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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:21 Mo 04.07.2011 | | Autor: | geri |
| Aufgabe | Prüfe nach, dass die folgende Matrix hermitesch ist und dass ihren Eigenvektoren orthogonal sind. Gib die unitäre Matrix an, die A diagonalisiert.
A= [mm] \pmat{ 3 & 1+i & i \\ 1-i & 1 &0 \\ -1 & 0 & 1 } [/mm] |
Hallo zusammen,
also um zu zeigen, dass sie hermitesch ist, muss ich sie ja einfach mit sich selbst multiplizieren und die Einheitsmatrix erhalten. Auch die Orthogonalität der Eigenvektoren habe ich hinbekommen. Jedoch weiß ich nicht, wie ich auf diese unitäre Matrix kommen soll. Ich habe die Formel  = [mm] U^{+}AU [/mm] wobei A die normale, U die unitäre, [mm] U^{+} [/mm] die dazu adjungte und  die diagonalisierte Matrix ist.
Gibt es denn einen bestimmten Algorithmus dafür oder muss man da geschickt raten?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
lG
Geri
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> Prüfe nach, dass die folgende Matrix hermitesch ist und
> dass ihren Eigenvektoren orthogonal sind. Gib die unitäre
> Matrix an, die A diagonalisiert.
> A= [mm]\pmat{ 3 & 1+i & i \\
1-i & 1 &0 \\
\red{-1} & 0 & 1 }[/mm]
> Hallo
> zusammen,
> also um zu zeigen, dass sie hermitesch ist, muss ich sie
> ja einfach mit sich selbst multiplizieren und die
> Einheitsmatrix erhalten.
Dann wäre sie unitär. Schau dir noch einmal die Definition von hermitesch an. Hermitesch ist sie nämlich nicht!
> Auch die Orthogonalität der
> Eigenvektoren habe ich hinbekommen. Jedoch weiß ich nicht,
> wie ich auf diese unitäre Matrix kommen soll. Ich habe die
> Formel  = [mm]U^{+}AU[/mm] wobei A die normale, U die unitäre,
> [mm]U^{+}[/mm] die dazu adjungte und  die diagonalisierte Matrix
> ist.
> Gibt es denn einen bestimmten Algorithmus dafür oder muss
> man da geschickt raten?
Unter der Annahme, dass [mm] $\red{-1}$ [/mm] in Wirklichkeit -i ist:
Versuch dir mal die Matrix U aus den Eigenvektoren zu basteln, indem du diese dann noch so normierst, dass U auch wirklich unitär ist. Nimmst du nur die Eigenvektoren in die Spalten von U, dann hast du nur.$U^+U=diag(1/4,2/3,1/12)$
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> lG
> Geri
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:51 Di 05.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > zusammen,
> > also um zu zeigen, dass sie hermitesch ist, muss ich
> > sie
> > ja einfach mit sich selbst multiplizieren und die
> > Einheitsmatrix erhalten.
> Dann wäre sie unitär. Schau dir noch einmal die
> Definition von hermitesch an. Hermitesch ist sie nämlich
> nicht!
Dann waer sie auch nicht unitaer, sondern einfach eine Matrix der Ordnung 2.
Damit sie unitaer ist, muss sie mit ihrer komplex konjugierten Transponierten multipliziert die Einheitsmatrix ergeben.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:51 Di 05.07.2011 | | Autor: | wieschoo |
Ja. Sorry.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 Di 05.07.2011 | | Autor: | geri |
Hallo,
danke für die Antworten.
> Unter der Annahme, dass [mm]\red{-1}[/mm] in Wirklichkeit -i ist:
> Versuch dir mal die Matrix U aus den Eigenvektoren zu
> basteln, indem du diese dann noch so normierst, dass U auch
> wirklich unitär ist. Nimmst du nur die Eigenvektoren in
> die Spalten von U, dann hast du
> nur.[mm]U^+U=diag(1/4,2/3,1/12)[/mm]
Entschuldigung, das hab ich wohl falsch abgetippt. Das soll wirklich ein -i sein.
Und damit erfüllt sie auch die Definition von Hermitesch.
Also die unitäre Matrix bekomme ich mit den Eigenvektoren? Die sind ja:
[mm] \vektor{1 \\ i-1 \\ i} [/mm] zu dem Eigernwert 0 (=:x)
[mm] \vektor{0 \\ 1 \\ i-1} [/mm] zu dem Eigenwert 1 (=:y)
[mm] \vektor{3 \\ 1-i \\ -i} [/mm] zu dem Eigenwert 4 (=:z)
Wenn ich jetzt die Norm berechne, erhalte ich:
[mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] = 2
[mm] \parallel [/mm] y [mm] \parallel [/mm] = [mm] \wurzel{3}
[/mm]
[mm] \parallel [/mm] z [mm] \parallel [/mm] = [mm] \wurzel{12}
[/mm]
Also ist jetzt: U= 1/12 * (x y z) meine unitäre Matrix?
Grüße
Geri
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> Also die unitäre Matrix bekomme ich mit den
> Eigenvektoren? Die sind ja:
> [mm]\vektor{1 \\
i-1 \\
i}[/mm] zu dem Eigernwert 0 (=:x)
> [mm]\vektor{0 \\
1 \\
i-1}[/mm] zu dem Eigenwert 1 (=:y)
> [mm]\vektor{3 \\
1-i \\
-i}[/mm] zu dem Eigenwert 4 (=:z)
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Deine Eigenwerte und -vektoren habe ich nicht nachgerechnet.
Wenn sie richtig sind, sind die drei Vektoren automatisch orthogonal zueinander, denn sie gehören zu verschiedenen Eigenwerten einer hermiteschen Matrix.
Nun müssen sie noch normiert werden, auch das rechne ich nicht nach:
> Wenn ich jetzt die Norm berechne, erhalte ich:
> [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel[/mm] = 2
> [mm]\parallel[/mm] y [mm]\parallel[/mm] = [mm]\wurzel{3}[/mm]
> [mm]\parallel[/mm] z [mm]\parallel[/mm] = [mm]\wurzel{12}[/mm]
> Also ist jetzt: U= 1/12 * (x y z) meine unitäre Matrix?
Nein.
Deine gesuchte Matrix U ist dann die Matrix [mm] U:=(\bruch{1}{2}x\quad \bruch{1}{\wurzel{3}}y \quad \bruch{1}{\wurzel{12}}z).
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:27 Di 05.07.2011 | | Autor: | geri |
Hallo
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> Deine gesuchte Matrix U ist dann die Matrix
> [mm]U:=(\bruch{1}{2}x\quad \bruch{1}{\wurzel{3}}y \quad \bruch{1}{\wurzel{12}}z).[/mm]
ah ok, das erklärt meinen Fehler.
Vielen Dank.
LG
Geri
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