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Forum "Sonstiges" - Ungleichungen
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Ungleichungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:12 Mo 28.11.2011
Autor: sissile

Aufgabe
[mm] \frac{3x-6}{x^2-4} \ge [/mm] 1


Hatte in der schule nie Ungleichungen - deshalb muss ich es jetzt lernen

[mm] \frac{3x-6}{x^2-4} \ge [/mm] 1
D: [mm] \IR [/mm] / {2,-2}

Ich weiß man kann es sich durch rausheben erleichtern, aber ich möchte auch die andere Variante rechnen.

Beim ersten Fall [mm] x^2 [/mm] - 4 [mm] \ge [/mm] 0
kommt man schlussendlich drauf, dass es keine Lösungsmenge gibt

2Fall
[mm] x^2 [/mm] - 4 < 0
(x-2) * (x+2) < 0
x-2 < 0 -> x < 2
x+2 > 0 -> x > -2
heißt: -2 < x < 2


3x - 6 [mm] \le x^2 [/mm] - 4
(x-2) * (x-1) [mm] \ge [/mm] 0

x-2 [mm] \ge [/mm] 0 -> x [mm] \ge [/mm] 2
x-1 [mm] \ge [/mm] 0 -> x [mm] \ge [/mm] 1
bzw.
x-2 < 0 -> x < 2
x-1 < 0 -> x < 1

=> x [mm] \ge [/mm] 2 , x < 1

von oben gilt -2 < x < 2

L = ]-2,1[


Lösung ist aber L = ]-2, 1]
Was ist denn da alles falsch ;( ?

        
Bezug
Ungleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:26 Mo 28.11.2011
Autor: Steffi21

Hallo

Fall 1:
korrekt gelöst
Fall 2:
[mm] x^{2}-4<0 [/mm]
-2<x<2

[mm] 3x-6\le x^{2}-4 [/mm]

[mm] 0\le x^{2}-3x+2 [/mm]

als Hinweis, die Funktion [mm] f(x)=x^{2}-3x+2 [/mm] ist eine nach oben geöffnete Parabel mit den Nullstellen [mm] x_1=1 [/mm] und [mm] x_2=2 [/mm]

Steffi



Bezug
                
Bezug
Ungleichungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:30 Mo 28.11.2011
Autor: sissile

hei ;)
Danke. Auf das bin ich auch  draufgekommen.

(x-2) * (x-1) [mm] \ge [/mm] 0
Fallunterscheidung

Fall1
x-2 [mm] \ge [/mm] 0  
x [mm] \ge [/mm] 2

x-1 [mm] \ge [/mm] 0
x [mm] \ge [/mm] 1

Fall2
x-2 < 0
x < 2

x-1 < 0
x < 1

Stärkere Aussagen: x [mm] \ge [/mm] 2 , x < 1

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Bezug
Ungleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:38 Mo 28.11.2011
Autor: Steffi21

Hallo, durch die Nullstellen bekommst du also

x<1 oder x>2

der Fall 2 besagt -2<x<2

somit bekommst du für die Lösungsmenge

-2<x<1

Steffi

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Bezug
Ungleichungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:42 Mo 28.11.2011
Autor: sissile

ja aber die Lösung "sollte" heißen:

L =]-2,1]

also 1 noch mitdrinnen ( was auch der fall ist wenn man einsetz)


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Bezug
Ungleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:08 Mo 28.11.2011
Autor: Steffi21

Hallo, wer liest ist klar im Vorteil, die 1 gehört freilich zu L, in der Aufgabe steht ja auch =, Steffi

Bezug
                                                
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Ungleichungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:21 Mo 28.11.2011
Autor: sissile

Deine Lösung lautet aber
(vorige Antwort von dir) -2<x<1
Und dh. ja ohne 1
Es ist "logisch" dass 1 dazugehört aber bei meiner Rechnung gehört 1 nicht dazu..(war meine Frage von ersten Post an...!!)

