)
>
> Ich habe mit dieser Aufgabe imense Probleme. Ich habe schon
> eine Menge rumprobiert und versucht mit der
> Bernoulli-Ungleich auf etwas sinnvolles zu kommen.
> Dies hat mir nix gebracht, genauso wie das Umstellen in
> allen Varianten und Fazetten. :D
>
> Nun wollte ich wissen ob sich diese Ungleichung mit
> Umstellen zeigen lässt oder ob ich evtl noch ein Lemma
> brauche um dieses abzuschätzen.
>
> Ich wäre sehr dankbar für jegliche Hilfe
Versuche mal mit dem binomischen Satz zu arbeiten (für [mm] n\geq0 [/mm] ist der Exponent ja mindestens 10 - die Bernoulliungleichung verwendet als Abschätzung nur die ersten beiden Summanden, hier braucht es aber ein paar mehr, da die Abschätzung der Bernoulliungleichung nicht auszureichen scheint)
>
> mfg der Iwan
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
|
|
|
| |
|
Hallo ich bins nochmal,
ich habe mich nun einige Tage und Stunden mit dieser Aufgabe beschäftigt.
Bei b) bin ich inzwischen zu einer Lösung gekommen per umstellen etc.
Bei a) Hänge ich immer noch. Ich habe mich an dem Binomischen Satz probiert. Die ersten 2 Elemente sind klar nach der Bernoulli Ungleichung.
Die Folgenden lassen sich nicht exaxt berechen.
Kann mir vielleicht jemand einen wirklich wegweisenden Tipp geben um diese Aufgabe zu lösen?
|
|
|
| |
|
> Hallo ich bins nochmal,
>
> ich habe mich nun einige Tage und Stunden mit dieser
> Aufgabe beschäftigt.
>
> Bei b) bin ich inzwischen zu einer Lösung gekommen per
> umstellen etc.
>
> Bei a) Hänge ich immer noch. Ich habe mich an dem
> Binomischen Satz probiert. Die ersten 2 Elemente sind klar
> nach der Bernoulli Ungleichung.
> Die Folgenden lassen sich nicht exaxt berechen.
Moin,
wir probierens mal, indem wir [mm] \vektor{10^{n+1}\\ k}\left(10^{-n}\right)^k [/mm] berechnen. Das ist nämlich der k+1. Summand, wenn man den binomischen Satz anwendet.
Here we go:
[mm] \vektor{10^{n+1}\\ k}\left(10^{-n}\right)^k=\frac{10^{n+1}(10^{n+1}-1)(10^{n+1}-2)\ldots(10^{n+1}-k+1)}{k!}\left(10^{-n}\right)^k
[/mm]
Im ersten Teil klammern wir in jedem Faktor des Zählers ein [mm] 10^{n} [/mm] aus, sodass sich das ganz gut mit dem [mm] \left(10^{-n}\right)^k [/mm] aufhebt:
[mm] =\frac{10(10-1/10^n)(10-2/10^n)\ldots(10-(k+1)/10^n)}{k!}
[/mm]
Unter gewissen Voraussetzungen sind alle Faktoren des Zählers [mm] \geq9, [/mm] insbesondere dann, wenn [mm] n\geq1 [/mm] und k<10 (das nehmen wir jetzt mal an)
[mm] ...\geq \frac{9^k}{k!}
[/mm]
Den ersten Faktor kannst du sogar bei 10 belassen, dann steht stattdessen da
[mm] ...\geq \frac{10*9^{k-1}}{k!}
[/mm]
So und jetzt denk du den nächsten Schritt.
LG
>
> Kann mir vielleicht jemand einen wirklich wegweisenden Tipp
> geben um diese Aufgabe zu lösen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:36 So 08.05.2011 | | Autor: | dimi727 |
Aber was genau hat das alles jetzt mit der Bernoulli Ungleichung zu tun,wenn man es so macht wie du?
|
|
|
| |
|
> Aber was genau hat das alles jetzt mit der Bernoulli
> Ungleichung zu tun,wenn man es so macht wie du?
