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Hallo!
Gerade beschäftige ich mich mit Relationen und Abbildungen und habe die elementaren Dinge eigentlich ganz gut durchblickt, bis eben auf die folgenden Fragen. Vieles konnte ich schon mithilfe von Google aufklären, anderes eben nicht. Also dann mal los:
1.)
Wir haben die Mengen A = B = {1, 2, 3}. Relation R sei Teilmenge von AxB.
Beispiel: R = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}
Es sollen Eigenschaften wie (ir)reflexiv, (in)transitiv, (anti/a)symmetrisch und so weiter bestimmt werden. Das ganze sind ja Basics und eigentlich kein Problem, bis auf eine Sache:
Wann muss ich bei der Bestimmung der Eigenschaften nicht nur R, sondern auch A und B betrachten?
Beispiel: das obige R ist schön symmetrisch und transitiv, nicht aber reflexiv, denn (3,3) taucht nicht auf. Naja, ich könnte jetzt ja fragen, warum R symmetrisch sein soll, schließlich tauchen (2,3) und (3,2) auch nicht auf. Aber direkt in R ist eben alles symmetrisch, bei Symmetrie scheinen A und B nicht zu interessieren.
Liege ich richtig wenn ich sage, das man da nur bei der Reflexivität vorsichtig sein muss und sich alle anderen genannten Eigenschaften nur auf R beziehen?
Dann nochmal die gleiche Frage für rechtseindeutig/total, linkseindeutig/total.
Im obigen Beispiel ist kein (3,x) enthalten, ist das trotzdem linkstotal? (1,x) und (2,x) sind ja vorhanden, wenn man sich NUR die Relation anschaut ist das linkstotal würe ich vermuten, wenn man A und B noch miteinbezieht wohl nicht.
2.)
Betrifft Ordnungsrelationen. Hierbei ist die Internetrecherche ziemlich schwierig, weil in der Literatur wohl die Begriffe durcheinandergeschmissen werden.
Also wir haben kennengelernt:
Halbordnungen (wohl auch als Ordnungen bekannt, sind reflexiv, antisymmetrisch und transitiv).
Ordnungen (wohl auch als strikte Ordnungen bekannt, sind asymmetrisch und transitiv).
Soweit, so gut. Die Bestimmung ist ja relativ einfach, man schaut bei einer Relation was zutrifft und teilt dann eine der beiden Möglichkeiten zu.
Jetzt kann man ja aber noch feiner unterteilen in partielle und totale Ordnungen, und hier wird es aufgrund der Namensverwirrungen schiwerig.
Können nur Halbordnungen (also Ordnungen in mancher Literatur) total und partiell sein, oder darf man diese beiden Begriffe auch auf Ordnungen (oder eben strikte Ordnungen) anwenden?
Ich lese überall, dass man Ordnungen eben nochmals unterteilen kann, aber was eine Ordnung ist, ist ja nicht fest definiert.
Wo wir gerade bei total und partiell sind: Grundlage dafür ist ja die Überprüfung auf Vergleichbarkeit.
Soweit ich weiß, sind 2 Elemente vergleichbar, wenn sie irgendwo als Paar auftauchen, also (x,y) oder (y,x).
Jetzt habe ich im Skript stehen, dass jedes Element bezüglich einer Halbordnung oder Ordnung mit sich selbst vergleichbar ist. Warum das denn? Also bei einer Halbordnung ist mir das klar wegen der Reflexivität (z.B. (1,1)), aber eine Ordnung ist ja asymmetrisch, ist das nicht ein Widerspruch zu obigem Satz?
3.)
Es geht um die Eigenschaften surjektiv, injektiv, bijektiv und eineindeutig.
Also surjektiv ist nur ein Synonym für rechtstotal.
Eineindeutig bedeutet rechtseindeutig und linkseindeutig gleichzeitig.
Injektiv wird im meinem Skript als, Zitat "linkseindeutig (eineindeutig)" beschrieben. Was gilt denn jetzt von beidem?
Bijektiv ist gleichzeitig injektiv und surjektiv., in anderen Quellen wird bijektiv aber als rechts/linkstotal und rechts/linkseindeutig gleichzeitig beschrieben. Im Vergleich zur ersten Aussage weiß ich nicht, wo die das linkstotal hernehmen. Also wieder: was stimmt?
4.)
Letzte Frage betrifft Abbildungen, bzw Funktionen. Beide Begriffe beschreiben den gleichen mathematischen Sachverhalt, kann man das so sagen?
Die Funktion f(x) = [mm] \wurzel{x} [/mm] ist nun interessant wie ich finde.
So ohne weitere Angaben und Einschränkungen darf man diese Funktion nicht wirklich als Funktion bezeichnen, oder? Schließlich wäre das nicht rechtseindeutig, gibt ja (von 0 mal abgesehen) immer 2 Lösungen.
Ich würde sagen, man darf das Ganze nur dann als Funktion/Abbildung bezeichnen, wenn man y auf y [mm] \in \IR \wedge [/mm] y [mm] \ge [/mm] 0 begrenzt.
