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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:34 Di 31.01.2006 | | Autor: | jm14 |
| Aufgabe | Mit dem Verfahren von Gram-Schmidt berechne man eine orthonomierte Basis des von der Basis B aufgespannten Vektorraumes. Dabei ist das angegebene Skalarprodukt zu verwenden.
V = [mm] \IR^2 [/mm]
B = [mm] v_1 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0}, v_2 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm]
Skalarprodukt: <v, w> = [mm] 4*x_1*y_1 [/mm] - [mm] 2*x_1*y_2 [/mm] - [mm] 2*x_2*y_1 [/mm] + [mm] 7*x_2*y_2 [/mm] |
Soweit so gut, w1 schaff ich auch zu berechnen (*wow*). Für w2 bekomme ich als Lösung [mm] \vektor{0 \\ 1}, [/mm] was aber laut Lösung nicht richtig ist. Ich habe diesen Vektor durch die normale anwendung des Gram-Schmidt Verfahrens erhalten.
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand erklären kann wie man auf w2 kommt + Erklärung was ich falsch gemacht habe. Danke!
Und noch eine Frage zum Thema unitäre Räume:
Wie untersuche ich, ob Vektoren eine orthonormale Menge von Vektoren bilden?
Vielen Dank für Hilfe & Rat!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Mit Gram-Schmidt kenne ich mich leider nicht aus, aber evtl. würde es helfen, wenn du dein gegebenes Verfahren angibst, da es bei solchen Verfahren schon mal vorkommt, dass es mehrere "Formulierungen" davon gibt, so dass jemand evtl. nicht weiß, was du mit [mm] w_1 [/mm] und [mm] w_2 [/mm] meinst. Aber wie gesagt, mit Gram-Schmidt kenne ich mich nicht aus...
> Und noch eine Frage zum Thema unitäre Räume:
> Wie untersuche ich, ob Vektoren eine orthonormale Menge
> von Vektoren bilden?
Orthonormal bedeutet doch, dass alle Vektoren orthogonal aufeinander stehen und dass sie Norm 1 haben, oder? Norm =1 kannst du doch einfach überprüfen (halt einfach die Norm berechnen) und orthogonal ist doch äquivalent zu Skalarprodukt =0 oder? Dafür müsstest du dann alle Paare von Vektoren skalar multiplizieren und gucken, ob überall 0 rauskommt.
Ich hoffe, ich irre mich nicht, und es ist viel komplizierter...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Di 31.01.2006 | | Autor: | jm14 |
Danke Bastiane,
ich berechne Gram Schmidt wie folgt:
orthonomierter Vektor A = a
orthonomierter Vektor B = b - [mm] \bruch{A^{T}*b}{A^{T}*A} [/mm] *A
Dann errechne ich die induzierte Norm und fertig. (Tja nur stimmt eben mein orthonomierter Vektor B nicht mit 0 und 1)
Dabei hätte ich noch eine Frage zum "Zauberwort" normieren:
Ich weiß zwar, dass damit gemeint ist auf "schöne" Zahlen bringen, aber die theorie dahinter ist mir nicht klar.
Beispiel: Vektor u2 [mm] \vektor{1\\- \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2}} [/mm] wird normiert auf [mm] \vektor{2\\-1\\1} [/mm] .
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Hallo!
Also, evtl. rechne ich deine Gram-Schmidt Variante später mal durch, jetzt erstmal wieder zu deiner zweiten Frage:
> Dabei hätte ich noch eine Frage zum "Zauberwort"
> normieren:
> Ich weiß zwar, dass damit gemeint ist auf "schöne" Zahlen
> bringen, aber die theorie dahinter ist mir nicht klar.
So weit ich weiß, heißt es nicht "auf schöne Zahlen bringen", sondern "auf Länge 1 bringen". Sprich, du verlängerst oder verkürzt den Vektor so, dass er die Norm =1 hat. Der Vektor zeigt dann aber immer noch in die gleiche Richtung, ist nur eben länger oder kürzer, und bei vielen Sachen kann man da besser etwas mit machen.
> Beispiel: Vektor u2 [mm]\vektor{1\\- \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2}}[/mm]
> wird normiert auf [mm]\vektor{2\\-1\\1}[/mm] .
Allerdings kann das dann hier kein Beispiel dafür sein, denn dein "normierter Vektor" hat Länge [mm] \wurzel{6}\not=1.
[/mm]
Allgemein normiert man einen Vektor, indem man ihn durch seine Norm teilt, also:
[mm] \bruch{\vec{v}}{||\vec{v}||}
[/mm]
In [mm] \IR [/mm] kannst du dir das so vorstellen:
Du hast einen "eindimensionalen Vektor" (also quasi eine Zahl), und wenn du sie durch ihren Betrag teilst, erhältst du entweder 1 oder -1, also auf jeden Fall etwas, das den Betrag 1 hat. Und im Mehrdimensionalen ist das genauso. 
Viele Grüße
Bastiane
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