Ungleichungen mit Taylorreihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:18 Mi 06.04.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | | Man zeige: [mm] $|log(1+x)-x|\le x^{2} [/mm] ~ ~ [mm] \forall [/mm] |x| [mm] \le \frac{1}{2}$ [/mm] |
Hallo,
Ich muss hier doch die oberste [mm] (\frac{1}{2}) [/mm] und die unterste (0) Grenze einsetzen und wenn die Gleichung erfüllt ist bin ich fertig.
$mit x=0, [mm] |log(1+x)-x|\le x^{2} \Rightarrow 0\le [/mm] 0 $
für [mm] $x=\frac{1}{2}$ [/mm] die taylorentwicklung für $log(1+x)$ ergibt: [mm] $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}x^{n}}{n}$
[/mm]
Mit der Dreiecksungleichung und die abschätzung von [mm] $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{|x|^{n}}{n}$ [/mm] folgt:
[mm] $|log(1+x)-x|\le \frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}\sum_{n=0}^{\infty}|x|=\frac{x^{2}}{2}x^{2}x^{2}\frac{|x|}{3(1-|x|} \le \frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{2}}{3}=\frac{5x^{2}}{6}\le x^{2}$
[/mm]
Ist das so richtig?
Ich habe diese Fragen in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:39 Do 07.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Man zeige: [mm]|log(1+x)-x|\le x^{2} ~ ~ \forall |x| \le \frac{1}{2}[/mm]
>
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> Hallo,
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> Ich muss hier doch die oberste [mm](\frac{1}{2})[/mm] und die
> unterste (0) Grenze einsetzen und wenn die Gleichung
> erfüllt ist bin ich fertig.
Mein lieber Herr Gesangsverein ! Du hast Vorstellungen von Mathematik !
>
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> [mm]mit x=0, |log(1+x)-x|\le x^{2} \Rightarrow 0\le 0[/mm]
>
>
> für [mm]x=\frac{1}{2}[/mm] die taylorentwicklung für [mm]log(1+x)[/mm]
> ergibt: [mm]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}x^{n}}{n}[/mm]
>
>
> Mit der Dreiecksungleichung und die abschätzung von
> [mm]\sum_{n=2}^{\infty}\frac{|x|^{n}}{n}[/mm] folgt:
>
> [mm]|log(1+x)-x|\le \frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}\sum_{n=0}^{\infty}|x|=\frac{x^{2}}{2}x^{2}x^{2}\frac{|x|}{3(1-|x|} \le \frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{2}}{3}=\frac{5x^{2}}{6}\le x^{2}[/mm]
>
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> Ist das so richtig?
Ne. da oben blickt man vor lauter Chaos nicht durch !
Die Idee mit der Taylorentwicklung ist goldrichtig, nur was dann kommt ist die übliche kushkush-Chaos-Umsetzung.
Mit der Taylorentwicklung erhält man:
$|log(1+x)-x| [mm] \le \summe_{n=2}^{\infty}\bruch{|x|^n}{n} \le \bruch{1}{2}* \summe_{n=2}^{\infty}|x|^n= \bruch{1}{2}* x^2*\summe_{n=0}^{\infty}|x|^n=\bruch{1}{2}* x^2*\bruch{1}{1-|x|} \le x^2$ [/mm] für |x|<1/2
FRED
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> Ich habe diese Fragen in keinem anderen Forum gestellt.
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> Danke und Gruss
>
> kushkush
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:38 Do 07.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> Mit Taylorentwicklung erhält man
DAs habe ich auch erhalten! Aber du hast nach dem zweiten GLied die Summe mit der geometrischen Reihe abgeschätzt und ich nach der dritten.
Wieso ist meines dann falsch???
> FRED
Danke
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:41 Do 07.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> > Mit Taylorentwicklung erhält man
>
> DAs habe ich auch erhalten! Aber du hast nach dem zweiten
> GLied die Summe mit der geometrischen Reihe abgeschätzt
> und ich nach der dritten.
>
>
> Wieso ist meines dann falsch???
Du hattest oben:
$ [mm] |log(1+x)-x|\le \frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}\sum_{n=0}^{\infty}|x|=\frac{x^{2}}{2}x^{2}x^{2}\frac{|x|}{3(1-|x|} \le \frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{2}}{3}=\frac{5x^{2}}{6}\le x^{2} [/mm] $
Kannst Du mir das erste "=" erklären ?
