Ungleichungsbeweis < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:17 Fr 07.11.2008 | | Autor: | manigor |
| Aufgabe | Zeige für m,n [mm] \in \IN \{0} [/mm] und m<n
(1+ [mm] (\bruch{1}{m})^m) [/mm] < (1+ [mm] (\bruch{1}{n})^n) [/mm] |
Hallo
könnte mir einer weiterhelfen?
Ich habe das Binominaltheorem angewandt und komme dann zu
[mm] \summe_{k=0}^{m} \vektor{m \\ k} (\bruch{1}{m})^{m-k} <\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} (\bruch{1}{n})^{n-k} [/mm]
nun ziehe ich die zweite Summe auseinander und subtrahiere die erste
0< [mm] \summe_{k=m+1}^{n} \vektor{n \\ k} (\bruch{1}{n})^{n-k} +\summe_{k=0}^{m} \vektor{n \\ k} (\bruch{1}{n})^{n-k} [/mm] - [mm] \summe_{k=0}^{m} \vektor{m \\ k} (\bruch{1}{m})^{m-k} [/mm]
und nun habe ich keine Idee mehr
Hoffentlich kann mir einer von euch weiterhelfen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:32 Fr 07.11.2008 | | Autor: | abakus |
> Zeige für m,n [mm]\in \IN \{0}[/mm] und m<n
> (1+ [mm](\bruch{1}{m})^m)[/mm] < (1+ [mm](\bruch{1}{n})^n)[/mm]
Hallo,
bist du sicher, dass das "hoch n" bzw. "hoch m" in der von dir angegebenen Ungleichung so richtig steht (nicht etwa außerhalb der Klammer)?
Sonst wäre der Summand 1 auf beiden Seiten völlig überflüssig.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:12 Fr 07.11.2008 | | Autor: | manigor |
ja hab mich verschrieben das hoch m bzw. n gehört hinter die Klammer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:17 Fr 07.11.2008 | | Autor: | abakus |
> ja hab mich verschrieben das hoch m bzw. n gehört hinter
> die Klammer
Dann läuft es darauf hinaus, [mm] (\bruch{n+1}{n})^n<(\bruch{n+2}{n+1})^{n+1} [/mm] zu beweisen.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:38 Fr 07.11.2008 | | Autor: | reverend |
Ein schöner Weg, den abakus da vorschlägt.
Du könntest auch versuchen, folgende Terme ihrer Größe nach zu ordnen:
[mm] (1+\bruch{1}{m})^{m}, (1+\bruch{1}{m})^{n}, (1+\bruch{1}{n})^{m}, (1+\bruch{1}{n})^{n}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:48 Fr 07.11.2008 | | Autor: | manigor |
Sorry aber ich weiß nicht wie ich auf den Term von Abakus kommen soll. Es muss nicht unbedingt durch Induktion bewiesen werden, es reicht auch durch direktes rechnen. Ist mein Ansatz völlig falsch oder kann man da noch was mit machen? Als Hinweis stand da, dass man das Binominaltehorem anwenden sollte?
Gruß und Dank Manigor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:05 Fr 07.11.2008 | | Autor: | reverend |
abakus setzt eigentlich eine vollständige Induktion voraus. Das ist hier eine geschickte Vorgehensweise.
Wenn die genannte Ungleichung für ein k=m+1 erfüllt ist, dann ist sie auch für n=m+1 erfüllt. Weniger allgemein: wenn m=12, n=17 ist, dann reicht es zu zeigen, dass für ein beliebiges m die Ungleichung für n=m+1 erfüllt ist. Denn dann ist sie es für 13 etc.: f(m)<f(m+1)<f(m+...)<f(m+a)=f(n).
Kannst Du die Ungleichung von abakus denn mit Hilfe binomischer Formeln beweisen? Dann bist Du eigentlich fertig, jedenfalls wenn Du einsiehst, warum 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:11 Fr 07.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was du gemacht hast ist nicht falsch. Aber du bist steckengeblieben, nachdem du die formel nur als binomische formel ausgeschrieben hast. Wie du da weitermachen sollst, sehen wir nicht. Drum hast du auch keinen rat dazu gekriegt. Das heisst nichtt, dass es sicher so nicht geht, nur muss dir dann halt was gutes dazu einfallen!
Abakus formel ist nur statt m n=1 genommen und statt [mm] (1+1/n)^n=(\bruch{n+1}{n})^n
[/mm]
Gruss lula
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