Unitärer Endomorphismus < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:19 Di 01.07.2008 | | Autor: | kiri111 |
| Aufgabe | Sei V der Vektorraum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen [mm] f:\IR \to \IC [/mm] mit f(t+1)=f(t) für alle t [mm] \in \IR. [/mm] Sei a>0 und T: V [mm] \to [/mm] V, T(f)(t):=f(t+a).
Zeige, dass T ein unitärer Endomorphismus ist. |
Die Aufgabe ist bestimmt billig...aber naja... Ich habe schon gezeigt, dass T ein Endomorphismus ist. Aber ich tue mich beim unitär schwer, das heißt ja [mm] T^{\*}=T^{-1} [/mm] bzw. [mm] T^{\*}*T=T*T^{\*}=E
[/mm]
Aber was ist hier die Adjungierte?? Wäre über Hilfe sehr froh. :)
Viele Grüße
kiri
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:40 Di 01.07.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo kiri
> Sei V der Vektorraum der beliebig oft differenzierbaren
> Funktionen [mm]f:\IR \to \IC[/mm] mit f(t+1)=f(t) für alle t [mm]\in \IR.[/mm]
> Sei a>0 und T: V [mm]\to[/mm] V, T(f)(t):=f(t+a).
>
> Zeige, dass T ein unitärer Endomorphismus ist.
> Die Aufgabe ist bestimmt billig...aber naja... Ich habe
> schon gezeigt, dass T ein Endomorphismus ist. Aber ich tue
> mich beim unitär schwer, das heißt ja [mm]T^{\*}=T^{-1}[/mm] bzw.
> [mm]T^{\*}*T=T*T^{\*}=E[/mm]
>
> Aber was ist hier die Adjungierte?? Wäre über Hilfe sehr
> froh. :)
Du brauchst ein Skalarprodukt auf $V$. Ohne das macht es keinen Sinn, von Adjungierter und unitaer zu reden.
Steht da evtl. was in der Aufgabenstellung? Ansonsten: ist's vielleicht [mm] $\langle [/mm] f, g [mm] \rangle [/mm] = [mm] \int_0^1 [/mm] f(x) [mm] \overline{g(x)} [/mm] dx$?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 Di 01.07.2008 | | Autor: | kiri111 |
Genau das dachte ich mir auch! Es steht leider nichts in der Aufgabenstellung... Kann man also ohne Weiteres das Skalarprodukt, das du geschrieben hast, verwenden?
Viele Grüße
kiri
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:44 Di 01.07.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo kiri
> Genau das dachte ich mir auch! Es steht leider nichts in
> der Aufgabenstellung... Kann man also ohne Weiteres das
> Skalarprodukt, das du geschrieben hast, verwenden?
Also bzgl. dem ist es schon selbstadjungiert, und bis auf ein konstantes Vielfaches wird wohl dieses Skalarprodukt gemeint sein. Aber mit entgueltiger Sicherheit kann ich das nicht sagen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 Mi 02.07.2008 | | Autor: | kiri111 |
Du hast Recht, es ist dein besagtes Skalarprodukt gemeint. :)
Nun muss ich für unitär ja nachweisen, dass <T(f)(t),T(g)(t)>=<f(t),g(t)> Korrekt?
Wenn ich das mache komme ich aber an eine Stelle, an der f(t+a)=f(t) gelten muss. Wie kann ich aus f(t+1)=f(t) dieses folgern???
Viele Grüße
kiri
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 Mi 02.07.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo kiri
> Du hast Recht, es ist dein besagtes Skalarprodukt gemeint.
> :)
Ueberrascht mich jetzt nicht so ;)
> Nun muss ich für unitär ja nachweisen, dass
> <T(f)(t),T(g)(t)>=<f(t),g(t)> Korrekt?
Genau, also fuer alle f und g.
> Wenn ich das mache komme ich aber an eine Stelle, an der
> f(t+a)=f(t) gelten muss. Wie kann ich aus f(t+1)=f(t)
> dieses folgern???
Nein, $f(t + a) = f(t)$ brauchst du gar nicht.
Veranschaulichen wir das mal (mit einem leicht anderen Beispiel). Du hast sagen wir mal [mm] $\int_0^4 [/mm] f(t + 1) dt$ und du weisst, dass $f(t + 4) = f(t)$ ist. Also ist $f$ durch die Werte im Intervall $[0, 4)$ eindeutig bestimmt. Stell dir das Intervall $[0, 4)$ wie einen Kreis mit Umfang 4 vor. Die $f$ Funktionen [mm] $\IR \to \IC$ [/mm] mit $f(t + 4) = f(t)$ fuer alle $t$ sind im Prinzip Funktionen von diesen Kreis nach [mm] $\IC$.
