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| Aufgabe | Sei M eine quadratische Matrix über [mm] \IC. [/mm] M heißt unitär, wenn die Spalten von M ein Orthonormalsystem bezüglich des Standardskalarproduktes bilden. Seien [mm] U(n):=\{M\in Gl_{n}(\IC)|M^{-1}=\overline{M}^{T}\}
[/mm]
[mm] D^{+}(n):=\{D\in Gl_{n}(\IC)|D=(d_{i,j}), d_{i,j}\begin{cases} =0, & \mbox{für } i\not=j \\ >0, & \mbox{sonst} \end{cases}\}
[/mm]
[mm] \Delta(n):=\{T\in M_{\n\times n}(\IC)|T=(t_{i,j}),t_{i,j}= 0 & \mbox{für } i>j \}
[/mm]
z.z.:
1) M ist unitär [mm] \gdw [/mm] M invertierbar und [mm] M^{-1}=\overline{M}^{T}
[/mm]
2) M unitär [mm] \Rightarrow M^{T}, \overline{M} [/mm] und [mm] M^{-1} [/mm] sind unitär
3) M unitär [mm] \Rightarrow [/mm] |det(M)|=1
4) U(n) ist eine Gruppe bezüglich Matrizenmultiplikation
5) [mm] \forall M\in Gl_{n}(\IC) \exists X\in [/mm] U(n), [mm] Y\in D^{+}(n), Z\in\Delta(n): [/mm] M=X*Y*Z
Ist diese Darstellung eindeutig?
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Haidiho!
Bis auf 5) sollte hier alles mehr oder weniger zu schaffen sein, wenn man erstmal die Äquivalenz in 1) gezeigt hat (denke ich zumindest xD)
Doch irgendwie krieg ich das nicht so hin...
Sei [mm] M=(e_{1}...e_{n}) [/mm] wobei [mm] e_{i}:=\vektor{e_{i}^{1} \\ \vdots \\ e_{i}^{n}} [/mm] derart, dass
[mm] =\summe_{k=1}^{n}e_{i}^{k}*e_{j}^{k}=\delta_{i,j}
[/mm]
Dann gilt [mm] \overline{M}^{T}=\vektor{\overline{e_{1}} \\ \vdots \\ \overline{e_{n}}} [/mm]
[mm] \overline{M}^{T}*M=() [/mm]
damit das die Einheitsmatrix ist, sollte das auch das Kroneckerdelta sein, aber irgendwie stört die komplexe Konjugation -_-
Ist das denn soweit richtig und man kann irgendwie zeigen, dass das trotzdem das Kroneckerdelta ist?
Ach ja, zu 5) hab ich noch nicht so wirklich nen Ansatz... Warum ist denn jede invertierbare Matrix Produkt von unitärer, positiver Diagonal- und obererer Dreiecksmatrix??? Wie zur Hölle soll man das denn zeigen?
lg
Salamence
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Hallo!
> Sei M eine quadratische Matrix über [mm]\IC.[/mm] M heißt unitär,
> wenn die Spalten von M ein Orthonormalsystem bezüglich des
> Standardskalarproduktes bilden. Seien [mm]U(n):=\{M\in Gl_{n}(\IC)|M^{-1}=\overline{M}^{T}\}[/mm]
>
> [mm]D^{+}(n):=\{D\in Gl_{n}(\IC)|D=(d_{i,j}), d_{i,j}\begin{cases} =0, & \mbox{für } i\not=j \\ >0, & \mbox{sonst} \end{cases}\}[/mm]
>
> [mm]\Delta(n):=\{T\in M_{\n\times n}(\IC)|T=(t_{i,j}),t_{i,j}= 0 & \mbox{für } i>j \}[/mm]
>
> z.z.:
> 1) M ist unitär [mm]\gdw[/mm] M invertierbar und
> [mm]M^{-1}=\overline{M}^{T}[/mm]
> 2) M unitär [mm]\Rightarrow M^{T}, \overline{M}[/mm] und [mm]M^{-1}[/mm]
> sind unitär
> 3) M unitär [mm]\Rightarrow[/mm] |det(M)|=1
> 4) U(n) ist eine Gruppe bezüglich Matrizenmultiplikation
> 5) [mm]\forall M\in Gl_{n}(\IC) \exists X\in[/mm] U(n), [mm]Y\in D^{+}(n), Z\in\Delta(n):[/mm]
> M=X*Y*Z
> Ist diese Darstellung eindeutig?
>
> Haidiho!
>
> Bis auf 5) sollte hier alles mehr oder weniger zu schaffen
> sein, wenn man erstmal die Äquivalenz in 1) gezeigt hat
> (denke ich zumindest xD)
>
> Doch irgendwie krieg ich das nicht so hin...
>
> Sei [mm]M=(e_{1}...e_{n})[/mm] wobei [mm]e_{i}:=\vektor{e_{i}^{1} \\ \vdots \\ e_{i}^{n}}[/mm]
> derart, dass
>
> [mm]=\summe_{k=1}^{n}e_{i}^{k}*e_{j}^{k}=\delta_{i,j}[/mm]
>
> Dann gilt [mm]\overline{M}^{T}=\vektor{\overline{e_{1}} \\ \vdots \\ \overline{e_{n}}}[/mm]
Hier solltest du eventuell noch schreiben: [mm] \vektor{\overline{e_{1}}^{T} \\ \vdots \\ \overline{e_{n}}^{T}}, [/mm] um zu verdeutlichen, was du meinst.
> [mm]\overline{M}^{T}*M=()[/mm]
> damit das die Einheitsmatrix ist, sollte das auch das
> Kroneckerdelta sein, aber irgendwie stört die komplexe
> Konjugation -_-
Das braucht dich nicht zu stören - im Komplexen lautet das Standardskalarprodukt gerade $<x,y> = [mm] x^{T}*\overline{y}$...
[/mm]
> Ach ja, zu 5) hab ich noch nicht so wirklich nen Ansatz...
> Warum ist denn jede invertierbare Matrix Produkt von
> unitärer, positiver Diagonal- und obererer
> Dreiecksmatrix??? Wie zur Hölle soll man das denn zeigen?
Meine Idee wäre, das ganze umzuordnen:
$M = X*Y*Z$
--> $X = [mm] M^{-1}*Y*Z$
[/mm]
X ist die unitäre Matrix. Wir wissen bereits, dass X ebenfalls vollen Rang hat. Das bedeutet, man kann X mit Zeilenumformungen und Zeilenvertauschungen auf obere Dreiecksgestalt bringen. Die zur Umformung benötigten Elementarmatrizen sind regulär (invertierbar).
Grüße,
Stefan
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Heyho!
Zu 5) nochmal:
Könnte das irgendwas damit zu tun haben, dass sich jede quadratische, invertierbare Matrix über den komplexen Zahlen in eindeutiger Weise als Produkt einer unitären Matrix U und einer hermitischen Matrix H mit reellen, strikt positiven Eigenwerten schreiben lässt?
Lässt sich etwa jede hermitische Matrix mit positiven EW in eindeutiger Weise als Produkt einer Diagonalmatrix D über den positiven, reellen Zahlen und einer oberen Dreiecksmatrix T mit einzigem EW 1 schreiben?
Dann hat doch DT auch die EW von D. (Würd ich jetzt mal so annehmen...)
Und die sind dann genauso wie sie auch von H sein sollten...
Doch wenn das so ist, wie beweist man das? Könnte das vielleicht etwas einfacher sein?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Do 10.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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