FRED
>
> > FRED
>
> Danke
>
> Gruss
> kushkush
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:54 Do 07.04.2011 | | Autor: | kushkush |
$ [mm] |log(1+x)-x|\le \frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}\sum_{n=0}^{\infty}|x|=\frac{x^{2}}{2}x^{2}x^{2}\frac{|x|}{3(1-|x|} \le \frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{2}}{3}=\frac{5x^{2}}{6}\le x^{2} [/mm] $ falsch
Aber so stimmt es : $ [mm] |log(1+x)-x|\le \frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}\sum_{n=0}^{\infty}|x|^{n}=\frac{x^{2}}{2}+x^{2}\frac{|x|}{3(1-|x|)} \le \frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{2}}{3}=\frac{5x^{2}}{6}\le x^{2} [/mm] ~ [mm] \forall |x|\le \frac{1}{2} [/mm] $
?
> FRED
Danke
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:08 Do 07.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> [mm]|log(1+x)-x|\le \frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}\sum_{n=0}^{\infty}|x|=\frac{x^{2}}{2}x^{2}x^{2}\frac{|x|}{3(1-|x|} \le \frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{2}}{3}=\frac{5x^{2}}{6}\le x^{2}[/mm]
> falsch
>
> Aber so stimmt es : [mm]|log(1+x)-x|\le \frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}\sum_{n=0}^{\infty}|x|^{n}=\frac{x^{2}}{2}+x^{2}\frac{|x|}{3(1-|x|)} \le \frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{2}}{3}=\frac{5x^{2}}{6}\le x^{2} ~ \forall |x|\le \frac{1}{2}[/mm]
Nein.
1. Nach dem 1. [mm] \le [/mm] muß [mm] |x|^3 [/mm] stehen und nicht [mm] x^3
[/mm]
2. Das erste "=" ist falsch. Richtig ist [mm] \le [/mm]
3. Was macht |x| nach dem 1. "=" in 2. Summanden ? Da sollte eine 1 stehen.
4. Ob der Rest stimmt ?
FRED
>
> ?
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>
> > FRED
>
> Danke
>
> Gruss
> kushkush
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:17 Do 07.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo
$ [mm] |log(1+x)-x|\le \frac{x^{2}}{2}+\frac{|x^{3}|}{3}\sum_{n=0}^{\infty}|x|^{n}\le \frac{x^{2}}{2}+x^{2}\frac{|x|}{3(1-|x|)} \le \frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{2}}{3}=\frac{5x^{2}}{6}\le x^{2} [/mm] ~ [mm] \forall |x|\le \frac{1}{2} [/mm] $
> was macht |x|
Wieso?? es ist doch: [mm] $\frac{|x^{3}|}{3}\sum_{n=0}^{\infty}|x|^{n}= \frac{|x^{3}|}{3(1-|x|)}=\frac{x^{2}|x|}{3(1-|x|)} \le \frac{x^{2}}{3} ~\forall |x|\le \frac{1}{2}$
[/mm]
> Ob der Rest stimmt?
Jetzt schon?!
> FRED
Danke
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:35 Do 07.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
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> [mm]|log(1+x)-x|\le \frac{x^{2}}{2}+\frac{|x^{3}|}{3}\sum_{n=0}^{\infty}|x|^{n}\le \frac{x^{2}}{2}+x^{2}\frac{|x|}{3(1-|x|)} \le \frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{2}}{3}=\frac{5x^{2}}{6}\le x^{2} ~ \forall |x|\le \frac{1}{2}[/mm]
>
> > was macht |x|
>
> Wieso?? es ist doch:
> [mm]\frac{|x^{3}|}{3}\sum_{n=0}^{\infty}|x|^{n}= \frac{|x^{3}|}{3(1-|x|)}=\frac{x^{2}|x|}{3(1-|x|)} \le \frac{x^{2}}{3} ~\forall |x|\le \frac{1}{2}[/mm]
>
> > Ob der Rest stimmt?
>
> Jetzt schon?!
Ja
FRED
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> > FRED
> Danke
>
> Gruss
> kushkush
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:41 Do 07.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo
> Ja
Danke!
> FRED
Gruss
kushkush
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