Jetzt habe ich aber noch folgende Aussagen gefunden und kann diese nicht nachvollziehen.
Hierzu muss ich noch kurz einen Ausdruck erklären: mit [mm] \IR [/mm] +,0 meine ich das [mm] \IR [/mm] im positiven Bereich und 0, leider gibt es das Zeichen hier nicht.
Jetzt zur Aussage:
f(x) = [mm] \wurzel{x} [/mm] sei genau dann eine Abbildung, wenn gilt [mm] \IR [/mm] +,0 [mm] \to \IR
[/mm]
Damit hab ich Probleme. Also das links vom [mm] \to [/mm] steht doch dafür, was man "reichsteckt", das rechts vom [mm] \to [/mm] erklärt, was rauskommen soll?
Dass links dann ein [mm] \IR [/mm] +,0 steht wäre für mich klar. Für negative x funktioniert die Wurzel ja garnicht. Aber rechts vom [mm] \to [/mm] steht ja das normale [mm] \IR, [/mm] sind dann nicht auch negative Ergebnisse erlaubt? Wenn das so wäre, dann wäre f(4) = 2 und -2, und somit keine Funktion mehr wie behauptet.
Es gibt noch eine zweite Aussage:
f(x) = [mm] \wurzel{x} [/mm] sei surjektiv (sprich rechtstotal) für [mm] \IR [/mm] +,0 [mm] \to \IR [/mm] +,0
Genau das wäre die Schreibweise gewesen, die ich bei der ersten Aussage vermutet hätte.
Auch diesen Punkt kann ich nicht nachvollziehen.
Ich hoffe, dass sich bei diesem langen Text überhaupt noch wer traut zu antworten. Das sind bisher so die letzten Dinge, die ich noch nicht verstanden habe, wenn sich das noch ändert bin ich glücklich :D
Über Antworten wäre ich sehr erfreut, vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> 1.)
> Wir haben die Mengen A = B = {1, 2, 3}. Relation R sei
> Teilmenge von AxB.
> Beispiel: R = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}
> Es sollen Eigenschaften wie (ir)reflexiv, (in)transitiv,
> (anti/a)symmetrisch und so weiter bestimmt werden. Das
> ganze sind ja Basics und eigentlich kein Problem, bis auf
> eine Sache:
> Wann muss ich bei der Bestimmung der Eigenschaften nicht
> nur R, sondern auch A und B betrachten?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Bei sowas hält man sich am besten immer felsenfest an die Definitionen.
> Beispiel: das obige R ist schön symmetrisch und transitiv,
> nicht aber reflexiv, denn (3,3) taucht nicht auf. Naja, ich
> könnte jetzt ja fragen, warum R symmetrisch sein soll,
> schließlich tauchen (2,3) und (3,2) auch nicht auf. Aber
> direkt in R ist eben alles symmetrisch, bei Symmetrie
> scheinen A und B nicht zu interessieren.
> Liege ich richtig wenn ich sage, das man da nur bei der
> Reflexivität vorsichtig sein muss und sich alle anderen
> genannten Eigenschaften nur auf R beziehen?
Schauen wir, wie Äquivalenzrelation ![[]](/images/popup.gif) definiert ist:
im Angesichte der Definition lösen sich jegliche Zweifel auf.
Da (3,3) nicht vorkommt, ist R keine Äquivalenzrelation auf der Menge A.
Allerdings ist R eine Äquivalenzrealtion auf der Menge [mm] \{1,2\} [/mm] - falls irgendwann sich mal jemand für diese Fragestellung interessiert.
Bei der Frage: "ist das eine Äquivalenzrelation? " kommt die Antwort also u.U. darauf an, auf welcher Menge es eine Äquivalenzrelation sein soll.
>
> Dann nochmal die gleiche Frage für rechtseindeutig/total,
> linkseindeutig/total.
> Im obigen Beispiel ist kein (3,x) enthalten, ist das
> trotzdem linkstotal?
Nein. Es ist keine linkstotale Relation auf AxB.
Allerdings ist sie linkstotal auf [mm] \{1,2\}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:06 Mo 14.12.2009 | | Autor: | soloking |
Hallo Angela!
Vielen Dank schonmal.
Also ich habe mal versucht, die Definitionen zu durchwühlen, und wenn ich mich nicht irre, dann muss man nur bei Überprüfung der Reflexivität und bei linkstotal/rechtstotal auf die Grundmenge bzw A und B achten, bei allen anderen Eigenschaften reicht es, die Relation direkt zu betrachten, egal was in A oder B steht. Zumindest konnte ich bisher keine Gegenbeispiele finden.
Injektiv heißt wohl wirklich linkseindeutig, was der Begriff eineindeutig in meinem Skript an dieser Stelle zu suchen hat weiß ich bisher nicht.
Die 2 andere Fragen 2 und 4 konnte ich leider nicht lösen.
Danke nochmals!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 So 20.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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