Bezug
                                                        
Bezug
Ungleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:48 Di 29.11.2011
Autor: Steffi21

Hallo, die 1 gehört zur Lösungsmenge, für x=1 bekommst du

[mm] \bruch{3-6}{1-4}\ge1 [/mm]

[mm] \bruch{-3}{-3}\ge1 [/mm]

[mm] 1\ge1 [/mm]

ist eine wahre Aussage, also [mm] -2
Steffi

Bezug
                                                                
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Ungleichungen: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 12:18 Di 29.11.2011
Autor: sissile

Ja das habe ich ja im vorigen Post geschrieben! Bitte lese, was ich frage - sonst wird es zu kompliziert!
Aber laut meiner Rechnung gehört 1 nicht dazu.! Und da frage ich was falsch ist an den rechenweg. ...
Siehe ersten Post von mir, da steht der Rechenweg (und du hast den selben mir nochmals gezeigt)
Mir ist klar, dass -2 kann nicht dazugehören, wegen den Definitionsbereich.
-> Ich verweise nochmals auf meinen ersten Post in der Frage, da steht meine Frage!

Bezug
        
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Ungleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:58 Di 29.11.2011
Autor: angela.h.b.


> [mm]\frac{3x-6}{x^2-4} \ge[/mm] 1
>  
> Hatte in der schule nie Ungleichungen - deshalb muss ich es
> jetzt lernen
>  
> [mm]\frac{3x-6}{x^2-4} \ge[/mm] 1
>  D: [mm]\IR[/mm] / {2,-2}
>  
> Ich weiß man kann es sich durch rausheben erleichtern,
> aber ich möchte auch die andere Variante rechnen.
>  
> Beim ersten Fall [mm]x^2[/mm] - 4 [mm]\ge[/mm] 0
>  kommt man schlussendlich drauf, dass es keine
> Lösungsmenge gibt

Hallo,

ja.

>  
> 2Fall
>  [mm]x^2[/mm] - 4 < 0
>  (x-2) * (x+2) < 0
>  x-2 < 0 -> x < 2

>  x+2 > 0 -> x > -2

>  heißt: -2 < x < 2
>  
>
> 3x - 6 [mm]\le x^2[/mm] - 4
>  (x-2) * (x-1) [mm]\ge[/mm] 0
>  
> x-2 [mm]\ge[/mm] 0 -> x [mm]\ge[/mm] 2
>  x-1 [mm]\ge[/mm] 0 -> x [mm]\ge[/mm] 1


>  bzw.
>  x-2 [mm] \red{\le} [/mm] 0 -> x [mm] \red{\le} [/mm] 2

>  x-1 [mm] \red{\le}0 [/mm] -> x [mm] \red{\le} [/mm] 1

Hier ist der springende Punkt,
und damit dürfte Deine Frage beantwortet sein.

Gruß v. Angela

>  
> => x [mm]\ge[/mm] 2 , x < 1
>  
> von oben gilt -2 < x < 2
>  
> L = ]-2,1[
>  
>
> Lösung ist aber L = ]-2, 1]
>  Was ist denn da alles falsch ;( ?


Bezug
                
Bezug
Ungleichungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:22 Di 29.11.2011
Autor: sissile

hei ;) danke
Und warum gehört da ein [mm] \le [/mm] und kein < .
Übehaupt bei den Falluntercshiedungen dachte ich immer nicht man z.B für (größer) [mm] \ge [/mm] 0 und für (kleiner) < 0. ?

Bezug
                        
Bezug
Ungleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:15 Di 29.11.2011
Autor: Steffi21

Hallo, erneut zu Fall 2:

[mm] x^{2}-4<0 [/mm]

[mm] x^{2}<4 [/mm]

-2<x<2

jetzt zur Ungleichung

[mm] \bruch{3x-6}{x^{2}-4}\ge1 [/mm]

[mm] 3x-6\le x^{2}-4 [/mm]

[mm] 0\le x^{2}-3x+2 [/mm]

[mm] 0\le(x-2)*(x-1) [/mm]

es steht kleiner/GLEICH, also dürfen die Faktoren x-2 und x-1 auch GLEICH 0 sein, für x=2 wird x-2 zu Null, für x=1 wird x-1 zu Null,

jetzt steht aber die Bedingung aus Fall 2: -2<x<2, was wiederum bedeutet, -2 gehört nicht zur Lösungsmenge, für -2 wäre ja die Division durch Null

Steffi

Bezug
                                
Bezug
Ungleichungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:52 Di 29.11.2011
Autor: sissile

danke an euch beide.
Schönen Abend ;)

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