[/mm]
Wenn du jetzt $f(t)$ durch $f(t + a)$ ersetzt, `verschiebst' du den Graphen der Funktion nur. (Ueberleg dir das mal genau!) Wenn du also ueber alle Werte integrierst, sollte es ja voellig egal sein ob die Funktion nun verschoben ist oder nicht.
Zurueck zu [mm] $\int_0^4 [/mm] f(t + 1) dt = [mm] \int_0^4 [/mm] f(t) dt$.
Also, wenn du substitutierst, bekommst du [mm] $\int_0^4 [/mm] f(t + 1) dt = [mm] \int_1^5 [/mm] f(t) dt = [mm] \int_1^4 [/mm] f(t) dt + [mm] \int_4^5 [/mm] f(t) dt = [mm] \int_1^4 [/mm] f(t) dt + [mm] \int_0^1 [/mm] f(4 + t) dt$. Aber das hintere ist jetzt [mm] $\int_0^1 [/mm] f(t) dt$, womit die Summe der Integrale [mm] $\int_0^4 [/mm] f(t) dt$ ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Mi 02.07.2008 | | Autor: | kiri111 |
Hallo Felix,
ich verstehe deine Ausführungen. Aber wenn ich jetzt <T(f)(t),T(g)(t)> rechne, dann erhalte ich doch gerade [mm] \integral_{0}^{1}{f(t+a)*g(t+a) dx}, [/mm] wobei f(t+a) komplex konjugiert ist....
hmmm!? Was verstehe ich falsch?
Viele Grüße
kiri
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:16 Do 03.07.2008 | | Autor: | kiri111 |
Niemand? :( Versteht ihr aber mein Problem??
Viele Grüße
kiri
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:44 Do 03.07.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo kiri
> ich verstehe deine Ausführungen. Aber wenn ich jetzt
> <T(f)(t),T(g)(t)> rechne, dann erhalte ich doch gerade
> [mm]\integral_{0}^{1}{f(t+a)*g(t+a) dx},[/mm] wobei f(t+a) komplex
> konjugiert ist....
Ja und? Inwiefern hindert dich das daran, das was ich vorher geschrieben habe anzuwenden? Hast du Probleme mit dem Substitutieren? Oder liegt's an etwas anderem?
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:32 Do 03.07.2008 | | Autor: | kiri111 |
Hi,
okay, ich versuchs mal: Ich lass das komplex konjugierte mal weg. Ich hoffe, das ist okay.
[mm] \integral_{0}^{1}{f(t+a)*g(t+a) dt}=\integral_{0}^{1+a}{f(t)*g(t) dt}=\integral_{1}^{1}{f(t)*g(t) dt}+\integral_{1}^{1+a}{f(t)*g(t) dt}=\integral_{1}^{1}{f(t)*g(t) dt}+\integral_{0}^{a}{f(t+1)*g(t+1) dt}=\integral_{1}^{1}{f(t)*g(t) dt}+\integral_{0}^{a}{f(t)*g(t) dt}
[/mm]
Jetzt muss aber [mm] \integral_{0}^{1}{f(t)*g(t) dt} [/mm] rauskommen... Wo steckt mein Fehler? Da stimmt irgendwas mit den Grenzen nicht...
Viele Grüße
kiri
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:05 Sa 05.07.2008 | | Autor: | kiri111 |
Der Ansatz ist doch aber korrekt, doch nur ein blöder Fehler oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Sa 05.07.2008 | | Autor: | kiri111 |
| Aufgabe | | Sei [mm] a=\bruch{1}{n}, [/mm] n [mm] \in \IN. [/mm] Finde n verschiedene Eigenwert von T und zugehörige Eigenvektoren. |
Die Aufgabe besitzt noch einen zweiten Teil (siehe oben).
Habt ihr dafür einen Ansatz für mich?
Viele Grüße
kiri
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:47 Sa 05.07.2008 | | Autor: | kiri111 |
Also ich bin jetzt schon so weit:
Es muss ja [mm] T(f)=\lambda*f [/mm] gelten, genauer also:
[mm] T(f)(t)=f(t+\bruch{1}{n})=\lambda*f(t)
[/mm]
Hmm... aber wie geht es weiter?
