Universelle Überlagerung < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei mit
,
.
Geben Sie eine universelle Überlagerung mit explizit an. Erklären Sie anhand einer Skizee, warum man sich als unendliche Lampionkette vorstellen kann. |
Hallo,
also ist die Vereinigung einer 2-dim. Sphäre und eines Kreises, die sich in einem Punkt treffen. Meine wage Idee ist, dass die Überlagerung eines Kreises durch und die der Sphäre, durch die Sphäre selbst gegeben ist. Daher kann man sich als unendliche Lampionkette vorstellen. Ist sehr informal, ich weiß... Aber ist die Idee soweit richtig?
Ich komm leider nicht weiter, an der Stelle, an der ich die universelle Überlagerung explizit angeben soll. Nach dem Existenzsatz besitzt ein wegzusammenhängender, lokal wegzusammenhängender und semi-lokal einfach zusammenhängender Raum eine universelle Überlagerung. Dabei kann man diese konstruieren, indem man zu einem Punkt die Homotopieklassen der Wege mit Anfangspunkt betrachtet. Wie komme ich denn jetzt auf eine explizite Darstellung?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Viele liebe Grüße,
quizzle123
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:41 Fr 05.06.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
das erste Objekt ist kein Kreis, sondern ein Zylinder, dessen universelle Vereinigung ist eine Ebene. das zweite ist eine Kugel, u.V eine Kugel.
wenn du den Berührpunkt in der Ebene an siehst wiederholt er sich, vereinigt mit der kugel gibt das die Lampionkette
alle geschlossenen Kurven nur auf der Kugel kann man zusammenziehen, alle in der ebene auch, geschlossene Kurven durch den Berührpunkt musst du einzeln behandeln, der punkt ist dann ein Doppelpunkt und du kannst aufschneiden und zusammenziehen. Das ist aber alles nur qualitativ, vielleicht kann es jemand anders besser, drum nur halb beantwortet.
Gruß ledum
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 16:20 Fr 05.06.2015 | | Autor: | Ladon |
Es tut mir Leid, aber ich kann nicht nachvollziehen, wie du darauf kommst, [mm] X_1 [/mm] sei ein Zylinder. [mm] X_1 [/mm] ist sicherlich eine im [mm] \IR^3 [/mm] eingebettete und verschobene [mm] S^1.
[/mm]
[mm] X_2 [/mm] sollte eine verschobene [mm] S^2 [/mm] sein.
[mm] X_1 [/mm] und [mm] X_2 [/mm] sind gerade so verschoben, dass $ [mm] X=X_1\cup X_2$ [/mm] zu [mm] S^1\vee S^2 [/mm] homöomorph ist.
Oder verstehe ich dich gerade falsch...
Viele Grüße
Ladon
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:57 Fr 05.06.2015 | | Autor: | Ladon |
Hallo,
es ist wohl $ [mm] X\cong S^2\vee S^1$. [/mm] Offensichtlich gibt es eine Überlagerung [mm] \sqcup_\alpha S^2_\alpha\to S^2, [/mm] wobei die [mm] S^2_\alpha [/mm] Kopien von [mm] S^2 [/mm] sind. Ebenso sollte dir die universelle Überlagerung von [mm] S^1 [/mm] bekannt sein.
Wir kleben jetzt die [mm] S^2'en [/mm] als Wedge-Summe an [mm] \IR [/mm] vermöge
[mm] $$\overline {X}=\frac {\IR\sqcup\sqcup_{\alpha\in\IZ} S^2_\alpha}{\IR\supseteq\IZ\ni \alpha=(0,1,0)\in S^2_\alpha} [/mm] $$
Was meine ich mit der komischen Identifikation?
Wir identifizieren hierbei einfach jedes ganzzahlige [mm] x\in\IR [/mm] mit einem Punkt der [mm] S^2'en. [/mm] Dadurch kleben wir quasi an jeder ganzzahligen Stelle in [mm] \IR [/mm] eine [mm] S^2.
[/mm]
Jetzt musst du nur noch zeigen, dass die Überlagerung [mm] $p:\overline {X}\to S^2\vee S^1$
[/mm]
[mm] $$z\mapsto \begin{cases} e^{i2\pi x}\mbox { für } z\in\IR/\sim\\
z\mbox { für } z\in \sqcup_{\alpha\in\IZ} S^2_\alpha/\sim\end{cases} [/mm] $$
eine Überlagerung ist und dass [mm] \overline{X} [/mm] triviale Fundamentalgruppe hat, wobei [mm] \sim [/mm] obige Identifikation meint. Dass [mm] \overline{X} [/mm] triviale Fundamentalgruppe hat ist nur Intuition und daher mit Vorsicht zu genießen. 
Mit Seifert-van Kampen kannst du die Behauptung vielleicht beweisen.
Meine Idee ist, dass Schleifen auf den [mm] S^2'en [/mm] zu dem Punkt homotop sind, der mit einem entsprechenden ganzzahligen Punkt in [mm] \IR [/mm] identifiziert wird. Damit kann man jede Schleife auf eine Schleife in [mm] \IR [/mm] zurückführen. Aber jede Schleife in [mm] \IR [/mm] ist homotop zur konstanten Schleife z.B. im Punkt 0, denn [mm] \IR [/mm] hat eine triviale Fundamentalgruppe.
Beachte, dass $$ [mm] S^2\vee S^1:=\frac{S^2\sqcup S^1}{S^2\ni (0,1,0)=(-1,0)\in S^1} [/mm] $$
MfG
Ladon
|
|
|
|