Die Bernoulliungleichung habe ich nirgends verwendet. Es ist nur eine Lösungsmöglichkeit. Diese verwendet den binomischen Satz und eine Abschätzung.
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:53 Mo 09.05.2011 | | Autor: | dimi727 |
Ok, danke, hat mich auch nur gewundert, denn in der Überschrift steht ja in Klammern"Bernoullische Ungleichung" :)
Zu b)
Da habe ich eine Lösung, nur weiß ich nicht,ob man das so machen darf:
[mm] a_{n} \le a_{n+1} [/mm]
[mm] (1+10^{-n})^{10^{n+1}}\le(1+10^{-(n+1)})^{10^{n+2}}
[/mm]
Laut bernoullischer Ungleichung gilt ja :
[mm] (1+x)^{n} \ge [/mm] 1+nx
also setz ich dieses Kriterium für beide Seiten ein (hier ist die Stelle,an der ich nicht weiß, ob man bei Ungleichungen weitere Ungleichungen einsetzen darf...sind ja mehr oder weniger korrekte Abschätzungen, die Frage ist, ob es korrekt abgeschätzt wird für Nachfolger? Aber müsste eigentlich?)
[mm] 1+10^{-n}*10^{n+1} \le 1+10^{-(n+1)}*10^{n+2}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 1+10 [mm] \le [/mm] 1+10
Hm...
Liebe Grüße und gute Nacht, hoffe, es kann mir noch einer beantworten :)
|
|
|
| |
|
Hallo dimi,
nein, so geht es nicht, was aber nicht an Bernoulli liegt.
> Zu b)
>
> Da habe ich eine Lösung, nur weiß ich nicht,ob man das so
> machen darf:
>
> [mm]a_{n} \le a_{n+1}[/mm]
>
> [mm](1+10^{-n})^{10^{n+1}}\le(1+10^{-(n+1)})^{10^{n+2}}[/mm]
>
> Laut bernoullischer Ungleichung gilt ja :
>
> [mm](1+x)^{n} \ge[/mm] 1+nx
>
> also setz ich dieses Kriterium für beide Seiten ein
Nein, das geht nicht. Siehe unten.
> (hier ist die Stelle,an der ich nicht weiß, ob man bei
> Ungleichungen weitere Ungleichungen einsetzen darf...sind
> ja mehr oder weniger korrekte Abschätzungen, die Frage
> ist, ob es korrekt abgeschätzt wird für Nachfolger? Aber
> müsste eigentlich?)
Natürlich kannst Du weitere Ungleichungen einsetzen, aber die Abschätzung muss logisch bleiben. Du verwendest die bernoullische Ungleichung, als wäre sie eine Gleichung!
>
> [mm]1+10^{-n}*10^{n+1} \le 1+10^{-(n+1)}*10^{n+2}[/mm]
Eben das kannst Du nicht mit Bernoulli herleiten.
Du hast eine Ungleichung A<B und eine weitere Regel, die besagt "Großbuchstabe ist größer als Kleinbuchstabe", woraus folgt: A>a und B>b. Nun setzst Du hier ja wie folgt ein: a<b.
Genau das kann man aber nicht folgern.
Gegenbeispiel: A=4, B=5, a=3, b=2.
Wenn Du Bernoulli einsetzen willst, dann ginge hier nur die Verwendung in a<A<B (wovon die rechte Relation zu zeigen bleibt) oder in A<b<B (wobei die linke Relation zu zeigen bleibt).
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:56 Mo 09.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Mit Bernoulli geht das so:
[mm] $a_{n+1}= ((1+\bruch{1}{10^{n+1}})^{10})^{10^n} \ge (1+\bruch{10}{10^{n+1}})^{10^n} =a_n$
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:56 Mo 09.05.2011 | | Autor: | reverend |
Verräter. 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:04 Mo 09.05.2011 | | Autor: | dimi727 |
Bahh...edit:
Naja so ganz ersichtlich,dass [mm] a_{n+1} [/mm] größer ist, seh ich nicht ganz,denn der Summand in der Klammer ist ja größer bei [mm] a_{n} [/mm] und nicht andersrum :D
Schönen Tag wünsch ich :)
|
|
|
|