Viele Grüße
kiri
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:10 So 06.07.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo kiri
> Sei [mm]a=\bruch{1}{n},[/mm] n [mm]\in \IN.[/mm] Finde n verschiedene
> Eigenwert von T und zugehörige Eigenvektoren.
> Die Aufgabe besitzt noch einen zweiten Teil (siehe oben).
Der Endomorphismus ist unitaer. Was fuer Eigenwerte koennen unitaere Endomorphismen haben?
Und weiterhin, wenn das alles von einer natuerlichen Zahl $n$ abhaengt, gibt's da spezielle solche komplexe Zahlen die in Frage kommen, wovon es gerade $n$ gibt?
Und noch ein Hinweis: spiel doch mal etwas mit Fallunterscheidung und $f : [mm] \IR \to \IR$, [/mm] $t [mm] \mapsto \cos(2 \pi [/mm] n t)$ herum.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 So 06.07.2008 | | Autor: | kiri111 |
Hi,
thx für deine Antwort. Also unitäre Endomorphismen besitzen nur die Eigenwerte 1 oder -1, richtig?
n komplexe Zahlen... Hmmm vielleicht [mm] exp(\bruch{2*\pi*i}{n})?
[/mm]
Hmmm, aber wie begründe ich das alles und schreibe das sauber auf? Kannst du mir nochmal unter die Arme greifen? :(
Viele liebe Grüße
kiri
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 So 06.07.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo kiri
> thx für deine Antwort. Also unitäre Endomorphismen
> besitzen nur die Eigenwerte 1 oder -1, richtig?
Wie kommst du da drauf?
> n komplexe Zahlen... Hmmm vielleicht
> [mm]exp(\bruch{2*\pi*i}{n})?[/mm]
Ja, z.B. Was haben die denn fuer Eigenschaften?
> Hmmm, aber wie begründe ich das alles und schreibe das
> sauber auf? Kannst du mir nochmal unter die Arme greifen?
> :(
Was aufschreiben? Bisher hast du doch noch fast gar nichts zusammen.
LG Felix
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(Frage) überfällig | | Datum: | 12:40 Di 08.07.2008 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
ich habs jetzt so gelöst:
T soll unitär sein, das bedeutet insbesondere, dass T [mm] \circ T^{\*}=^{\*} \circ [/mm] T=Id
Die Adjungierte ist aber eindeutig, wenn sie existiert, durch <f, [mm] T(g)>= [/mm] bestimmt.
Das rechnen wir einfach mal aus, um die Adjungierte zu bestimmen:
<f, [mm] T(g)>=\integral_{0}^{1}{f(t)^{-}*T(g)(t) dt}=\integral_{0}^{1}{f(t)^{-}*g(t+a) dt}=\integral_{a}^{a+1}{f(z-a)^{-}*g(z) dz}=\integral_{0}^{1}{f(z-a)^{-}*g(z) dz}= [/mm] für [mm] T^{\*}: [/mm] V [mm] \to [/mm] V mit [mm] T^{\*}(f)(t):=f(t-a).
[/mm]
Nun muss noch gezeigt werden, dass T unitär ist, also:
(T [mm] \circ T^{\*})(f)(t)=T(T^{\*}(f))(t)=T^{\*}(f)(t+a)=f(t+a-a)=f(t)=Id(f)(t)
[/mm]
Analog schließt man:
[mm] (T^{\*} \circ T)(f)(t)=T^{\*}(T(f))(t)=T(f)(t-a)=f(t-a+a)=f(t)
[/mm]
Zu den Eigenwerte und Eigenvektoren.
Es gilt [mm] T(f_k)(t)=f_k(t+\bruch{1}{n})=exp(2*\pi*k*(t+\bruch{1}{b})=exp(\bruch{2*\pi*k}{n})*exp(2*\pi*k*t)
[/mm]
Daraus folgt [mm] T(f_k)=\delta_n^{k}*f_k(t), [/mm] wobei [mm] \delta_n^{k} [/mm] die n-ten Einheitswurzeln sind.
Viele Grüße
kiri
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:27 Do 10.07.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:00 So 06.07.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo kiri
> Der Ansatz ist doch aber korrekt, doch nur ein blöder
> Fehler oder?
Deine Integralgrenzen sind ziemlich kaputt. Korrigier die doch mal.
Abgesehen davon steht da ziemlicher Murks. Setz doch mal konkrete Werte fuer $t$ ein, und zwar $t = -0.5$, $t = 0.5$ und $t = 1.5$. Rechne es doch erstmal fuer diese und schau was da fuer Probleme auftreten koennen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Sa 05.07.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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