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Universelle Eigenschaft: Tipp
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 00:42 Fr 02.12.2016
Autor: dertim86

Aufgabe 1
Seien G,H beliebige Gruppen sowie [mm]p:G\times H \rightarrow G[/mm] mit [mm]p(g,h)=g[/mm] und [mm]q(g,h)=h[/mm] die Projektionshomomorphismen. Dann gilt:
Für alle Gruppen K und alle Homomorphismen [mm]\phi:K\rightarrow G[/mm] und [mm]\psi:K\rightarrow H[/mm] es genau einen Homomorphismus [mm]\gamma[/mm] gibt, so dass [mm]p\circ \gamma=\phi[/mm] und [mm]q\circ \gamma = \psi[/mm] gilt.

Aufgabe 2
Falls K' Gruppe mit [mm]p':K'\rightarrow G [/mm] und [mm]q':K'\rightarrow H [/mm] Homomorphismen sind, die auch die Eigenschaft haben, dass für alle Gruppen K und alle Homomorphismen [mm]\phi : K\rightarrow G [/mm] und [mm]\psi:K\rightarrow H [/mm] es genau einen Homomorphismus [mm]\sigma:K\rightarrow K' [/mm] gibt, so dass [mm]p'\circ\sigma = \phi [/mm] und [mm]q'\circ\sigma = \psi [/mm] gilt, so gibt es einen Isomorphismus [mm]\Phi:G\times H\rightarrow K' [/mm], so dass [mm]q=q'\circ\Phi [/mm] und [mm]p=p'\circ\Phi [/mm].

Hallo liebes Forum,

Ich habe zu den Aufgaben 1 und 2 je einen Beweis vorliegen. Beweis 1 habe ich verstanden. Den habe ich auch eigenständig reproduzieren können.

Bei Aufgabe 2 bezweifle ich jetzt schon, ob ich die Aufgabe richtig verstanden habe. Nach meinem Verständnis soll ich zeigen, dass es für alle K (mit den angegebenen Eigenschaften) einen Isomorphismus [mm]\Phi [/mm] gibt, so dass die gewünschten Eigenschaften erfüllt werden.
Der Beweis beginnt aber nun so, dass die Eigenschaften einmal für K=K' (also [mm]\Phi=\gamma[/mm] ?) gezeigt werden und dann einmal für K=[mm]G\times H[/mm] (also [mm]\Phi = \sigma[/mm] ?). Anschließend wird gezeigt, dass [mm]\gamma\circ\sigma=id_{G\times H}[/mm] und [mm]\sigma\circ\gamma=id_{K'}[/mm]. Damit soll dann die Existenz von [mm]/Phi [/mm] gezeigt sein und dass [mm]/Phi [/mm] ein Inverses besitzt, somit Isomorphismus ist.

Kann mir jemand erklären, warum der Beweis ausreichend ist?

Ich wäre nie auf die Idee gekommen, K derart einzuschränken und das für allgemeingültig zu erklären. (Der Beweis ist übrigens unserem Vorlesungsskript entnommen) Mein Ansatz wäre jetzt eigentlich gewesen, das [mm]/Phi [/mm] in Abhängigkeit von K irgendwie zu definieren und dann die Eigenschaften für alle Elemente aus einem beliebigen K zu belegen. Falls das nicht klappt, dachte ich, könnte man ja anhand dieser ganzen Homomorphismen vielleicht gewisse Abhängigkeiten feststellen, um die Existenz und die Bijektivität zu belegen.

Mit meiner ersten eigenen Idee bin ich leider nicht sehr weit gekommen, da ich das Gefühl habe, nichts über die Elemente aus K' aussagen zu können. Bin ich mit der Idee auf dem falschen Dampfer?

Schonmal herzlichen Dank für eure Hilfe!
der Tim

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Universelle Eigenschaft: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:02 Fr 02.12.2016
Autor: hippias

[willkommenmr]

Es wäre nützlich, wenn Du den Beweis, auf den sich Deine Fragen beziehen hier für jeden eintippst. Anderenfalls werden wir höchstwahrscheinich aneinander vorbeireden. Und ich habe keine Lust meinen eigenen Beweis einzutippen.

Grundsätzlich sollst Du Existenz eines Isomorphismus zwischen $K'$ und [mm] $G\times [/mm] H$ nachweisen. Dazu dürfte der Autor für das $K$ aus der Definition $K$ einmal $K'$ und [mm] $G\times [/mm] H$ eingesetzt und daraus seine Schlussfolgerungen gezogen haben.
Daher zeigst Du die Existenz des Isomorphismus nicht für alle $K$: $K$ taucht in der Behauptung gar nicht auf.



Bezug
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