Ungleichungen beweisen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:36 Sa 18.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Man beweise:
a) [mm] e^{x} \ge [/mm] 1+x für alle x [mm] \in \IR. [/mm] (Hinweis: Ist -1 < x < 0, so gilt [mm] |e^{-x}-1| \le \bruch{|x|}{1-|x|}).
[/mm]
b) [mm] e^{\bruch{y}{1+y}} \le [/mm] 1+y für alle y > -1. (Hinweis: Setze [mm] x=-\bruch{y}{1+y}) [/mm] |
Hallo zusammen,
ich habe die Aussagen bewiesen. Es wäre nett, wenn jemand drüber schauen könnte.
a) Den Hinweis habe ich erstmal nicht verwendet, und hab es mit vollständiger Induktion bewiesen:
IA: n=1: e > 2 gilt nach definition von e.
IS: zz: [mm] e^{x+1} \ge [/mm] 1+x+1. Es gilt [mm] e^{x+1}=e*e^{x} \ge [/mm] 2+x, da nach IV [mm] e^{x} \ge [/mm] 1+x und e >2 nach Definition von e.
Ist es damit etwas nicht schon bewiesen und ich brauche den Hinweis gar nicht?
b) Mit dem Hinweis gilt: [mm] e^{\bruch{y}{1+y}}=e^{-x}=\bruch{1}{e^{x}}.
[/mm]
Jetzt habe ich eine Fallunterscheidung gemacht: Für x=0 ist die Beh. klar.
Für x >0 ist [mm] \bruch{1}{e^{x}} [/mm] <1. Also gilt die Beh. auch. Bleibt noch x<0, dafür ist [mm] \bruch{1}{e^{x}} [/mm] >1. Hier weiß ich nicht mehr wie ich abschätzen kann.
Vielen Dank
lg
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Huhu,
> a) Den Hinweis habe ich erstmal nicht verwendet, und hab es
> mit vollständiger Induktion bewiesen:
vollständige Induktion machst du aber über [mm] $\IN$. [/mm] Du sollst es aber für [mm] $x\in\IR$ [/mm] beweisen.
Für [mm] $x\in\IN$ [/mm] hast du ja, was ist mit [mm] $x\in\IR\setminus\IN$ [/mm] ?
> b) Mit dem Hinweis gilt:
> [mm]e^{\bruch{y}{1+y}}=e^{-x}=\bruch{1}{e^{x}}.[/mm]
>
> Jetzt habe ich eine Fallunterscheidung gemacht: Für x=0
> ist die Beh. klar.
>
> Für x >0 ist [mm]\bruch{1}{e^{x}}[/mm] <1. Also gilt die Beh. auch.
Warum? Dann stehts links was kleiner Eins, rechts aber auch.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Mo 20.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> Huhu,
>
> > a) Den Hinweis habe ich erstmal nicht verwendet, und hab es
> > mit vollständiger Induktion bewiesen:
>
> vollständige Induktion machst du aber über [mm]\IN[/mm]. Du sollst
> es aber für [mm]x\in\IR[/mm] beweisen.
> Für [mm]x\in\IN[/mm] hast du ja, was ist mit [mm]x\in\IR\setminus\IN[/mm]
> ?
Stimmt,das war also der Haken. Ich komme da nicht mehr weiter. Ich hab ein paar Umformungen macht, zuerst für -1 < x < 0:
[mm] e^{x} \ge [/mm] 1+x [mm] \Rightarrow [/mm] 1 [mm] \ge \bruch{1}{e^{x}}+\bruch{x}{e^{x}} \Rightarrow [/mm] 0 [mm] \ge e^{-x}-1+x*e^{x} [/mm] . Dann habe ich den Hinweis benutzt und es folgt: 0 [mm] \ge \bruch{|x|}{1-|x|} \Rightarrow [/mm] 0 [mm] \ge \bruch{1}{1-x}+e^{-x}.
[/mm]
Dann habe ich aber keine sinnvolle Umformung mehr hingekriegt und habe mich im Kreis gedreht.
Weiß jemand wie ich weitermachen kann?
>
> > b) Mit dem Hinweis gilt:
> > [mm]e^{\bruch{y}{1+y}}=e^{-x}=\bruch{1}{e^{x}}.[/mm]
> >
> > Jetzt habe ich eine Fallunterscheidung gemacht: Für x=0
> > ist die Beh. klar.
> >
> > Für x >0 ist [mm]\bruch{1}{e^{x}}[/mm] <1. Also gilt die Beh. auch.
>
> Warum? Dann stehts links was kleiner Eins, rechts aber
> auch.
Nein, es ist doch dann: [mm] \bruch{1}{e^{x}} \le [/mm] 1+y. Da aber y > -1 lt. Vor. gilt die Ungleichung oder verstehe ich da was falsch?
Vielen Dank
lg
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Huhu,
> [mm]e^{x} \ge[/mm] 1+x [mm]\Rightarrow[/mm] 1 [mm]\ge \bruch{1}{e^{x}}+\bruch{x}{e^{x}} \Rightarrow[/mm]
> 0 [mm]\ge e^{-x}-1+x*e^{x}[/mm] . Dann habe ich den Hinweis benutzt
> und es folgt: 0 [mm]\ge \bruch{|x|}{1-|x|} \Rightarrow[/mm] 0 [mm]\ge \bruch{1}{1-x}+e^{-x}.[/mm]
Ok, vorweg: Dein erster Umformungsschritt ist ok, kriegst du aber auch alles schneller hin, nämlich:
[mm] $e^x \ge [/mm] 1+x [mm] \Rightarrow [/mm] 1 [mm] \ge e^{-x}(1+x) \Rightarrow [/mm] 0 [mm] \ge e^{-x}(1+x) [/mm] - 1$
Nun brauchst du für den Fall [mm] $-1\le [/mm] x < [mm] \le [/mm] 0$ den Hinweis noch gar nicht, sondern kannst ganz rudimentär argumentieren mit [mm] $-1\le [/mm] x < [mm] \le [/mm] 0$:
[mm] $e^{-x} \le ?,\; [/mm] ? [mm] \le [/mm] (1+x) [mm] \le [/mm] ? ; [mm] \Rightarrow e^{-x}(1+x) \le [/mm] 1 [mm] \Rightarrow e^{-x}(1+x) [/mm] - 1 [mm] \le [/mm] 0$
Die Fragezeichen ersetz mal selbst und begründe 
> > Warum? Dann stehts links was kleiner Eins, rechts aber
> > auch.
> Nein, es ist doch dann: [mm]\bruch{1}{e^{x}} \le[/mm] 1+y. Da aber
> y > -1 lt. Vor. gilt die Ungleichung oder verstehe ich da
> was falsch?
Du hast es doch selbst erwähnt. Es gilt $y>-1$, dann kann die rechte Seite irgendwas ganz nah an Null werden, von der linken weißt du aber nur, dass die kleiner als 1 (!) ist.
Und die Relation dazwischen ist nicht klar!
Vorschläge von mir:
Entweder du versuchst für den Fall x>0 bei a) was mit dem Hinweis zu basteln, oder du stellst die Ungleichung um zu:
[mm] $e^x [/mm] - 1 - x [mm] \ge [/mm] 0$ und zeigst, dass die Funktion $f(x) = [mm] e^x [/mm] - 1 - x $ ein globales Minimum bei x=0 hat mit $f(0) = 0$.
Find ich persönlich schöner und schneller.
Bei der b) überleg mal noch ein bisschen 
MFG,
Gono.
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