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Ungleichungskette: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:53 Sa 12.02.2011
Autor: kushkush

Aufgabe
Sei [mm] $0
[mm] $a^{2}\le (\frac{2ab}{a+b})^{2}\le ab\le (\frac{a+b}{2})^{2}\le b^{2}$ [/mm]

Hallo,


Ich fange mal hinten an:

[mm] $0\le 3b^{2}-a(a-2b)$ [/mm] ,dass das stimmt folgt aus der Voraussetzung
[mm] $\Rightarrow 0\le 3b^{2}-a^{2}-2ab$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow \frac{a^{2}+2ab+b^{2}}{4}\le b^{2}$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow (\frac{a+b}{2})^{2}\le b^{2}$ [/mm]

[mm] $0\le (a-b)^{2}$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow 4ab\le a^{2}+2ab+b^{2}$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow ab\le \frac{a^{2}+2ab+b^{2}}{4}$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow ab\le (\frac{a+b}{2})^{2}$ [/mm]

[mm] $0\le a^{3}b+ab^{3}$ [/mm] stimmt, folgt aus Voraussetzung
[mm] $\Rightarrow 2a^{2}b^{2}\le a^{3}b+ab^{3}+2a^{2}b^{2}$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow \frac{2a^{2}b^{2}}{a^{2}+2ab+b^{2}}\le [/mm] ab$
[mm] $\Righttarow (\frac{2ab}{a+b})^{2}\le [/mm] ab$

[mm] $0\le [/mm] a(b-a)$ , stimmt folgt aus Voraussetzung
[mm] $\Rightarrow 0\le ab-a^{2}$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow a^{2}\le [/mm] ab$
[mm] $\Rightarrow a^{2}+ab \le [/mm] 2ab$
[mm] $\Rightarrow a(a+b)\le [/mm] 2ab$
[mm] $\Rightarrow a\le \frac{2ab}{a+b}$ [/mm]
[mm] $\Righttarow a^{2}\le (\frac{2ab}{a+b})^{2} [/mm]


Stimmt das so?


Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.


Danke und Gruss

kushkush

        
Bezug
Ungleichungskette: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:01 Sa 12.02.2011
Autor: kamaleonti

Hallo,
> Sei [mm]0
> Ungleichungen:
>  
> [mm]a^{2}\le (\frac{2ab}{a+b})^{2}\le ab\le (\frac{a+b}{2})^{2}\le b^{2}[/mm]
>  
> Hallo,
>  
>
> Ich fange mal hinten an:
>
> [mm]0\le 3b^{2}-a(a-2b)[/mm] ,dass das stimmt folgt aus der
> Voraussetzung
>  [mm]\Rightarrow 0\le 3b^{2}-a^{2}-2ab[/mm]
>  [mm]\Rightarrow \frac{a^{2}+2ab+b^{2}}{4}\le b^{2}[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow (\frac{a+b}{2})^{2}\le b^{2}[/mm]
>  
> [mm]0\le (a-b)^{2}[/mm]
>  [mm]\Rightarrow 4ab\le a^{2}+2ab+b^{2}[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow ab\le \frac{a^{2}+2ab+b^{2}}{4}[/mm]
>  [mm]\Rightarrow ab\le (\frac{a+b}{2})^{2}[/mm]
>  
> [mm]0\le a^{3}b+ab^{3}[/mm] stimmt, folgt aus Voraussetzung
>  [mm]\Rightarrow 2a^{2}b^{2}\le a^{3}b+ab^{3}+2a^{2}b^{2}[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow \frac{2a^{2}b^{2}}{a^{2}+2ab+b^{2}}\le ab[/mm]
>  
> [mm]\Righttarow (\frac{2ab}{a+b})^{2}\le ab[/mm]
>  
> [mm]0\le a(b-a)[/mm] , stimmt folgt aus Voraussetzung
>  [mm]\Rightarrow 0\le ab-a^{2}[/mm]
>  [mm]\Rightarrow a^{2}\le ab[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow a^{2}+ab \le 2ab[/mm]
>  [mm]\Rightarrow a(a+b)\le 2ab[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow a\le \frac{2ab}{a+b}[/mm]
>  [mm]$\Righttarow a^{2}\le (\frac{2ab}{a+b})^{2}[/mm]
>  
>
> Stimmt das so?

Alles gut und schön aufgeschrieben! :-)

Gruß


Bezug
                
Bezug
Ungleichungskette: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:06 Sa 12.02.2011
Autor: kushkush

Hallo kamaleonti,


Danke!!



Gruss

kushkush

Bezug
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