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Ungleichungssystem: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:01 Mi 06.09.2006
Autor: Wurzelchen

Aufgabe
Eine Jugendgruppe benötigt neue Zelte. Ein Großhändler bietet 8-Personen-Zelte zu je 60 EUR und 12-Personen-Zelte zu je 120 EUR.
Der Großhändler hat aber nur noch fünfzehn 8-Persone-Zelte udn zehn 12-Personen-Zelte auf Lager. Die Jugendgruppe darf höchstens 1560 EUr ausgeben. Wegen der Aufbewahrung sollen höchstens 19 Zelte gekauft werden.
1. Geben Sie die Nebenbedingungen als Ungleichungen an.
2. Stellen Sie die Einkaufsbedingungen als schraffierte Fläche in einem Koordinatensystem dar.
3. Geben Sie die Koordinaten der Eckpunkte der gezeichneten Fläche an.
4. Wie muss eingekauft werden, damit möglichste viele Personen in den Zelten unterkommen? Was ist die maximale Personenzahl?

1.) Folgende Variablen habe ich festgelegt: Anzahl 8-Pers.-Zelt=x; Anzahl 12-Pers.-Zelt=y
Dann habe ich aus dem Text folgende Nebenbedingungen erstellt:
I.) [mm] x+y \le 19 [/mm]
II.) [mm] x *60 EUR + y * 120 EUR \le 1560 EUR [/mm]
III.) [mm] x \le 15 [/mm]
IV.) [mm] y \le 10 [/mm]

Ich habe dann versucht ineinander einzusetzten:
Mit  III  in I ergibt sich [mm]y \ge 4[/mm]
Mit IV in I ergibt sich [mm]x \ge 9[/mm]

Dann habe ich diese beiden Fälle in II eingesetzt:

x=9 und y = 10 => II nicht erfüllt
x=15 und y=4 => II ist erfüllt...

Durch weiteres Rumprobieren findet man noch viele mögliche Kombinationen für II..... aber das kann es ja nicht sein.
Ich habe einfach vergessen, wie ich das vernünftig mathematisch weiter angeben kann. WER kann mir den entscheidenden Tip geben???

2.)/ 3.) Um mir das dann vorzustellen, habe ich meine Wertepaare, die ich durch Proboieren erhalten habe in ein Koordinatensystem aufgetragen. Da ergibt sich aber ein ziemlich "krummes" Gebilde. Weiß nicht, ob das gemeint ist. Meine Koordinaten sind 0/0. 0/10, 6/10, 7/9. 8/9, 9/8, 10/8, 11/7, 12/7, 13/6, 14/5, 15/4 und 15/0 mit der Anzahl der 8er-Zelte auf der x-Achse und der Anzahl der 12er-Zelte auf der y-Achse.

Aufgabe 4.) bin ich ebenfalls mit Probieren angegangen und finde eine Maximum für die Kombination 12 8er-Zelte und 7 12er-Zelte bei einer maximalen Personenzahl von 180.
Aber auch hierfür muss es doch einen Rechenwege geben.

Für Tips bin ich dankbar.



        
Bezug
Ungleichungssystem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:15 Mi 06.09.2006
Autor: Palin

Probier mal die Einzelnen Ungleichungen als "Funktionen" aufzufassen also
y= 19-x
y= (1560-60x)/120
für x=15 Grade paralel zur y-Achse
für y=10 Grade paralel zur x-Achse

Damit soltest du dann deine Fläche bekommen und 2 / 3 Lösen können.
Auserdem einen hinweiß auf 4 bekommen.

Bezug
                
Bezug
Ungleichungssystem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:54 Do 07.09.2006
Autor: Wurzelchen

Ok, mit diesen vier Geraden bekomme ich eine Fläche, die ganz ähnlich meiner Fläche aussieht, die ich durch Probieren bekommen habe.
Mein Problem damit ist aber, dass es ja keine halben Zelt gibt, die Gerade suggeriert aber, dass man z.B. auch 7 8erZelte und 9,5 12er Zelte kaufen könnte, was ja praktisch Quatsch ist.
Man müßte also auf ganze Zahlen beschränken.
Das Maximum (4) ergibt sich aus dem Schnittpunkt der beiden Geraden - die Begründung dafür ist mir allerdings noch nicht klar.
Wie erkläre ich das?

Bezug
                        
Bezug
Ungleichungssystem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:42 Do 07.09.2006
Autor: Zwerglein

Hi, Wurzelchen,

typische Aufgabe zur "linearen Optimierung".

Wenn Du die durch die Ungleichungen beschriebene Fläche gezeichnet hast, musst Du aus der letzten Bedingung (maximale Personenzahl) eine Geradenschar bilden. Eine dieser Geraden wird (normalerweise) diese Fläche in einem Punkt "berühren". Diese Gerade gibt Dir dann die Lösung der Aufgabe an.

Deine Gerade entsteht aus der Gleichung: 8x + 12 y = k
Auflösen nach y:
y = [mm] -\bruch{2}{3}x [/mm] + c   (c als Abkürzung für [mm] \bruch{k}{12}). [/mm]

Nun zeichnest Du also in Dein obiges KoSy eine beliebige Gerade mit der Steigung [mm] -\bruch{2}{3} [/mm] und verschiebst sie so lange, bis sie mit Deiner Fläche genau 1 Punkt gemeinsam hat. Dieser Punkt - genauer seine x- und y-Koordinate - ist die Lösung der Aufgabe.

mfG!
Zwerglein

Bezug
                        
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Ungleichungssystem: Zusatzinfo
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:46 Do 07.09.2006
Autor: Zwerglein

Hi, wurzelchen,

schau doch z.B. mal dieses Beispiel an:

[]http://www.maphi.de/mathematik/optimierung/opt_linear_graphisch.html

mfG!
Zwerglein

Bezug
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